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§2.5 格林函数法 Method of Green function - PowerPoint PPT Presentation


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§2.5 格林函数法 Method of Green function. 格林函数法用 Green 定理来求解静电边值问题的方法。即给定区域 V 内电荷分布 ,和区 域 V 的边界面 S 上各点的电势 或电势法向导数 ,求区域 V 内各点的电势分布。 如果边界条件是给定 S 上的电势 ,这类边值问题称为 第一类边值问题 ,也称 狄利克莱边值问题 ;如果边值(界)条件是给定 S 上的 ,这类边值问题称为 第二类边值问题 ,也称 诺埃曼边值问题 。.

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2 5 method of green function

§2.5 格林函数法

Method of Green function


格林函数法用Green定理来求解静电边值问题的方法。即给定区域V内电荷分布 ,和区

域V的边界面S上各点的电势 或电势法向导数 ,求区域V内各点的电势分布。

如果边界条件是给定S上的电势 ,这类边值问题称为第一类边值问题,也称狄利克莱边值问题;如果边值(界)条件是给定S上的 ,这类边值问题称为第二类边值问题,也称诺埃曼边值问题。


格林函数法讨论是这两类边值问题,怎样借助于有关点电荷的较简单的边值问题而得到解决。

1、点电荷密度的 函数表示

因为点电荷分布的特点是在点电荷所在处的电荷密度变为无穷大,而在其他地方电荷密度为零。设在 处有一点电荷Q,则电荷密度可写为

显然


Q 1 2 green v v s

对于单位点电荷而言, 格林函数法讨论是这两类边值问题,怎样借助于有关点电荷的较简单的边值问题而得到解决。Q=1,其密度为

2、Green函数

一个处在 点上的单位点电荷,它所激发的电势方程为泊松方程

假设有一包含 点的某空间区域V,在V的边界S上 有如下边界条件


则把满足边界条件(4)式的(3)式的解称为泊松方程在区域则把满足边界条件(4)式的(3)式的解称为泊松方程在区域V的第一类或第二类边值问题的Green函数。

Green函数一般用 表示, 表示单位电荷所在的位置, 代表观察点,在(3)式和(4)式中,把 换成G,即Green 函数所满足的方程和边界条件为

3、Green公式和边值问题的解


下面用则把满足边界条件(4)式的(3)式的解称为泊松方程在区域Green公式把一般Poisson方程的边值问题的解用Green 函数联系起来。

(1)先看Green公式的两种形式

根据 Gauss 公式,知道

设 若 均为连续、可微的标量点函数,则:


V s green

则把满足边界条件(4)式的(3)式的解称为泊松方程在区域

于是,有

式中V为闭合面S所围的面积,此为Green第一公式。

将上式中的 对调,即 ,同理得到


将(6)式减去(7)式,得则把满足边界条件(4)式的(3)式的解称为泊松方程在区域

该式称为Green第二公式

Green第一、第二公式是等价的。可视方便而选取之。Green公式对解静电问题的意义是:在区域V内找一个函数 ( 为待求),通过这两个公式从已知确定未知。

(2)边值问题的解

给定一个区域V,其中给定了


Green

S则把满足边界条件(4)式的(3)式的解称为泊松方程在区域

V

给定了

且待求的边值问题:

相应的Green函数问题是:

边界条件:

现在,取 满足


取 满足则把满足边界条件(4)式的(3)式的解称为泊松方程在区域

代入Green第二公式,有

因为Green公式中积分,微分都是对变量 进行的,由于Green函数关于源点和场点是对称的,即

,可把变量 换为 ,把 改为 ,即得


该式左边第二项为则把满足边界条件(4)式的(3)式的解称为泊松方程在区域

得到


Green a v

故得到则把满足边界条件(4)式的(3)式的解称为泊松方程在区域

这就是用Green函数求解静电问题的一种形式解。

讨论几点:

a) 在区域V中,任一点的势唯一地决定 电荷分布及边界的值


b) 则把满足边界条件(4)式的(3)式的解称为泊松方程在区域如果所取的Green函数属于第一类边值问题,即 则有

这就是第一类边值问题的解

c)如果所取的Green函数属于第二类边值问题,即

要说明一点的是:对第二类静电边值问题不能

用第二类齐次边界的Green函数,即 ,


Green gauss

因为 则把满足边界条件(4)式的(3)式的解称为泊松方程在区域Green函数 的物理意义是的在 处存在一个单位电荷在空间所激发的电势。因此

即代表单位电荷在边界上所激发的电场,由Gauss定理知道

由此可见


Green green s

从而,则把满足边界条件(4)式的(3)式的解称为泊松方程在区域Green函数在边界上的最简单的形式可以取

这样且有第二类静电边值问题的Green函数解的形式:

式中 为 在边界面S上的平均值。


在实际问题中,常遇到这类问题:在所考察的区域包含有无穷大的边界面,假如,一导体球外的空间电势分布问题,这时所考察的区域是球面和无穷大曲面间包围的区域,所以这时边界面S→∞故有

于是

故得到


此式称为球外问题的 在实际问题中,常遇到这类问题:在所考察的区域包含有无穷大的边界面,假如,一导体球外的空间电势分布问题,这时所考察的区域是球面和无穷大曲面间包围的区域,所以这时边界面Green函数解的形式。

4、几种区域的Green函数

上面的讨论,表面上似乎把静电边值问题的解找到了,其实并作为此,因为只有把问题的Green函数找到了,才能对表达式(第一类边值问题的形式解和第二类边值问题的形式解)作出具体的计算。实际求Green函数本身并不是件容易的事,所以以上解的形式只具有形式解的意义。当然,它把唯一性定理更具体地表达出来了。

下面介绍几种不同区域的Green函数。


(1)无界空间的 在实际问题中,常遇到这类问题:在所考察的区域包含有无穷大的边界面,假如,一导体球外的空间电势分布问题,这时所考察的区域是球面和无穷大曲面间包围的区域,所以这时边界面Green函数

在无穷大空间中放一个单位点电荷,求空间某处的电势,也就是Green函数。

其中, 代表单位电荷的所在位置(源点坐标), 代表观察点坐标(场点坐标)。

现在,证明上述Green函数满足Green函数所必须满足的微分方程。

证明: 选电荷所在处为坐标原点,即 ,在球


R 0 s v

在实际问题中,常遇到这类问题:在所考察的区域包含有无穷大的边界面,假如,一导体球外的空间电势分布问题,这时所考察的区域是球面和无穷大曲面间包围的区域,所以这时边界面标系中

考虑球对称性,得到

当r=0时,取一小球面S包围着原点,取 对小球体积V积分,即


根据 函数性质,从而有 在实际问题中,常遇到这类问题:在所考察的区域包含有无穷大的边界面,假如,一导体球外的空间电势分布问题,这时所考察的区域是球面和无穷大曲面间包围的区域,所以这时边界面

故得到


与微分方程比较,即有 在实际问题中,常遇到这类问题:在所考察的区域包含有无穷大的边界面,假如,一导体球外的空间电势分布问题,这时所考察的区域是球面和无穷大曲面间包围的区域,所以这时边界面

这里把 与 互换, 不变,即有

这就说明Green函数具有对称性。这就证明了

为无界空间的Green函数。

(2)上半空间的Green函数

在接地导体平面的上半空间,由于 ,属于第一类边值问题。


z 在实际问题中,常遇到这类问题:在所考察的区域包含有无穷大的边界面,假如,一导体球外的空间电势分布问题,这时所考察的区域是球面和无穷大曲面间包围的区域,所以这时边界面

r1

r2

y

o

根据镜象法得到:


3 green

z 在实际问题中,常遇到这类问题:在所考察的区域包含有无穷大的边界面,假如,一导体球外的空间电势分布问题,这时所考察的区域是球面和无穷大曲面间包围的区域,所以这时边界面

R'

r'

θ

R

α

θ'

R0

y

o

x

这也可看到

(3)球外空间的 Green函数

在接地导体球外的空间,由 ,属于第一类边值问题。


可见: 在实际问题中,常遇到这类问题:在所考察的区域包含有无穷大的边界面,假如,一导体球外的空间电势分布问题,这时所考察的区域是球面和无穷大曲面间包围的区域,所以这时边界面

根据镜象法得


在求 在实际问题中,常遇到这类问题:在所考察的区域包含有无穷大的边界面,假如,一导体球外的空间电势分布问题,这时所考察的区域是球面和无穷大曲面间包围的区域,所以这时边界面Green函数时,必须注意:求Green函数本身不是很容易的,只有当区域具有简单几何形状时才能得出解析的解,如果 时,Green函数法也可以由来解Laplace equation的边值问题获得。

5、Green函数法的应用举例

[例] 在无穷大导体平面上有半径为a的圆,圆内和圆外用极狭窄的绝缘环绝缘, 设圆内电势为V0,导体板其余部分电势为零,求上半空间的电势。


z 在实际问题中,常遇到这类问题:在所考察的区域包含有无穷大的边界面,假如,一导体球外的空间电势分布问题,这时所考察的区域是球面和无穷大曲面间包围的区域,所以这时边界面

R

P(ρ,φ,z)

P'(ρ',φ',z')

a

y

V0

x

解:

静电问题:


Green1

此题 在实际问题中,常遇到这类问题:在所考察的区域包含有无穷大的边界面,假如,一导体球外的空间电势分布问题,这时所考察的区域是球面和无穷大曲面间包围的区域,所以这时边界面Green函数满足的形式为

相当于无穷大金属平板旁边放置单位点电荷求电势分布的问题


Green green

上半空间的 在实际问题中,常遇到这类问题:在所考察的区域包含有无穷大的边界面,假如,一导体球外的空间电势分布问题,这时所考察的区域是球面和无穷大曲面间包围的区域,所以这时边界面Green函数为

其中:

换为柱坐标,且有

故Green函数为


S z 0 z

又∵电荷密度 ,及 ,由第一类边值问题的形式解可得到:

因为积分面S是z'=0的无穷大平面,法线沿-z'方向,


S r a

,由第一类边值问题的形式解可得到:

由于S上只有圆内部分电势不为零,因此式子

中的积分只需对r≤a积分,即可。


R 2 z 2 a 2

,由第一类边值问题的形式解可得到:

在很远处 (R2+z2>>a2 ) 的电势可以展开成幂级数,将积分中的被积函数分母展开


Cos 2

其中 ,由第一类边值问题的形式解可得到:

注意到cos(φ-φ')对φ'一个或数个2π周期的积分为零,故


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