Te ria hromadnej obsluhy
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 49

Te ória hromadnej obsluhy PowerPoint PPT Presentation


  • 106 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Te ória hromadnej obsluhy. 1909 – Erlang (D) 30. roky – Kolmogorov, Chinčin Molina, Fry (US) Palm (S). Systém hromadnej obsluhy - prvky. kanály obsluhy – súbor zariadení, schopných vykonávať obsluhu požiadaviek

Download Presentation

Te ória hromadnej obsluhy

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Te ria hromadnej obsluhy

Teória hromadnej obsluhy

1909 – Erlang (D)

30. roky – Kolmogorov, Chinčin

Molina, Fry (US)

Palm (S)


Syst m hromadnej obsluhy prvky

Systém hromadnej obsluhy - prvky

  • kanály obsluhy – súbor zariadení, schopných vykonávať obsluhu požiadaviek

  • front požiadaviek – súbor požiadaviek čakajúcich v systéme na obsluhu

  • zdroj požiadaviek – množina objektov, prichádzajúcich do úvahy ako potenciálne požiadavky

  • vstupný prúd – časová postupnosť javov – vstupov požiadavky do SHO

  • výstupný prúd - časová postupnosť javov – výstupov požiadavky zo SHO


Sch ma sho

Schéma SHO

vstupujúce

požiadavky

vystupujúce obslúžené požiadavky

front

požiadaviek

obslužné

kanály

zdroj

požiad.


V znam modelovania sho

Význam modelovania SHO


Pre popis sho treba pozna

Pre popis SHO treba poznať:

režim príchodu požiadaviek

intervaly medzi príchodmi, počet vstupujúcich požiadaviek za čas. jednotku, pravidelnosť či náhodnosť vstupov (pravdepod. rozdelenie), jednotlivo či v skupinách – dávkach

správanie požiadaviek, ak nemôžu byť obslúžené

- odchod bez obsluhy – syst. bez čakania (s odmietnutím)

- čakanie vo fronte – syst. s čakaním

priebeh obsluhy

súčasne môže byť obslúžená 1 požiadavka, alebo viaceré

doba obsluhy je – konštantná

– náhodná


Klasifik cia sho

Klasifikácia SHO

zdroj požiad. -ohraničený – uzavretý SHO

(n strojov v dielni - opravy)

- neohraničený – otvorený SHO

(predajňa, križovatka, ...)

čakanie vo fronte

- SHO s čakaním – ohr. – dĺžka fronty

– čas. čakania

– neohr.

- SHO bez čakania (s odmietnutím)


Klasifik cia sho1

Klasifikácia SHO

počet kanálov obsluhy

- jednokanálové SHO

- viackanálové SHO

štruktúra kanálov obsluhy

- paralelné SHO

- sériové SHO (- viacfázové)

- zložité (viacstupňové, siete)

obsluha - usporiadaná

- bez priorít – FIFO

– LIFO

- s prioritami – PRI– s preruš.

– bez preruš.

-náhodná


Klasifika n syst m kendall 1953

Klasifikačný systém(Kendall 1953)

3 symboly: (A / B / X)

A – typ stochastického procesu vstup. prúdu

B – typ rozdelenia času obsluhy

X – počet paralelných kanálov obsluhy

A, resp. B môže nadobúdať hodnoty:

M – Poissonov (markovovský) vstupný prúd, resp.

exponenciálne rozdelenie času obsluhy

Ek – Erlangovo rozdelenie intervalov medzi medzi

vstupmi (výstupmi) s parametrami λ, k

Kn - 2 rozdelenie intervalov medzi vstupmi (výstupmi)

s n stupňami voľnosti


Klasifika n syst m

Klasifikačný systém

D – pravidelné deterministické vstupy (výstupy)

G – žiadne predpoklady o vstupnom (výstupnom) prúde

X – prirodzené číslo alebo 

Napr.

(M / M / 1) – jednokanálový SHO s Poissonovým vstupným

prúdom a s exponenciálnym rozdelením času obsluhy

Väčšina teoretických modelov predpokladá A = M, B = M


Klasifika n syst m1

Klasifikačný systém

Kendallova klasifikácia sa dopĺňa o ďalšie charakteristiky:

Y – maximálny počet požiadaviek v SHO (max. možný)

Z – maximálny počet požiadaviek v zdroji

U – disciplína čakania a režim obsluhy

 (A / B / X / Y / Z / U)


Modelovanie procesov hromadnej obsluhy

Modelovanie procesov hromadnej obsluhy

náhodné procesy:

  • vstupy požiadaviek do sústavy

    char-né vel. λ= intenzita vstupného prúdu

    – priemerný počet požiadaviek vstúpivších do systému za časovú jednotku

  • obsluha

    charakterizovaná veličinou μ = intenzita obsluhy

    – priemerný počet požiadaviek obslúžených jedným obslužným kanálom za časovú jednotku


Proces vstupu po iadaviek do sho

N(t)

t

Proces vstupu požiadaviek do SHO

k = tk – tk-1- náh. prem.

- interval medzi príchodmi dvoch požiadaviek

N(t) – počet požiadaviek, ktoré k čas. ok. t vstúpili do systému

{N(t)} - náh. proces s urč. vlastnosťami

- Poissonov proces

tk-1 tk


Proces vstupu po iadaviek do sho pr d javov bodov proces

Proces vstupu požiadaviek do SHO =prúd javov (bodový proces)

- postupnosť javov, vyskytujúcich sa v náhodných časových okamihoch

kde

N(t) - prirodzené číslo

- počet výskytov javu v čase (0, t)

N(t2) - N(t1) - prirodzené číslo (t1 < t2)

- vstupy pož. do SHO aj výstupy z neho sú bodové procesy


Modelovanie vstupu po iadaviek do sho

Modelovanie vstupu požiadaviek do SHO

Väčšinou predpokladáme, že vstupný prúd požiadaviek tvorí Poissonov proces.

Poissonov proces je prúd javov, ktorý má vlastnosti:

  • nezávislosť prírastkov– počet javov, kt. sa vyskytnú v určitom intervale, nezávisí od počtu javov v iných intervaloch

  • stacionárnosť (homogenita v čase) – počet javov v ľubovoľných rovnako dlhých intervaloch je konštatný


Modelovanie vstupu po iadaviek do sho1

Modelovanie vstupu požiadaviek do SHO

  • regulárnosť (ordinárnosť) – pravdepodobnosť výskytu viac než jedného javu na dostatočne malom intervale t je zanedbateľne malá. Na intervale (t, t + t) môže nastať len jeden z dvoch možných prípadov:

    1. vyskytne sa práve 1 jav s pravdepodobnosťou λ t

    2. nevyskytne sa žiadny jav s pravdepodobnosťou 1 - λ t

    λ– konštanta - intenzita vstup. prúdu [počet pož. / čas.j.]

    PriPoissonovom procese môže systém za časový interval (t, t + t) buď prejsť do najbližšieho vyššieho stavu, alebo zotrvať v tom istom stave.


Te ria hromadnej obsluhy

{X(t)}- stav systému

pk(t) = P( X(t) = k )

= pravdepodobnosť, že v systéme je v čase tpráve k požiadaviek

Pravdepodobnosti pk(t)sa odvodzujú z pravdep. prechodu systému do stavuk

a využívajú sa na odvodenie ukazovateľov kvalityobsluhy a ukazovateľov využitia SHO

Tieto ukazovatele sa využívajú na analýzu existujúcich alebo navrhovaných obslužných systémov s cieľom optimalizácie ich fungovania.


Odvodenie pravdepodobnost p k t pre poissonov proces

1 - λt

1 - λt

λt

k

k-1

Odvodenie pravdepodobnostípk(t) pre Poissonov proces

Ak uvažujeme len vstupy pož. do SHO – z predpokladu ordinárnosti  stav sk v čase (t+t)môže nastať, ak systém bol v čase t v stave sk ,alebo v stave sk-1.

Pravdepodobnosti prechodu:

sk-1 skλt

sk sk 1 - λt

Graf prechodov:


Te ria hromadnej obsluhy

 pk(t+t) = pk-1(t) λt + pk(t)(1-λt),k > 0

p0(t+t) = p0(t)(1-λt)

Ak predp. t  0 :

  • p0'(t) = - λp0(t)

    pk'(t) = - λpk(t) + λpk-1(t),k > 0

    Začiatočné podmienky:

    pk(0) = 1pre k = 0

    pk(0) = 0pre k > 0


Te ria hromadnej obsluhy

  • rekurentná sústava diferenciálnych rovníc s riešením:

k = 0, 1, ......

t ≥ 0,λ ≥ 0

  • pravdep., že za čas. interval (0, t) vstúpilo do systému k požiadaviek, sa riadi Poissonovým rozdelením.

  • Vstupný prúd je Poissonov proces, ktorý je súčasne Markovovým procesom.

  • λ – intenzita vstupného prúdu = priemerný počet požiad., kt. vstúpia do systému za časovú jednotku


Po et po iadaviek v syst me je n hodn proces

X(t)

t

 Počet požiadaviek v systéme je náhodný proces

{X(t)}- stav systému

pravdepod., že systém je

v čase t v stave k:

pk(t) = P( X(t) = k )

náh. proces {X(t)} – predpokladáme urč. vlastnosti:

MARKOVOV PROCES, t.j. pravdep., že systém je v čase t v stave k závisí len od toho, v akom stave bol systém v predch. časovom okamihu t - t, nie však od vzdialenejšej minulosti(procesy bez minulosti)


P roces zrodov a z nikov

Proces zrodov a zánikov

Pri skúmaní procesov obsluhy možno proces modelovať ako proces zrodov a zánikov – vstupy – zrody

– výstupy po obsluhe – zániky

Intenzita zrodov – λ

Intenzita zánikov – kμ

k- počet kanálov

μ- intenzita obsluhy


Te ria hromadnej obsluhy

Pri modelovaní SHO sa používa

diferenciálno-diferenčná metóda, založená na zostavovaní Kolmogorovových rovníc pre pravdepodobnosti pk(t)


Otvoren jednokan lov sho bez akania

Otvorený jednokanálový SHO bez čakania

Predpoklady:

  • Vstupný prúd je Poissonov proces s intenzitou vstupu λ

  • Čas obsluhy sa riadi exponenciálnym zákonom rozdelenia so strednou hodnotou ts = 1 / μ

  • Počet kanálov n = 1

  • Front sa nevytvára; ak je systém obsadený, požiadavka je odmietnutá

  • Zdroj požiadaviek je neohraničený


Otvoren jednokan lov sho bez akania1

0

1

Otvorený jednokanálový SHO BEZ ČAKANIA

2 možné stavy :s0,s1

Pravdepodobnosti prechodov:

s0 s0 1 - λt

s1 s0μt

s0 s1λt

s1 s1 1 – μt

Graf prechodov:

1 - λt

1 – μt

λt

μ t


Te ria hromadnej obsluhy

p0(t+t) = p0(t)(1-λt) + p1(t)μt

p1(t+t) = p0(t) λt + p1(t)(1- μt)

za predp. t  0 :

p0(0) = 1 p1(0) = 0

Okrem toho musí platiť:

p0(t) + p1(t) = 1


Za predp permanentn ho re imu t j ak ex limity

za predp. permanentného režimu, t.j. ak ex. limity

  • sústava algebraických rovníc:

    -λ p0+ μ p1= 0

    λ p0- μ p1= 0

    p0+ p1= 1

    Riešenie:

    p0= μ / (λ + μ)

    p1 = λ / (λ + μ)


Charakteristiky syst mu m m 1 1

Charakteristiky systému (M/M/1/1/)

Ukazovatele kvality obsluhy:

pravdepodobnosť odmietnutia požiadavky:

pst = p1

relatívna kapacita systému (pravdep. obsluhy):

Kr = pobsl = p0

absolútna kapacita systému:

Ka = λ Kr

nominálna kapacita systému:

Knom = μ


Ukazovatele za a enia s stavy

Ukazovatele zaťaženia sústavy:

koeficient prestoja obslužného kanála:

K0 = p0

koeficient využitia kanála:

Kz = 1 – p0 = p1


Otvoren viackan lov sho bez akania m m n n

Otvorený viackanálový SHO bez čakania(M/M/n/n/)

Predpoklady:

ako pri (M/M/1/1/)

ale v systéme je nobslužných kanálov (n>1), ktoré sú homogénne, t. j. vykonávajú obsluhu rovnakého druhu za priemerne rovnaký čas


Te ria hromadnej obsluhy

Otvorený viackanálový SHO bez čakania

Možné stavy :

s0,s1,..., sn

Pravdepodobnosti prechodov:

sk-1 skλt

sk sk (1 - λt)(1-kμt) ≡ 1- (λ +kμ)t

sk+1 sk (k+1) μt

sn-1 snλt

sn sn 1 – nμt


Te ria hromadnej obsluhy

  • Graf prechodov:

0

1

k

n-1

n

...

...


Te ria hromadnej obsluhy

Začiatočné podmienky:

  • Sústava diferenciálnych rovníc

    (Erlangova sústava rovníc)


Te ria hromadnej obsluhy

a platí:

  • Za predpokladu perman. režimu

    => sústava alg. rovníc:


Te ria hromadnej obsluhy

po substitúcii

ERLANGOV VZOREC


Charakteristiky syst mu m m n n

  • 1. Pravdepodobnosť odmietnutia požiadavky

  • 2. Relatívna kapacita systému

Charakteristiky systému (M|M|n|n|∞)

  • Ukazovatele kvality obsluhy


Te ria hromadnej obsluhy

  • 3. Absolútna kapacita systému

  • 4. Priem počet obsadených kanálov

resp.

  • 5. Priem počet voľných kanálov

resp.

  • Ukazovatele využitia kanálov obsluhy


Te ria hromadnej obsluhy

  • 6. Koeficient prestoja kanála:

  • 7. Koeficient využitia kanálov

resp.

  • 8. Nominálna kapacita systému


Te ria hromadnej obsluhy

resp.

Otvorený jednokanálový SHO s čakaním (M|M|1|∞|∞)

  • ak je kanál obsadený, požiadavky sa radia do frontu a čakajú na obsluhu

  • pravdep., že dĺžka frontu nie je ohraničená

    (iný model – (M|M|1|N|∞) – max. dĺžka frontu je N-1)

  • Tento SHO môže efektívne fungovať, len ak je splnená podmienka permanentného režimu

(inak front neohraničene rastie)


Te ria hromadnej obsluhy

  • Príklady: Predajňa s 1 predavačom, benzínová stanica s 1 čerpadlom, jednoprúdová vozovka a pod.

  • GRAF PRECHODOV:

0

1

k-1

k

k+1

...

...


Te ria hromadnej obsluhy

  • Za predp. perman. režimu (<1)existujú limitné pravdepodobnosti

  • súst. algebraických rovníc


Te ria hromadnej obsluhy

  • s riešením:


Te ria hromadnej obsluhy

  • 1. priemerný počet požiadaviek v systéme

  • 2. priemerný počet požiadaviek vo fronte

Charakteristiky systému (M|M|1|∞|∞)

  • Ukazovatele kvality obsluhy


Te ria hromadnej obsluhy

  • 3. priemerný čas pobytu požiadavky v systéme

  • 4. priemerný čas čakania vo fronte

  • 5. koeficient využitia kanála

  • 6. koeficient prestoja kanála

  • Ukazovatele využitia kanálov obsluhy


Te ria hromadnej obsluhy

...

Viackanálový otvorený SHO s čakaním

(M|M|n|∞|∞)

  • Počet kanálov n>1 Počet možných stavov:

  • Podm. perman. režimu:

  • GRAF PRECHODOV

0

n+1

1

k

n-1

n

...

...

...


Te ria hromadnej obsluhy

  • Za predp. perman. režimu možno určiť pk:


Te ria hromadnej obsluhy

  • p0 odvodíme zo vzťahu


Te ria hromadnej obsluhy

  • 1. Pravdep. čakania vo fronte:

  • 2. Priemerná dĺžka frontu:

Charakteristiky systému (M|M|n|∞|∞)

  • Ukazovatele kvality obsluhy


Te ria hromadnej obsluhy

  • 3. Priemerný počet požiadaviek v SHO:

  • 4. Priemerný čas pobytu požiadavky v systéme:

  • 5. Priemerný čas čakania požiadavky na obsluhu:


Te ria hromadnej obsluhy

  • 6. Priemerný počet obsadených kanálov:

  • 7. Priemerný počet voľných kanálov:

  • 8. Koeficient využitia kanála:

  • 9. Koeficient prestoja kanála:

  • Ukazovatele využitia kanálov obsluhy


  • Login