天体物理学 I : 授業の内容
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天体物理学 I : 授業の内容. 天文学は天体からの光を研究する学問です。 そこでこの授業では、「光」をどう扱うかの基礎を学びます。 授業計画は、 A.水素原子  B.エネルギー準位  C.熱平衡  D.線吸収  E.連続吸収   F.光のインテンシティ G.黒体輻射 H.等級  I.色等級図   J.光の伝達式 I  K.光の伝達式 II L.星のスペクトル という順で進めます。 最後まで行くと、星のスペクトルがどんな仕組みで決まっているかが判る、 というのが目標です。 AからEまでは光の吸収に関係する物理の話です。Fでは光の強さをきちん

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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天体物理学 I : 授業の内容

天文学は天体からの光を研究する学問です。

そこでこの授業では、「光」をどう扱うかの基礎を学びます。

授業計画は、

A.水素原子  B.エネルギー準位  C.熱平衡  D.線吸収  E.連続吸収  

F.光のインテンシティ G.黒体輻射 H.等級  I.色等級図  

J.光の伝達式 I  K.光の伝達式 II L.星のスペクトル

という順で進めます。

最後まで行くと、星のスペクトルがどんな仕組みで決まっているかが判る、

というのが目標です。

AからEまでは光の吸収に関係する物理の話です。Fでは光の強さをきちん

と定義します。GからIは光の強さを天文学でどう使うかを示します。JからLは

光がガス中を伝わる様子を式に表わし、その式を解いて星のスペクトルを導き

ます。それでは、始めましょう。


J 輻射の方程式 (I)

今回の内容

(J.1) 光学的深さ(Optical Depth)τ

  二点間の吸収の強さを表わす用語です。

(J.2) 源泉関数 (Source Function) : S

  輻射の方程式で媒質からの放射を表わす量です。   

(J.3) 簡単な解

  輻射の方程式の意味を理解するために簡単な例を調べます。

(J.4) 色等級図 

  二つのバンドでの等級が得られた場合は縦軸を等級、横軸をカラーとしてプ

  ロットすると色等級図ができます。色等級図は天文学では極めて重要な道

  具です。

授業の内容は下のHPに掲載されます。

http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html


dx

σ

σ

S

σ

σ

S

σ

σ

σ

J.1. 光学的深さ(Optical Depth) τ

σ:粒子断面積  n:粒子数密度

dx

I(x)+dI

I(x)

σ

dI=-I・σ・n・dx

 =-I・dτ

正面(面積S)から見ると

総断面積 Σ

Σ=σ・dN

=σ・n・S・dx

被覆率C

C=Σ/S=σ・n・dx


横から     正面から

横から     正面から

光学的深さ(optical depth)τ

 前頁でdxを十分に小さく取り、Σ/ S=dτ<<1の場合(左図)を考えます。この場合粒子同士の重なりが無視できるので被覆率 C = dτが成立します。

しかしdτが大きくなると、粒子が重なって見えるケースが現れてきます。

例えば、粒子断面積の総計 Σ= S の場合を考えてみましょう。つまり、dτ= Σ/ S=nσdx=1の場合(右図)です。

この時の正面図には多数の重なり合いが見られます。そのために被覆率Cの有効率が低下し、C<dτとなります。

では、粒子の重なり合いを考慮した時Cはいくつになるのでしょう?

τ=1

τ<<1


左図のように面積Sの不透明な紙を板の上に置きます。この場合被覆率は1です。次に紙をN個の紙片に切って、板の上に散らします(右図)左図のように面積Sの不透明な紙を板の上に置きます。この場合被覆率は1です。次に紙をN個の紙片に切って、板の上に散らします(右図)

千切った紙片の大きさを小さくして行った時にCはいくつになるでしょう?

実験から大体の値を推測して下さい。


左図のように面積Sの不透明な紙を板の上に置きます。この場合被覆率は1です。次に紙をN個の紙片に切って、板の上に散らします(右図)

右図のようにN個の紙片を仮想的にN層に分けて考えましょう。

光が上から来てまず第1層を通過します。

(1) 紙片1個の面積はσ=S/N です。第1層の被覆率C1はいくつですか?透過率T1は?


(2) 次に第左図のように面積Sの不透明な紙を板の上に置きます。この場合被覆率は1です。次に紙をN個の紙片に切って、板の上に散らします(右図)2層を通過します。この時、第1、第2層を合わせた被覆率C2は2枚の紙片が重なるかどうかで違いますが、平均のC2、T2は幾つでしょう?

1枚

重ならない2枚

重なる2枚

(3) こうしてN枚の紙片を巻いた時の透過率 TN はいくつですか?


(4) Nを無限に大きくしていった時の CN、TN は幾つでしょう?

(5) 始めに用意する紙がK枚の時に、Nを無限に大きくしていった時の CN、TN は幾つになるでしょう?


dx

I

I-Idτ

光学的深さ τ と被覆率 C

こうして、光学的深さτと透過率T、被覆率Cの関係は、

T=exp(-τ)、   C=1-T=1-exp(-τ) とわかります。

τ<<1のときは、C=1-(1-τ)=τで最初の結果が確認されます。 

微分方程式による考え方

授業の最初に出てきた図に戻ると、

dI=-Idτだから、

右上の解に出てくる eーτが最初の導出にあったTにあたります。

ここまでは途中の粒子は何の光も放出せず、もっぱら光を吸収するだけと仮定していました。

次に、粒子が吸収と同時に自身で光を放出する場合を扱います。


輻射エネルギー発生率

4πεdV=体積dVからの輻射エネルギー発生率で 、 ε=体積輻射係数  を定義します。テキストによってはεに4πをつけないので注意して下さい。

εを輻射の式にどう組み込むかを考えましょう。

A点

dS

ε

dΩ

dX

輻射強度を定義するため、いつものようにA点に微小面積dSを立て、dSを通ってdΩに流れる輻射エネルギーの量dEを計算しましょう。

そのため上の図で、断面積 dSの後ろに、深さ dXの箱を考えの中にもっと小さいdvの微小体積を考えます。この箱の体積は dV=dX・dS、箱から放出される輻射エネルギーは 4πεdV です。 しかし、このエネルギーは全立体角4πにばら撒かれてしまいます。dEに必要なのはその内dΩ方向に流れる部分だけです。 

その割合は、dΩ/4πです。


したがって、巾dXの箱からd CΩ方向に流れていく放射エネルギーは、

      dE=4πεdV(dΩ/4π)

        = 4πεdS・dX・(dΩ/4π)

        =εdX・dS・dΩ

です。

輻射強度 I の定義は、

      dE=I・dS・dΩ

でした。

二つの式を見較べると、I の方向に沿った微小区間 dX から I へεdX の寄与があることが判ります。つまり、

      dI =εdX

です。 


輻射の方程式

ここまでに、

   吸収: dI=-IσdN= -Iσn dx=-I k dx=-I dτ   放射: dI= εdx

の二つの過程を見てきました。

吸収と放射の両方を合わせて、

dI = -I kdx+εdx

d I(x) /dx = - I k +ε

d I(x) /kdx = - I+ (ε/ k)

とし、

I(x+dx)

I(x)

k dx= dττ = Optical Depth (光学的深さ)

ε/ k =S      S=Source Function(源泉関数)  で、τとSを定義すると、

輻射の基礎方程式

equation of radiative transfer


前頁の C式では、簡単のため表示方式を指定していません。実際は周波数表示、波長表示、総エネルギー表示の式を一括して書いてあるので注意がいります。

具体的には下の3式をまとめて書いたのが前頁の式です。

最初の総輻射強度に対する式で、τをどう定義するかは後で議論します。

輻射の方程式の直感的な理解

を戻して、 dI = -I ・dτ+ S・dτ

で改めて式の意味を考えましょう。まず、-I ・dτは dτ≒1くらいで初めの I は消えてしまうことを意味します。そして、 S・dτは dτ≒1くらいで初めの I がSに置き換わってしまうことを意味します。


結局荒っぽい言い方をすると、 Cτ=1のあたりまでの光が輻射強度に貢献しているのです。

τ=100

τ=10

それを、さらに粗く、 τ=1 の源泉関数S(τ=1)を見る、とも言います。

τ=1

このあたりの放出光は殆ど届かない

このあたりの放出光が届く。


Source function s
J.2. CSource Function(源泉関数) : S

源泉関数Sはどう表せるのか?  

それでは輻射強度を決めている源泉関数Sとは何なのでしょう?。

吸収係数κや放射係数εはイメージが湧きますが、源泉関数Sがどんなものか、いまいちピンときません。通常の環境でSは何と考えればいいでしょう?

局所熱平衡の仮定: 各点での吸収係数κや放射係数εが温度Tと密度ρ

(LTE)     で決定されると考えます。

ε(x)= εν (ρ,T)、κ= κν (ρ,T)

すると、      Sν (τν) =εν (τν) /κν (τν) =Sν (ρ,T)

          Sは温度Tと密度ρの関数とられます。

1

T=T(x) : Tが場所によって変わる一般的な環境を考えます。輻射の式によって、Ⅰはdxの間に、ΔI=-[Iν(x)-Sν (ρ,T)] dτνの変化を受けます。

I(x+dx) =I(x)- I(x)κ (ρ,T) dx+ε(ρ,T) dx

   = I(x) -[I(x)-S (ρ,T)] dτ

I(x)

A点

(ρ,T)

dx


I(x)= CB(T,ν)

I(x+dx)=B(T,ν)-[B(T,ν)-Sν (ρ,T)]dτλ

すると、Ⅰν(x)はどこでも、Ⅰν =B(T,ν)

Sν (x)は前と同じ、

Sν=Sν(ρ,T)

2

その他の点でも温度がA点と同じTになった特別な状況(熱平衡)を考えてみます。

I (x)=I (x+dx)=B(T,ν) なので

B(T,ν)-Sν (ρ,T)=0

熱平衡状態では

Sν (ρ,T)=B(T,ν)

ところが、Sν (ρ,T) は系全体が熱平衡か

どうかには関係なく、そこがLTEであれば

そこの(ρ,T) から決まるので、

一般に Sν (ρ,T)=B(T,ν) が成立します。

普通の状況(LTE)では、源泉関数Sは黒体輻射強度Bだったのです。

dIλ(τλ)/dτλ+Iλ (τλ)=Bλ[T(τλ)] : LTEの輻射の方程式


J.3.簡単な解

(i) ελ(x)=0 :途中の物質がとても冷たい。x=0に光源Iλ0があります。

光源

吸収体

Iλ(x)

Iλ (x=0)

x=0

ελ=0 つまり、Sλ=0 なので、輻射の方程式は下のように書けます。

または


τ

I / Io

0

τ

入射光

吸収体

出射光


Mrk 231

活動核

連続光

星間ガス

吸収を受けた光

0.5

5980 A

5970 A

5990 A

λ

吸収の強さ=

の関係が使えそうです。

(i)の例1: AGN銀河のNaガス

下のグラフは、1995 ApJ 450, 74-89 Forster, Rich and McCarthy   による、    活動銀河 Mrk231 のスペクトルです。

この銀河は中心に高温の活動銀河核を持ち、そこからの連続(滑らかな)スペクトルが銀河内星間ガスにより吸収を受けています。

波長5980A(=0.598μm)の吸収線はMrk231星間ガス中のNa原子によるもので、D線と呼ばれます。

吸収線の深さから Mar231銀河内のNa原子のコラム密度Nを求めましょう。


そのためには、 CD線中央部でのNa原子吸収断面積σが必要です。

D線中央の吸収断面積はσ=(2.2×10 -23/D ) cm2で与えられます。 ここにDは吸収線の幅をA(オングストローム)で表した値です。グラフから読み取ると D≒1.8Aです。ですから、σ=1.22×10-23cm2です。

銀河ではDは星間ガスの運動によるNa原子の視線速度のばらつきを表わします。

実験室ではDはNaガスの温度に対応し、 D=1.1×10-3 √T (A) です。 

グラフから読み取ると D≒1.8Aです。ガス温度と考えると T =1.64×106Kとなりますが、星間ナトリウムがそんなに高い温度で中性原子でいるわけはありません。ガス運動速度のばらつきVと考えると、V/c=1.8A/5980A, V=90km/sec です。

吸収線中央では ( I / Io ) = exp(ーτ)=0.5  τ=0.7

Na原子のコラム密度を N (cm-2) とすると、 τ=Nσ でした。

したがって、N=0.7/ ( 1.22×10-23 )=5.8×1022/cm2   

この値は、詳しいラインフィットの手法で求めたNaコラム密度とファクター

2程度しか違わいませんでした。


Ii i x 0 0
簡単な解( Cii)   I(x=0) = 0

この式の解は、

=一定の場合は、

上の仮定のように

天体の向こう側からは光が来ない。簡単のため、Sλ(τλ)=一定と仮定。

I=0

I(x,λ)

S(τλ)=一定

x=0


LTEが成立 C[つまりS(τλ)=Bλ(T) ]

の場合には上の式のSをBに置き換えて

右のグラフから分かるように、

0     1      2      3

(ii)の例1: 放射星雲の輝線

光学的に薄い(τ<<1)星雲では、星では吸収線が見える波長に、しばしば輝線が現れます。例えば、温度10,000KのA型星では0.656μに強いHα吸収線が見られますが、温度の同じ10,000Kの放射星雲からは強いHα輝線が観測されています。


この現象は Cτ<<1では、I=τ・B となることから容易に理解できます。

吸収の強い波長では、光学的にアクティブで他より速く黒体輻射に達しようとしていると考えると理解しやすいです。

G型星スペクトル

Hα=656nm

Hβ=486nm

吸収線

Hβ線

Hα線

惑星状星雲スペクトル

Hα=656nm

Hβ=486nm

輝線


τL=X・kL

kλ

星雲

τC=X・kC

λL

λC

X

星雲の光学的深さはラインでτL=X・kL、 連続光の所でτC=X・kCと大きく異なります。しかし星雲は希薄な為、ラインでさえτL <<1です。

すると、例(2) で見たように、星雲からの輻射強度は、

      IL = τL・B(T)

      IC= τC・B(T)

となります。 

これが、星雲に輝線が見つかる理由です。

では星ではなぜ吸収線になるのか?

それは次回。

Iλ

λL

λC


τ C(λ、θ=0°)

0.5

0.1

0

0.3

0.6

0.7

1

λ(μm)

(ii)の例2: ガス板からの輻射スペクトルの方向による変化

無限に広がる2枚の透明な板の間に、温度T=5000Kのガスが詰まっています。表面に垂直な方向のガスの光学的深さτ(λ,θ=0°)は下図のようで、波長λ=0.6μmから0.7μmの吸収帯では両側波長での10倍吸収が強くなっています。

θ

垂直からθの方向に対する光学的深さを表にすると、

θ(°)         0      30     60    80    87

τ(吸収帯)    1.000 1.155 2.000 5.759 19.107

τ(連続光) 0.100 0.116 0.200 0.576 1.911


θ C=0,30,69°では、

λ=0.6-0.7μmの

  吸収帯が逆に強い放射帯

  として現れます。

θ=80,87°になると、

  吸収帯のτ>>1となり、

  B(T=5000K)で頭打ち、

  一方、連続光はτーー>1

  でB(T)に近づくので相対

  的にバンドは弱くなります。


下に示すのは、 Cλ=0.6μm、吸収帯の短波長端での連続光と放射バンドの

I(θ、λ=0.6μm-) と I(θ、λ=0.6μm+)の角度分布です。

θ→90°になるにつれ、バンドでも連続光でも、I→B(T)に接近していくことが分かります。

I(θ、放射バンド)

θ

I(θ、連続光)


Cii)の例3: 町の灯り

黒体表面での輻射強度は等方的です。すなわち、黒体表面をどのような角度から見ても同じ輝き(表面輝度)に見えます。それは、面表面での輻射強度が等方的だからです。

A点

A点から黒体表面上の点への角度 θ を図のようにとります。A点からθ方向を見た時の輻射強度を

I(θ)としてグラフを描くと下のように

  I(θ)=一定

の線となります。

θ

仮にそのような板を写真に撮ると下のようになるでしょう。

I(θ)

0°

90°

θ


そのような等方的に光る板のモデルとして、板の上に一様に電球を並べます。電球を十分小さくして、並べ方を密にすれば一様に光る板ができそうです。そのような等方的に光る板のモデルとして、板の上に一様に電球を並べます。電球を十分小さくして、並べ方を密にすれば一様に光る板ができそうです。

下の写真はグリフィス公園から見たロサンゼルスの夜景です。一様に光っているというより、地平線に近づくに連れて表面輝度が増加しているように見えませんか?


平らな面上に、W=100ワットの電球を n=0.平らな面上に、W=100ワットの電球を n=0.1個/1m2 の割合で並べます。この面を高さH=50mの公園Gから眺めます。真下から角度θの方向を見た時の輻射強度 I(θ)を求めましょう。

(1) 図のようにGから θ の方向に dω の立体角をとると、面上での面積dS はいくつになりますか?

そこにある電球の数dNはいくつですか?

Θ

dω

R=H/cosθ

dS


(2) G点でd平らな面上に、W=100ワットの電球を n=0.ω方向と垂直に小面積dsを立てます。dSにある出力Wの電球の光の内、dsを通過するエネルギーはいくつですか?

ds

(3) dS内のdN個の電灯の光の内dsを通過するエネルギーdPはいくつになるでしょう?


(4) dPの式から、I(平らな面上に、W=100ワットの電球を n=0.θ)をW、n、θの関数として表わして下さい。

(5)W、nの数値を使い、 I(θ)をグラフにして下さい。


平らな面上に、W=100ワットの電球を n=0.ii)の例4: 花火

下の花火の写真を見ると、中央よりも縁の方が火の粉が多いことに気付きます。


左側の花火の写真を中心から等間隔のリングにわけてその中の火の粉の数を数えます。花火の半径=R=5としました。 左側の花火の写真を中心から等間隔のリングにわけてその中の火の粉の数を数えます。花火の半径=R=5としました。 

火の粉が半径R=5の表面に一様に面密度nで分布しているというモデルを立て、それを遠方から見た時の面密度 N を考えると、

見かけ半径drに対応する表面積は

中心距離  数  面積  面密度

 0.5    4   1π    1.3

 1.5   19   3π     2.0

 2.5   19   5π     1.2

 3.5   43   7π     2.0

 4.5  102   9π     3.6

見かけ(投影)面積はdS=2πrdr だから

dr

ds

ds


半径5内の火の粉の総数はT=187だから、半径5内の火の粉の総数はT=187だから、

4π・R2・n=187 でモデルと測定の火の粉のより総数を揃えると、


Brightness temperature t b
輝度温度半径5内の火の粉の総数はT=187だから、(brightness temperature) Tb

Ⅰ(ν) 

B(T2,ν)

Ⅰ(ν)

B(T1,ν)

ν

νA

νB

: Tbの定義

Ⅰ(ν)=B(Tb, ν ) 

Tb(νA)=T2

Tb(νB)=T1

したがって、周波数ν(または波長λ)毎に輝度温度Tbは変わります。

輝度温度が実際に使われるのは

(1)Reyleigh-Jeans 近似が成立し、(主に電波波長域)

(2)光学的深さτ<<1

つまり、希薄な星雲の電波観測が相当します。

星雲の温度=Tc とすると、 (2)より、 I(ν)=τνB(Tc, ν)   


  • より、半径5内の火の粉の総数はT=187だから、

したがって、

Tb=τνTc

つまり、輝度温度Tbは星雲の実際の温度に光学的深さτをかけた値であす。

τνはνにより変わるのでTbは周波数νにより変化することに注意して下さい。


Iii i x 0 io
簡単な解(半径5内の火の粉の総数はT=187だから、iii) I(x=0) =Io(λ)

光源と途中の吸収・輻射帯の両方

Sλ (x)=Bλ(T)

Io(λ)

I(λ)

光源

途中の吸収・放射帯

I(x,λ) = Io(λ) exp ( -∫κ(λ)ρ(x)dx ) = Io(λ) exp [-τλ ]   解(i)

I(x,λ) =∫S(t) exp{- (τλ-t)} dt 解(ii)

をあわせて、

I (λ) = Io(λ) exp[-τ(x,λ)]+∫S(τ1λ)exp{- (τλ-τ1λ)} dτ1λ

= Io(λ) exp[-τλ] + Bλ(T)[1-exp(-τλ)]

τλ <<1の場合には、

I(λ) =Io(λ)(1-τλ)+ Bλ(T)τλ

   = Io(λ) + [Bλ(T) - Io(λ) ]τλ


例: CaIIのK線の中心部に現れる彩層半径5内の火の粉の総数はT=187だから、(chromosphere)輝線

Tchrom(高温)

Teff

スペクトル

恒星大気

彩層

Teff

6,400

Teff

30,000

6,250

9,800

7,300

5,950


半径5内の火の粉の総数はT=187だから、

右図のようにN個の紙片を仮想的にN層に分けて考えましょう。

光が上から来てまず第1層を通過します。

(1) 紙片1個の面積はσ=S/N です。第1層の被覆率C1はいくつですか?透過率T1は?

C1 = σ/S=1/N

T1 =1-C1 =1-(1/N)


(2) 次に第半径5内の火の粉の総数はT=187だから、2層を通過します。この時、第1、第2層を合わせた被覆率C2は2枚の紙片が重なるかどうかで違いますが、平均のC2、T2は幾つでしょう?

C2 =C1+T1 ・C1 = (1/N) + [1-(1/N)] (1/N)=1- [1-(1/N)]2

または、  T2 =T1・T1 =[1-(1/N)]2          C2=1- [1-(1/N)]2

1枚

重ならない2枚

重なる2枚

(3) こうしてN枚の紙片を撒いた時の透過率 TN はいくつですか?

TN=[1-(1/N)]N


(4) Nを無限に大きくしていった時の CN、TN は幾つでしょう?

TN=lim [1-(1/N)]N =1/e

CN=1-1/e

(5) 始めに用意する紙がK枚の時に、Nを無限に大きくしていった時の CN、TN は幾つになるでしょう?

紙片1個の面積はσ=K・S/N なので、 

C1 = σ/S=K/N、 T1 =1-C1 =1-(K/N)

TN=lim [1-(K/N)]N =(1/e)K=eーK


平らな面上に、W=100ワットの電球を n=0.平らな面上に、W=100ワットの電球を n=0.1個/m2 の割合で並べます。この面を高さH=50mの公園Gから眺めます。真下から角度θの方向を見た時の輻射強度 I(θ)を求めましょう。

(1) 図のようにGから θ の方向に dω の立体角をとると、面上での面積dS はいくつになりますか?

そこにある電球の数dNはいくつですか?

Θ

dS=[R2dω]/ cosθ、 R=H/ cosθ

なので、

dS=[H2 / cos3θ]dω

dN= [n・H2 / cos3θ]dω

dω

R=H/cosθ

dS


(2) G点でd平らな面上に、W=100ワットの電球を n=0.ω方向と垂直に小面積dsを立てます。dSにある出力Wの電球の光の内、dsを通過するエネルギーdeはいくつですか?

電球からdsを見こむ立体角は、

dΩ=ds/R2=ds[cos2θ/H2]

なので、

de=W[dΩ/4π]

  =ds[cos2θ/H2]・W/4π

ds

(3) dS内のdN個の電灯の光の内dsを通過するエネルギーdPはいくつになるでしょう?

dP=de・dN

  =ds[cos2θ/H2]・[W/4π]・ [n・H2 / cos3θ]dω

  = [W/4π]・ [n/ cosθ]・ds・dω


(4) dPの式から、I(平らな面上に、W=100ワットの電球を n=0.θ)をW、n、θの関数として表わして下さい。

dP=I・ ds・dω なので、前の問から、

I(θ)= [W/4π]・ [n/ cosθ]

(5)W、nの数値を使い、 I(θ)をグラフにして下さい。

I(θ)= [W/4π]・ [n/ cosθ]

   =[100・0.1/ 4π]/ cosθ W m-2/str

=[0.8/ cosθ] W m-2/str

W m-2/str

                           2

                           1

0°                   90°

θ