数学建模讲义

1. 数学建模讲义 建模概论与初等模型

2. 什么是数学模型 一、数学建模概论 ——实物模型 玩具、照片…… 我们常见 的模型 ——物理模型 风洞中的飞机… ——符号模型 地图、电路图… 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.

3. 数学模型(Mathematical Model) 数学建模（Mathematical Modeling) 数学模型——对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 数量关系 数学建模——是利用数学方法解决实际问题的一种实践过程. 即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后, 将实际问题用数学方式表达，以建立起数学模型, 然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解. 数学建模指建立数学模型的全过程。 ——包括模型建立、求解、分析、检验。 观点：“所谓高科技就是一种数学技术”

4. 数学建模三大功能——解释, 判断, 预见 1. 解释——孟德尔遗传定律的“3:1” 2.判断——放射性废物处理 美国原子能委员会提出如下处理浓缩放射性废物：封装入密封性很好的坚固的圆桶中，沉入300ft的海里，而一些工程师提出质疑？需要判断方案的合理性。 3.预见——谷神星的发现 行星的轨道半径 水、金、地、火、木、土 1781年, 利用这个结果发现了天王星, 1802年，发现了谷神星与3对应(有故事)，之后还发现了海王星、冥王星。

5. 你碰到过的数学模型——航行问题 甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少？ 用x表示船速，y表示水速，列出方程： 求解得到 x=20, y=5, 答：船速每小时20公里.

6. 航行问题建立数学模型的基本步骤 • 作出简化假设(船速、水速为常数, 方向一致); • 用符号表示有关量(x, y表示船速和水速)； • 用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以 时间)列出数学式子(二元一次方程)； • 求解得到数学解答（x=20, y=5）； • 回答原问题（船速每小时20公里）。

7. 录象机计数器的用途 经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152。在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？ 问 题 要求 不仅仅回答问题, 而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系——一个数学模型! 日常问题：常见的录音机的转轴转动是匀速的吗? 本题中计数器读数是均匀增长的吗？ 思考

10. 0000 左轮盘 右轮盘 计数器 主动轮 压轮 录象带 磁头 录象带运动方向 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢 录象带运动速度是常数 右轮转速不是常数 计数器读数增长越来越慢！ 观察或分析: 录象机计数器的工作原理 问 题 分 析 录象带运动

11. 模 型 假 设 • 录象带的运动速度是常数v； • 计数器读数n与右轮转数m成正比，记m=kn； • 录象带厚度(含夹在两圈间的空隙)为常数w； • 空右轮盘半径记作r； • 时间t=0时读数 n=0 . 建 模 目 的 建立时间t与读数n之间的关系 (设v，k ，w ，r为已知参数)

12. 模 型 建 立 建立t与n的函数关系有多种方法: 1.右轮盘转过第i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以

13. 模 型 建 立 2. 考察右轮盘面积的变化,等于录象带厚度乘以转过的长度,即 3. 考察t到t+dt录象带在右轮盘缠绕的长度,有

14. 2.模型中有待定参数 思 考 1. 3种建模方法得到同一结果 确定参数的一种办法是测量或调查，试设计测量方法——参数估计.

15. 参 数 估 计 将模型改记作 只需估计 理论上，已知t=183.5, n=6152,再有一组(t, n)数据即可； 实际上, 由于测试有误差, 最好用足够多的数据作拟合。 若现有一批测试数据： 用最小二乘法可得

16. 模 型 检 验 应该另外测试一批数据检验模型： 模 型 应 用 • 回答提出的问题：由模型算得 n = 4580 时 t = 118.5分, 剩下的录象带能录 183.5-118.5 = 65分钟的节目，可以录制60分钟的节目。 2. 揭示了“t与 n之间呈二次函数关系”这一普遍规 律，当录象带的状态改变时，只需重新估计 a, b即可。

17. 数学建模的方法和步骤 基本方法 根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律。 • 机理分析 将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型 • 测试分析 • 二者结合 机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数 机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(Case Studies)来学习.以下建模主要指机理分析.

18. 模型假设 模型构成 模型准备 模型分析 模型求解 模型检验 模型应用 数 学 建 模 的 一 般 步 骤

19. 为了便于学习掌握，可对数学模型做适当的分类：为了便于学习掌握，可对数学模型做适当的分类： 数学模型的分类： ◆ 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型等。 ◆ 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。

20. 数 学 建 模 的 重 要 意 义 如虎添翼 • 电子计算机的出现及飞速发展 • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 数学建模 计算机技术 知识经济

21. 四、近几年全国大学生数学建模竞赛题

24. 怎 样 学 习 数 学 建 模 数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术! 艺术无法归纳成普遍适用的准则 技术大致有章可循 想象力 洞察力 判断力 创新意识 • 学习、分析、评价、改进别人作过的模型 • 亲自动手，认真作几个实际题目

25. 数学建模的论文结构 1、摘要——问题、模型、方法、结果 2、问题重述 3、模型假设 4、分析与建立模型 5、模型求解 6、模型检验 7、模型推广 8、参考文献 9、附录 谢 谢 ！

26. 二、初等模型 例1 哥尼斯堡七桥问题 • 符号表示“一笔画问题”(抽象分析法) • 游戏问题图论(创始人欧拉) • 完美的回答连通图中至多两结点的度数为奇数，则该图可一笔画.

29. 例2 人狗鸡米过河问题 • 是一个简单的游戏，但可以建立经典计算机编程求解。 • 模型表示：建立(人,狗,鸡,米)的4维0/1向量; • 如:(1,0,1,0)——表示狗、米已过河, 人、鸡没有等; • 可取状态：24－6＝10种 (1110) (1111) (1101) (1011) (1010) (0001) (0000) (0010) (0100) (0101) • 可取过河方式：4种——(1100) (1010) (1001) (1000) • 运算方式：——按位异或运算(xor)

30. (1100) (1010) (1001) (1000) (1111)xor (1110) (1111) (1101) (1011) (1010) (0001) (0000) (0010) (0100) (0101) 例：一次运算过程 (0011) (0101) (0110) (0111) XOXX  • 图论解法：

31. 问题 四条腿一样长的方椅子一定能在任意不平的地面上放稳吗? f(t), g(t)0 示例3 椅子能在不平的地面上放稳吗? 模型假设 1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形; 2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况)，即地面可视为数学上的连续曲面; 3. 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。 椅脚连线为正方形ABCD(如右图). t ——椅子绕中心点O旋转角度 模型构成 f(t)——A,C两脚与地面距离之和 g(t)——B,D两脚与地面距离之和

32. 将椅子旋转90º,对角线AC与BD互换. 由g(0)=0,f(0)>0可知g()>0,f( )=0 令h(t)=f(t)-g(t),则h(0)>0和h() <0，由f和g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质,必存在t0（0<t0<),使h(t0)=0，即f(t0)= g(t0)。 模型构成 由假设1，f和g都是连续函数 由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地：对任意t，f(t)和g(t)中至少有一个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0, f(t)>0, 原题归结为证明如下的数学命题： 已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t, f(t) •g(t)=0,且g(0)=0,f(0)>0。则存在t0，使f(t0)= g(t0)=0 模型求解 最后，因为f(t) •g(t)=0，所以f(t0)= g(t0)=0。

33. 方法总结 • 1) 一个变量t表示位置； • 引入距离函数(只设两个)； • 证明技巧——转动90度。 模型推广 1) 若对象是4条腿同长的长方形桌子，结果怎样？ 2) 某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？ (数学解法、巧妙的形象解法)

34. 河 小船(至多2人)    3名商人    3名随从 建模示例4 商人们怎样安全过河 问题(智力游戏) 随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货. 但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河? 问题分析 多步决策过程 决策—— 每一步(A到B或B到A)船上的人员 要求——在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河!

35. 模型构成 xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, xk~第k次渡河前A岸的商人数 yk~第k次渡河前A岸的随从数 sk=(xk, yk)~过程的状态 S ~ 允许状态集合 S={(x, y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2} uk~第k次渡船上的商人数 uk, vk=0,1,2; k=1,2, vk~第k次渡船上的随从数 D={(u, v) u+v=1, 2} ~允许决策集合 dk=(uk , vk)~决策 sk+1=sk+(-1)kdk ——状态转移律 多步决策问题 求dkD(k=1,2, n), 使skS按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).

36. y ~ 10个 点 3 d1 2 d11 1 0 1 2 3 x S={(x, y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2} D={(u, v) u+v=1, 2} 穷举法 ~ 编程上机 模型求解 图解法 s1 状态s=(x,y) ~ 16个格点 允许状态S 允许决策D ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移. d1, d11给出安全渡河方案 评注和思考 sn+1 规格化方法, 易于推广 考虑4名商人各带一随从的情况

37. 建模示例5 报童的诀窍！ 问题: 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c。请为该报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大收入？ 假设和分析: 1. 设a>b>c, 且一般地a-b>b-c; 2. 需求量是随机的，但是有规律, 可以通过市场调查和经验统计其规律，比如在其销售范围内每天报纸需求量为r的概率是f(r) (r=0, 1, 2, …..)——一个概率分布; 3. 若设其购进n份报纸，每天报童的销售净收益是随机的! 于是讨论其平均净收益G(n)(期望收益), 如下

38. 平均净收益G(n)(期望收益)： 问题转化为： 模型建立——一个离散概率模型：最大化期望收益 模型求解 求导等技巧直接不能用！ 《数学模型》, 姜启源编——P273：将离散量r看成连续量，这时上面的求和可改为积分，进一步就可以求导(利用变限积分函数求导法则)，寻找其极值点！ 下面给出另一种不同的方法！

39. 含义？ 分析G(n)的改变量△G(n)=G(n)- G(n-1)： 相当于求G(n)的稳定点！

40. 相当于球G(n)的稳定点！ 结论：最优决策n满足使需求量不超过n的概率和需求量超过n的概率之比接近(a-b)/(b-c)！或需求量不超过n的概率为(a-b)/(a-c)——赚赔比

41. 鸽巢原理(抽屉原理) 简例 • 棋子颜色的变化问题 任意取黑白两种颜色的棋子8个，排成一个圆圈，然后在两颗同色棋子间放一个白棋子，异色棋子间放一个黑棋子，拿去原来的棋子。多次重复该过程后，棋子颜色会如何变化？ (数目不是8而是任意自然数n时如何?) • 相识问题 设有n个人参加一个宴会，已知没有人认识所有的人，问是否有两个人，他们认识的人一样多？

42. 找关键量.... 1、某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6时抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5:30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟，问他步行了多长时间？ 假如相遇时车还是象往常一样前行会和往常一样回家！------推出相遇时间！

43. 找关键量.... 2、两兄妹分别在离家2千米和1千米且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4千米/小时和2千米/小时的速度步行回家，一小狗以6千米/小时的速度从哥哥处奔向妹妹，又从妹妹处奔向哥哥，如此往返直至回家中，问小狗奔波了多少路程？ 如果兄妹上学时小狗也奔波在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何处？