Routage dans les réseaux augmentés

1. Routage dans les réseaux augmentés Pierre Fraigniaud CNRS LRI, Univ. Paris Sud (Orsay) P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

2. Objectifs • Expérience de Milgram (1967) • Modélisation (Kleinberg, 2000) • Petits Mondes  Navigation • Limites du modèle • Autres modèles • Applications P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

3. Expérience de Milgram Personnes sources s1,s2,...,sk Personne cible t But = acheminer une lettre de si à t : La personne x détenant actuellement la lettre la retransmet à une personne y que x connaît personnellement et dont il espère qu’elle soit plus proche de t. P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

4. Résultats de l’expérience • Beaucoup de lettres sont arrivées à destination • Parmi les lettres arrivées à destination, la médiane du nombre d'intermédiaires fût environ 5 Six degrés de séparation entre individus P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

5. Le phénomène semble reproductible • Dodds, Muhamad, Watts (2003) • Utilisation de la messagerie électronique • Parmi les chaînes réussies, il se vérifie que la médiane est d’environ 5 • Attention toutefois : beaucoup de chaînes ne réussissent pas ! P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

6. Les graphes augmentés • Un graphe G modélise un ensemble de connaissances communes à tous : • La Norvège est “plus proche” de la France que l’Uzbékistan • Un biologiste est “plus proche” d’un médecin que d’un trapéziste • G est augmenté avec des liens longs choisis aléatoirement, suivant une loi D, pour modéliser les hasards de la vies P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

7. Exemple Noeud y Noeud x Le noeud y est le contact distant de x P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

8. Modèle de Kleinberg • Le graphe G est une grille à d dimensions et de n noeuds • Chaque noeud x choisit y comme contact distant avec probabilité prob(xy) harmonique, c-à-d proportionnel à 1/dist(x,y) P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

9. Routage glouton • Parmi ses 2d+1 noeuds voisins, chaque noeud choisit celui qui est le plus proche de la destination, et lui transmet le message • Attention : distance de «Manhattan» P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

10. Glouton converge Noeud courant Noeud suivant Cible P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

11. Performances du routage glouton • Si  = d alors le routage glouton s’effectue en O(log2n) nombre de pas en moyenne. • Si  ≠ dalors le routage glouton s’effectue en Ω(n) nombre de pas en moyenne, >0. P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

12. x m t B = { y / dist(y,t) ≤ m/2 } Preuve • Coefficient normalisateur (d = 1): ∑1≤i≤n/2(1/i) ≈ log n • Prob(xy) ≈ 1/(dist(x,y)d log n) P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

13. x m t B = { y / dist(y,t) ≤ m/2 } z Prob(xB) = ∑y Prob(xy) ≥ |B| Prob(xz) ≈ md/(md log n) = 1/log n P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

14. Quelques critiques • Le routage glouton est-il représentatif de l’expérience de Milgram ? Peut-on faire mieux ? • Pour  = d, les performances du routage sont indépendantes de d • Les performances du routage ne sont « bonnes » que si  = d P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

15. Quelques critiques • Le routage glouton est-il représentatif de l’expérience de Milgram ? Peut-on faire mieux ? • Pour  = d, les performances du routage sont indépendantes de d • Les performances du routage ne sont « bonnes » que si  = d P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

16. Peut-on faire mieux ? • L’analyse est exacte : (log2n) (Barrière, Fraigniaud, Kranakis, Krizanc) • Diamètre (log n) (Martel, Nguyen) • Avec log n liens longs par noeud : • Glouton : O(log n) (Kleinberg) • NoN : O(log n / loglog n) (Manku, Naor, Wieder) • Il est possible de construire de façon distribuée un chemin de longueur O((log n)(loglog n)2)(Lebhar, Schabanel) P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

17. Autres distributions • Quelque soit la distribution (presque !) le routage glouton s'effectue en Ω(log2n/loglog n) étapes en moyenne. (Aspnes, Diamadi, Shah) P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

18. Quelques critiques • Le routage glouton est-il représentatif de l’expérience de Milgram ? Peut-on faire mieux ? • Pour  = d, les performances du routage sont indépendantes de d • Les performances du routage ne sont « bonnes » que si  = d P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

19. Critères de sélection(Killworth & Bernard) • Expérience à la Milgram : • Recherche avec ≥ 2 critères marche bien • Recherche avec 1 critère marche mal • Peut-on interpréter les dimensions de la grille comme autant de critères ? P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

20. Routage indirect • Chaque noeud x possède une liste Lx de liens longs • Pour router : • le noeud courant x sélectionne y  Lx tel que le lien long de y conduit le plus près de la cible t • Parmi ses 2d+1 noeuds voisins, x choisit celui qui est le plus proche de y, et lui transmet le message P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

21. Performances du routage indirect • Si, pour tout noeud x, Lx est la liste des liens longs des log n noeuds les plus proches de x (dans la grille), alors le routage indirect s’effectue en O(log1+1/d n) étapes en moyenne. (Fraigniaud, Gavoille, Paul) P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

22. Quelques critiques • Le routage glouton est-il représentatif de l’expérience de Milgram ? Peut-on faire mieux ? • Pour  = d, les performances du routage sont indépendantes de d • Les performances du routage ne sont « bonnes » que si  = d P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

23. Vers un modèle plus général... • Contexte : réseaux sociaux modélisés par un graphe augmenté (G,D) • Questions : • Comment choisir le graphe G? • Comment choisir la distribution D? • Que devrait-on observer à propos du routage glouton dans (G,D) ? P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

24. Routage glouton dans (G,D) • Parmi ses degG(x)+1 noeuds voisins, chaque noeud x choisit celui qui est le plus proche de la destination dans G, et lui transmet le message • Attention : distance dans G P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

25. 1) « Petitmondisation » Un graphe G est petitmondisable s’il existe une distribution D telle que le routage glouton dans (G,D) s’effectue en O(polylog n)nombre d’étapes en moyenne. P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

26. Extension de la grille • Un graphe est de croissance bornée si, pour tout noeud x et tout r>0, la taille de la boule de rayon r centrée en x est rf(r,x) où fsatisfait... bon, disons des « conditions spécifiques ». • Tout graphe de croissance bornée est petitmondisable. (Duchon, Hanusse, Lebhar, Schabanel) P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

27. 2) Modèles Hiérarchiques x y Prob(xy) ≈ hauteur de leur plus petit ancêtre commun (Kleinberg) P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

28. Hiérarchies imbriquées • Lieu d’habitation, profession, hobbies, etc. • Comment extraire une hiérarchie « globale » qui reflète toutes ces hiérarchies ? Outil = décompositions arborescentes P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

29. Décomposition arborescente(Robertson & Seymour) Une décomposion arborescente d’un graphe G=(V,E) est une paire (T,X) où T est un arbre d’ensemble de sommets I, et X est une collection {Xi V, i  I} telle que : • iI Xi = V •  e={x,y}  E,  i  I / {x,y}  Xi • Si j est sur le plus court chemin entre i et k dans T alors Xj  Xk  Xi P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

30. Xj Xi Xk P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

31. Sommet x P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

32. Séparateurs récursifs P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

33. Largeur d’arborescence • La largeur d’une décomposition arborescente (T,X) est w(T,X) = maxiI |Xi| - 1 • La largeur d’arborescencetw(G) d’un graphe G est la largeur minimale d’une décomposition arborescente(T,X) de G tw(G) = min(T,X) w(T,X) P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

34. Centroïde Le centroïde d’un arbre T de n noeuds est un noeud v tel que T-{v} est une forêt d’arbres d’au plus n/2 noeuds. P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

35. Centroïdes récursifs et augmentation (1) (3) (4) x (2) P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

36. Routage glouton • Pour tout graphe G de largeur d’arborescence ≤ k, il existe une distribution D telle que le routage glouton dans (G,D) s’effectue en O(k log2n) étapes en moyenne. (Fraigniaud) • Application : graphes de largeur arborescente bornée (arbres, cycles, planaires extérieurs, etc.) P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

37. Réseaux sociaux Les réseaux sociaux ont (pour la plupart) un coefficient de « clustering » élevé, c-à-d la probabilité que deux noeuds ayant un voisin commun soit connectés est « élevée ». P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

38. Une mauvaise nouvelle • Les réseaux sociaux sont localement denses !  ils ont une grande largeur d’arborescence... P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

39. Une bonne nouvelle • Les réseaux sociaux sont localement denses !  ils n’ont généralement que peu de cycles longs P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

40. Cordalité La cordalité d’un graphe est la longueur de son plus long cycle induit P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

41. P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

42. Graphe de cordalité bornée • Pour tout graph G de cordalité ≤ k, il existe une distribution D telle que le routage glouton dans (G,D) s’effectue en O((k + log n)log n) étapes en moyenne. (Fraigniaud) • Application: graphes de cordalité O(log n) P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

43. Application possiblesConception de : réseaux pair-à-pair réseaux de processeurs P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

44. Réseaux pair-à-pair • S’oppose au modèle « maître-esclave » : tous jouent le même rôle. • Publication et recherche : Table de Hachage Distribuée (DHT) • Espace de clés K (espace métrique) • Fichiers et utilisateurs sont « hachés » dans cet espace (fonction de hachage h commune) • Un utilisateur de clé Kprend en charge les fichiers de clé  les plus proches de  dans K P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

45. Router vers une clé • Objectif central : aller au noeud x en charge de la clé   K • Solution 1 : Maintenir de façon dynamique une topologie structurée • Solution 2 : Utiliser l’anneau augmenté « harmoniquement » P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

46. P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

47. Conclusion (1) • Les résultats de l’expérience de Milgram ne sont pas encore très bien compris ni d’un « point de vue conceptuel », ni d’un « point de vue formel ». • Besoin d’un modèle hiérarchique vraiment satisfaisant. • De nombreuses applications potentielles : pair-à-pair, réseaux dynamiques, etc. P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

48. Conclusion (2) Problèmes ouverts : • Tout graphe est-il petitmondisable ? • Peut-on augmenter l’anneau de façon à ce que le routage glouton s’effectue en O(log2n/loglog n)nombre moyen d’étapes ? P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3

49. Des pointeurs « A New Perspective on the Small-World Phenomenon: Greedy Routing in Tree-Decomposed Graphs » In 13th Annual European Symposium on Algorithms (ESA), 2005. http://www.lri.fr/~pierre P. Fraigniaud - GT Sphère - GDR I3