Te ria hromadnej obsluhy
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 49

Te ória hromadnej obsluhy PowerPoint PPT Presentation


  • 121 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Te ória hromadnej obsluhy. 1909 – Erlang (D) 30. roky – Kolmogorov, Chinčin Molina, Fry (US) Palm (S). Systém hromadnej obsluhy - prvky. kanály obsluhy – súbor zariadení, schopných vykonávať obsluhu požiadaviek

Download Presentation

Te ória hromadnej obsluhy

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Teória hromadnej obsluhy

1909 – Erlang (D)

30. roky – Kolmogorov, Chinčin

Molina, Fry (US)

Palm (S)


Systém hromadnej obsluhy - prvky

  • kanály obsluhy – súbor zariadení, schopných vykonávať obsluhu požiadaviek

  • front požiadaviek – súbor požiadaviek čakajúcich v systéme na obsluhu

  • zdroj požiadaviek – množina objektov, prichádzajúcich do úvahy ako potenciálne požiadavky

  • vstupný prúd – časová postupnosť javov – vstupov požiadavky do SHO

  • výstupný prúd - časová postupnosť javov – výstupov požiadavky zo SHO


Schéma SHO

vstupujúce

požiadavky

vystupujúce obslúžené požiadavky

front

požiadaviek

obslužné

kanály

zdroj

požiad.


Význam modelovania SHO


Pre popis SHO treba poznať:

režim príchodu požiadaviek

intervaly medzi príchodmi, počet vstupujúcich požiadaviek za čas. jednotku, pravidelnosť či náhodnosť vstupov (pravdepod. rozdelenie), jednotlivo či v skupinách – dávkach

správanie požiadaviek, ak nemôžu byť obslúžené

- odchod bez obsluhy – syst. bez čakania (s odmietnutím)

- čakanie vo fronte – syst. s čakaním

priebeh obsluhy

súčasne môže byť obslúžená 1 požiadavka, alebo viaceré

doba obsluhy je – konštantná

– náhodná


Klasifikácia SHO

zdroj požiad. -ohraničený – uzavretý SHO

(n strojov v dielni - opravy)

- neohraničený – otvorený SHO

(predajňa, križovatka, ...)

čakanie vo fronte

- SHO s čakaním – ohr. – dĺžka fronty

– čas. čakania

– neohr.

- SHO bez čakania (s odmietnutím)


Klasifikácia SHO

počet kanálov obsluhy

- jednokanálové SHO

- viackanálové SHO

štruktúra kanálov obsluhy

- paralelné SHO

- sériové SHO (- viacfázové)

- zložité (viacstupňové, siete)

obsluha - usporiadaná

- bez priorít – FIFO

– LIFO

- s prioritami – PRI– s preruš.

– bez preruš.

-náhodná


Klasifikačný systém(Kendall 1953)

3 symboly: (A / B / X)

A – typ stochastického procesu vstup. prúdu

B – typ rozdelenia času obsluhy

X – počet paralelných kanálov obsluhy

A, resp. B môže nadobúdať hodnoty:

M – Poissonov (markovovský) vstupný prúd, resp.

exponenciálne rozdelenie času obsluhy

Ek – Erlangovo rozdelenie intervalov medzi medzi

vstupmi (výstupmi) s parametrami λ, k

Kn - 2 rozdelenie intervalov medzi vstupmi (výstupmi)

s n stupňami voľnosti


Klasifikačný systém

D – pravidelné deterministické vstupy (výstupy)

G – žiadne predpoklady o vstupnom (výstupnom) prúde

X – prirodzené číslo alebo 

Napr.

(M / M / 1) – jednokanálový SHO s Poissonovým vstupným

prúdom a s exponenciálnym rozdelením času obsluhy

Väčšina teoretických modelov predpokladá A = M, B = M


Klasifikačný systém

Kendallova klasifikácia sa dopĺňa o ďalšie charakteristiky:

Y – maximálny počet požiadaviek v SHO (max. možný)

Z – maximálny počet požiadaviek v zdroji

U – disciplína čakania a režim obsluhy

 (A / B / X / Y / Z / U)


Modelovanie procesov hromadnej obsluhy

náhodné procesy:

  • vstupy požiadaviek do sústavy

    char-né vel. λ= intenzita vstupného prúdu

    – priemerný počet požiadaviek vstúpivších do systému za časovú jednotku

  • obsluha

    charakterizovaná veličinou μ = intenzita obsluhy

    – priemerný počet požiadaviek obslúžených jedným obslužným kanálom za časovú jednotku


N(t)

t

Proces vstupu požiadaviek do SHO

k = tk – tk-1- náh. prem.

- interval medzi príchodmi dvoch požiadaviek

N(t) – počet požiadaviek, ktoré k čas. ok. t vstúpili do systému

{N(t)} - náh. proces s urč. vlastnosťami

- Poissonov proces

tk-1 tk


Proces vstupu požiadaviek do SHO =prúd javov (bodový proces)

- postupnosť javov, vyskytujúcich sa v náhodných časových okamihoch

kde

N(t) - prirodzené číslo

- počet výskytov javu v čase (0, t)

N(t2) - N(t1) - prirodzené číslo (t1 < t2)

- vstupy pož. do SHO aj výstupy z neho sú bodové procesy


Modelovanie vstupu požiadaviek do SHO

Väčšinou predpokladáme, že vstupný prúd požiadaviek tvorí Poissonov proces.

Poissonov proces je prúd javov, ktorý má vlastnosti:

  • nezávislosť prírastkov– počet javov, kt. sa vyskytnú v určitom intervale, nezávisí od počtu javov v iných intervaloch

  • stacionárnosť (homogenita v čase) – počet javov v ľubovoľných rovnako dlhých intervaloch je konštatný


Modelovanie vstupu požiadaviek do SHO

  • regulárnosť (ordinárnosť) – pravdepodobnosť výskytu viac než jedného javu na dostatočne malom intervale t je zanedbateľne malá. Na intervale (t, t + t) môže nastať len jeden z dvoch možných prípadov:

    1. vyskytne sa práve 1 jav s pravdepodobnosťou λ t

    2. nevyskytne sa žiadny jav s pravdepodobnosťou 1 - λ t

    λ– konštanta - intenzita vstup. prúdu [počet pož. / čas.j.]

    PriPoissonovom procese môže systém za časový interval (t, t + t) buď prejsť do najbližšieho vyššieho stavu, alebo zotrvať v tom istom stave.


{X(t)}- stav systému

pk(t) = P( X(t) = k )

= pravdepodobnosť, že v systéme je v čase tpráve k požiadaviek

Pravdepodobnosti pk(t)sa odvodzujú z pravdep. prechodu systému do stavuk

a využívajú sa na odvodenie ukazovateľov kvalityobsluhy a ukazovateľov využitia SHO

Tieto ukazovatele sa využívajú na analýzu existujúcich alebo navrhovaných obslužných systémov s cieľom optimalizácie ich fungovania.


1 - λt

1 - λt

λt

k

k-1

Odvodenie pravdepodobnostípk(t) pre Poissonov proces

Ak uvažujeme len vstupy pož. do SHO – z predpokladu ordinárnosti  stav sk v čase (t+t)môže nastať, ak systém bol v čase t v stave sk ,alebo v stave sk-1.

Pravdepodobnosti prechodu:

sk-1 skλt

sk sk 1 - λt

Graf prechodov:


 pk(t+t) = pk-1(t) λt + pk(t)(1-λt),k > 0

p0(t+t) = p0(t)(1-λt)

Ak predp. t  0 :

  • p0'(t) = - λp0(t)

    pk'(t) = - λpk(t) + λpk-1(t),k > 0

    Začiatočné podmienky:

    pk(0) = 1pre k = 0

    pk(0) = 0pre k > 0


  • rekurentná sústava diferenciálnych rovníc s riešením:

k = 0, 1, ......

t ≥ 0,λ ≥ 0

  • pravdep., že za čas. interval (0, t) vstúpilo do systému k požiadaviek, sa riadi Poissonovým rozdelením.

  • Vstupný prúd je Poissonov proces, ktorý je súčasne Markovovým procesom.

  • λ – intenzita vstupného prúdu = priemerný počet požiad., kt. vstúpia do systému za časovú jednotku


X(t)

t

 Počet požiadaviek v systéme je náhodný proces

{X(t)}- stav systému

pravdepod., že systém je

v čase t v stave k:

pk(t) = P( X(t) = k )

náh. proces {X(t)} – predpokladáme urč. vlastnosti:

MARKOVOV PROCES, t.j. pravdep., že systém je v čase t v stave k závisí len od toho, v akom stave bol systém v predch. časovom okamihu t - t, nie však od vzdialenejšej minulosti(procesy bez minulosti)


Proces zrodov a zánikov

Pri skúmaní procesov obsluhy možno proces modelovať ako proces zrodov a zánikov – vstupy – zrody

– výstupy po obsluhe – zániky

Intenzita zrodov – λ

Intenzita zánikov – kμ

k- počet kanálov

μ- intenzita obsluhy


Pri modelovaní SHO sa používa

diferenciálno-diferenčná metóda, založená na zostavovaní Kolmogorovových rovníc pre pravdepodobnosti pk(t)


Otvorený jednokanálový SHO bez čakania

Predpoklady:

  • Vstupný prúd je Poissonov proces s intenzitou vstupu λ

  • Čas obsluhy sa riadi exponenciálnym zákonom rozdelenia so strednou hodnotou ts = 1 / μ

  • Počet kanálov n = 1

  • Front sa nevytvára; ak je systém obsadený, požiadavka je odmietnutá

  • Zdroj požiadaviek je neohraničený


0

1

Otvorený jednokanálový SHO BEZ ČAKANIA

2 možné stavy :s0,s1

Pravdepodobnosti prechodov:

s0 s0 1 - λt

s1 s0μt

s0 s1λt

s1 s1 1 – μt

Graf prechodov:

1 - λt

1 – μt

λt

μ t


p0(t+t) = p0(t)(1-λt) + p1(t)μt

p1(t+t) = p0(t) λt + p1(t)(1- μt)

za predp. t  0 :

p0(0) = 1 p1(0) = 0

Okrem toho musí platiť:

p0(t) + p1(t) = 1


za predp. permanentného režimu, t.j. ak ex. limity

  • sústava algebraických rovníc:

    -λ p0+ μ p1= 0

    λ p0- μ p1= 0

    p0+ p1= 1

    Riešenie:

    p0= μ / (λ + μ)

    p1 = λ / (λ + μ)


Charakteristiky systému (M/M/1/1/)

Ukazovatele kvality obsluhy:

pravdepodobnosť odmietnutia požiadavky:

pst = p1

relatívna kapacita systému (pravdep. obsluhy):

Kr = pobsl = p0

absolútna kapacita systému:

Ka = λ Kr

nominálna kapacita systému:

Knom = μ


Ukazovatele zaťaženia sústavy:

koeficient prestoja obslužného kanála:

K0 = p0

koeficient využitia kanála:

Kz = 1 – p0 = p1


Otvorený viackanálový SHO bez čakania(M/M/n/n/)

Predpoklady:

ako pri (M/M/1/1/)

ale v systéme je nobslužných kanálov (n>1), ktoré sú homogénne, t. j. vykonávajú obsluhu rovnakého druhu za priemerne rovnaký čas


Otvorený viackanálový SHO bez čakania

Možné stavy :

s0,s1,..., sn

Pravdepodobnosti prechodov:

sk-1 skλt

sk sk (1 - λt)(1-kμt) ≡ 1- (λ +kμ)t

sk+1 sk (k+1) μt

sn-1 snλt

sn sn 1 – nμt


  • Graf prechodov:

0

1

k

n-1

n

...

...


Začiatočné podmienky:

  • Sústava diferenciálnych rovníc

    (Erlangova sústava rovníc)


a platí:

  • Za predpokladu perman. režimu

    => sústava alg. rovníc:


po substitúcii

ERLANGOV VZOREC


  • 1. Pravdepodobnosť odmietnutia požiadavky

  • 2. Relatívna kapacita systému

Charakteristiky systému (M|M|n|n|∞)

  • Ukazovatele kvality obsluhy


  • 3. Absolútna kapacita systému

  • 4. Priem počet obsadených kanálov

resp.

  • 5. Priem počet voľných kanálov

resp.

  • Ukazovatele využitia kanálov obsluhy


  • 6. Koeficient prestoja kanála:

  • 7. Koeficient využitia kanálov

resp.

  • 8. Nominálna kapacita systému


resp.

Otvorený jednokanálový SHO s čakaním (M|M|1|∞|∞)

  • ak je kanál obsadený, požiadavky sa radia do frontu a čakajú na obsluhu

  • pravdep., že dĺžka frontu nie je ohraničená

    (iný model – (M|M|1|N|∞) – max. dĺžka frontu je N-1)

  • Tento SHO môže efektívne fungovať, len ak je splnená podmienka permanentného režimu

(inak front neohraničene rastie)


  • Príklady: Predajňa s 1 predavačom, benzínová stanica s 1 čerpadlom, jednoprúdová vozovka a pod.

  • GRAF PRECHODOV:

0

1

k-1

k

k+1

...

...


  • Za predp. perman. režimu (<1)existujú limitné pravdepodobnosti

  • súst. algebraických rovníc


  • s riešením:


  • 1. priemerný počet požiadaviek v systéme

  • 2. priemerný počet požiadaviek vo fronte

Charakteristiky systému (M|M|1|∞|∞)

  • Ukazovatele kvality obsluhy


  • 3. priemerný čas pobytu požiadavky v systéme

  • 4. priemerný čas čakania vo fronte

  • 5. koeficient využitia kanála

  • 6. koeficient prestoja kanála

  • Ukazovatele využitia kanálov obsluhy


...

Viackanálový otvorený SHO s čakaním

(M|M|n|∞|∞)

  • Počet kanálov n>1 Počet možných stavov:

  • Podm. perman. režimu:

  • GRAF PRECHODOV

0

n+1

1

k

n-1

n

...

...

...


  • Za predp. perman. režimu možno určiť pk:


  • p0 odvodíme zo vzťahu


  • 1. Pravdep. čakania vo fronte:

  • 2. Priemerná dĺžka frontu:

Charakteristiky systému (M|M|n|∞|∞)

  • Ukazovatele kvality obsluhy


  • 3. Priemerný počet požiadaviek v SHO:

  • 4. Priemerný čas pobytu požiadavky v systéme:

  • 5. Priemerný čas čakania požiadavky na obsluhu:


  • 6. Priemerný počet obsadených kanálov:

  • 7. Priemerný počet voľných kanálov:

  • 8. Koeficient využitia kanála:

  • 9. Koeficient prestoja kanála:

  • Ukazovatele využitia kanálov obsluhy


  • Login