Probabilitas dan statistika bab 2 peubah acak dan distribusi peluang
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 33

Probabilitas dan Statistika BAB 2 Peubah acak dan distribusi peluang PowerPoint PPT Presentation


  • 275 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Probabilitas dan Statistika BAB 2 Peubah acak dan distribusi peluang. Pembahasan. Peubah Acak Distribusi Peluang Diskret Distribusi Peluang Kontinyu Distribusi Empiris Distribusi Peluang Gabungan Bebas Statistik. Peubah acak.

Download Presentation

Probabilitas dan Statistika BAB 2 Peubah acak dan distribusi peluang

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Probabilitas dan statistika bab 2 peubah acak dan distribusi peluang

ProbabilitasdanStatistikaBAB 2 Peubahacakdandistribusipeluang


Pembahasan

Pembahasan

  • PeubahAcak

  • DistribusiPeluangDiskret

  • DistribusiPeluangKontinyu

  • DistribusiEmpiris

  • DistribusiPeluangGabungan

  • BebasStatistik


Peubah acak

Peubahacak

  • Peubah acak ialah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel.

  • Peubah acak akan dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X , sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misalnya x.


Gambaran

gambaran

  • Peubah acak, X, banyaknya barang yang cacat bila tiga suku cadang elektronik diuji. Jadi, peubah acak X mendapat nilai 2 untuk semua unsur pada himpunan bagian

    E = {CCB, CBC, BCC}

  • Jadi, tiap kemungkinan nilai x menggambarkan suatu kejadian yang merupakan ruang bagian dari ruang sampel percobaan tersebut.


Contoh soal 1

Contohsoal 1

  • Dua buah bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari suatu kantung berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam. Bila Y menyatakan jumlah bola merah yang diambil maka nilai y yang mungkin dari peubah acak Y adalah?


Ruang sampel diskret ruang sampel kontinu

Ruang sampel diskret &Ruang sampel kontinu

  • Ruang sampel diskret

    Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel diskret

  • Ruang sampel kontinu

    Bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu


Distribusi peluang diskret

Distribusi peluang diskret

Himpunanpasanganterurut(x, f(x)) merupakansuatufungsipeluang, ataudistribusipeluangpeubahacakdiskretX bila, untuksetiapkemungkinanhasil x

1. F(x) >= 0

2. = 1

3. P’(X = x) = f(x)


Contoh soal 2

Contohsoal 2

  • Suatupengiriman 8 komputer pc yang samakesuatutokomengandung 3 yang cacat. Bilasuatusekolahmembeli 2 komputerinisecaraacak, caridistribusipeluangbanyaknya yang cacat


Jawaban

jawaban

MisalkanX peubahacakdengannilai x kemungkinanbanyaknyakomputer yang cacat yang dibeliolehsekolahtersebut. Maka x dapatmemperolehsetiapnilai0, 1, dan 2. Sekarang,

F(0) = P (X = 0) = = 10/28

F(1) = P(X = 1) = = 15/28

continue..


Probabilitas dan statistika bab 2 peubah acak dan distribusi peluang

f(1) = P(X = 2) = = 2/28

Jadidistribusipeluang X

x012

f(x) 10/28 15/28 3/28


Distribusi kumulatif

Distribusikumulatif

DistribusikumulatifF(x) suatupeubahacakdiskret X dengandistribusipeluang f(x) dinyatakanoleh

F(x) = P(X x) = untuk - < x <


Contoh soal 3

Contohsoal 3

Hitunglahdistribusikumulatifpeubahacak X dalamcontohsoal 2. DenganmenggunakanF(x), perlihatkanbahwa f(2) = 3/8

Jawab:

Denganmenghitunglangsungdistribusipeluangpadacontohsoal2, diperoleh f(0) = 1/16, f(1) = 1/14, f(2) = 3/8, f(3) = ¼, dan f(4) = 1/16. Jadi,

F(0) = f(0) = 1/16

F(1) = f(0) + f(1) = 5/16

F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 11/16

F(3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 15/16

F(4) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1

Jadi,

f(2) = F(2) – F(1) = 11/ 16 – 5/16 = 3/8


Distribusi peluang kontinu

DistribusipeluangKontinu

Fungsi f(x) adalahfungsipadatpeluangpeubahacakkontinuXtyang disefinisikandiatashimpunansemuabilangan real Rtbila

1. f(x) ≥ 0 untuksemua x R

2 = 1

3. P(a < X <b) =


Contoh soal 4

Contohsoal 4

Misalkanbahwagalatsuhureaksi, dalamºC, padapercobaanlaboratorium yang dikontrolmerupakanpeubahacak X yang mempunyaifungsipadatpeluang

f(x) = x2/3,untuk –1 < x < 2

0,untuk x lainnya

  • Tunjukkanbahwasyaratterpenuhi.

  • Hitung P(0 < x 1).

    Jawab:

  • = x2/3 dx = x3/9 = 8/9 + 1/9 = 1.

  • P(0 < x 1) = x2/3 dx = x3/9 = 1/9


Distribusi kumulatif tumpukan

Distribusikumulatif (tumpukan)

Distribusikumulatif (tumpukan)F(x) suatupeubahacakkontinu X denganfungsipadat f(x) diberikanoleh

F(x) = P(x x) = untuk- < x <


Contoh soal 5

Contohsoal 5

CarilahF(x) darifungsipadacontohsoal4 dankemudianhitunglah P(0 < X 1)

Jawab:

Untuk -1< x < 2,

F(x) = = t2/3 dt = t3/9 = x3+1

9

Jadi,

0x -1

F(x) = x3 + 1-1 x < 2

9

1x 2

Jadi,

P(0 < X 1) = F(1) – F(0) = 2/9 – 1/9


Distribusi empiris

Distribusiempiris

Data statistik, yang dikumpulkandalamjumlahamatbanyak, akansangatmembantudalammenelaahbentukdistribusibiladisajikandalambentukgabungantabeldangrafik yang dinamakandiagram batang-daun.

Contoh : 25 data


Distribusi empiris1

Distribusiempiris

Distribusifrekuensiyang datanyadikelompokkandalamkelasatauselang yang berbedadapatdibuatdenganmudahdenganmenghitungbanyaknyadaunpadasetiapbatangdanperhatikanbahwasetiapbatangmenentukanselangkelas.

Contoh


Distribusi empiris2

Distribusiempiris

Histogram frekuensinisbidibentukdenganmenggunakantitiktengahtiapselangdanfrekuensinisbipadanannya.

Suatudistribusidikatakansimetrisatausetangkupbiladapatdilipatsepanjangsumbutegaktertentusehinggakeduabagiansalingmenutupi. Distribusi yang tidaksetangkupterhadapsuatusumbutegakdikatakantaksetangkupataumencong


Distribusi peluang gabungan

Distribusipeluanggabungan

Fungsi f(x, y) adalahdistribusipeluanggabunganataufungsimassapeluangpeubahacakdiskret X dan Y bila

1. F(x,y) 0 untuksemua (x,y).

2. F(x,y) = 1.

3. P(X = x, Y = y) = f(x,y).

Untuktiapdaerah A dibidangxy, P[(X, Y) A]

=


Contoh soal 6

Contohsoal 6

Contohsoal 7:

Duaisi ballpoint dipilihsecaraacakdarisebuahkotak yang berisi 3 isiwarnabiru, 2 merah, dan 3 hijau. Bila X menyatakanbanyaknya yang berwarnabirudan Y warnamerah yang terpilih, hitunglah

  • Fungsipeluanggabungan f(x,y), dan

  • P [(X,Y) A], bila A daerah { (x,y) [x+y 1}

    Jawab:

    Pasangannilai (x,y) yang mungkinadalah(0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0, 2), dan (2,0). Sekarang f(0,1), misalnyamenyatakanpeluangbahwaisiberwarnamerahdanhijau yang terpilih. Banyaknyacara yang berkemungkinansamamemilihduaisidaridelapanadalah = 28. Banyaknyacaramemilih 1 merahdari 2 isiberwarnamerahdanhijaudari 3 isiberwarnahijauadalah = 6, jadi f(0,1) = 6/28 = ¾. Denganjalan yang samadihitungpeluanguntukkasuslainnya, yang disajikanpadatabelhalamanberikut


Probabilitas dan statistika bab 2 peubah acak dan distribusi peluang

x = 0, 1, 2;

F(x,y) = y = 0, 1, 2;

0 x+y2

b. P [(X, Y) A] = P (X + Y 1)

= f(0,0) + f(0,1) + f(1,0)

= 3/28 + 3/14 + 9/28

= 9/14


Fungsi padat gabungan

Fungsipadatgabungan

Fungsi f(x,y) adalahfungsipadatgabunganpeubahacakkontinu X dan Y bila

1. F(x,y) 0 untuksemua (x,y)

2. = 1

3. P [(X, Y) A] =

Untuktiapdaerah A dibidangxy


Contoh soal 7

Contohsoal 7

Contohsoal 8:

Suatuperusahaancoklatmengirimberkotak-kotakcoklatdengancampurankrem, tofe, dakacangberlapiscoklatcerahdanpekat. Bilakotakdipilihsecaraacak , serta X dan Y menyatakanamsing – masingproporsi yang kremberlapiscoklatcerahdanpekatdanmisalkanbahwafungsipadatgabungannyaialah:

f(x, y) = 0 x 1, 0 y 1

untuk x, y lainnya

  • Tunjukkanbahwasyarat = 1 dipenuhi

  • Cari P [(X, Y) A], bila A daerah {(x,y)| 0 x ½,

    ¼ y ½}


Probabilitas dan statistika bab 2 peubah acak dan distribusi peluang

  • Jawab :

    a. =

    = 2x2 + 6xy dy

    5 5

    = 2 + 6ydy= 2y + 3y2

    5 55 5

    = 2 + 3 = 1

    5 5


Probabilitas dan statistika bab 2 peubah acak dan distribusi peluang

b. P[(X, Y) A = P(0 < X < ½, ¼ < Y < ½)

=

= 2x2 + 6xy dy

5 5

= 1 + 3y dy = y + 3y2

10 5 10 10

= 1 1 + 3 1 + 3 = 13

10 2 4 4 16 160


Distribusi marginal pias

Distribusi marginal (pias)

Distribusi marginal (pias)dari X sendiridan Y sendirididefinisikansebagai

g(x) = dan h(y) =

Untukhaldiskret, dan

g(x) = danh(y) =

untukhalkontinu


Contoh soal 8

Contohsoal 8

Tunjukkanbahwajumlahlajurdanbaristabelberikutmemberikandistribusipiasdari X sendiridan Y sendiri


Probabilitas dan statistika bab 2 peubah acak dan distribusi peluang

Untukpeubahacak X,

P(X = 0) = g(x) = = f(0,0) + f(0,1) + f(0,2)

= 3/28 + 3/14 + 1/28

= 5/14

P(X = 1) = g(1) = = f(1,0) + f(1,1) + f(1,2)

= 9/28 + 3/14 + 0

= 15/28

Dan

P(X = 2) = g(2) = = f(2,0) + f(2,1) + f(2,2)

= 3/28 + 0 + 0

= 3/28

Yang merupakanjumlahlajurpadatabeltersebut. Denganjalan yang samadapatditunjukkanbahwanilai h(y) merupakanjumlahbarisnya.


Distribusi bersyarat

Distribusibersyarat

Misalkan X dan Y duapeubahacak, diskretmaupunkontinu. Distribusibersyaratpeubahacak Y, biladiketahui X = x, dinyatakanoleh

f(y|x) = f(x,y), g(x) >0

g(x)

Begitupula, distribusibersyaratpeubahacak X, biladiketahui Y = y, dinyatakanoleh

f(x|y) = f(x,y),h(y) >0

h(y)


Bebas statistik

Bebasstatistik

Misalkan X dan Y duapeubahacak, diskretmaupunkontinu, denganfungsipeluanggabungan f(x,y) dandistribusipiasmasing – masing g(x) dan h(y). Peubah X dan Y dinyatakanbebasstatistikjikadanhanyajika

f(x,y) = g(x) h(y)

Untuksemua (x,y) dalamdaerahdefinisinya

Misalkan X1, X2, X3, …, Xn n peubahacak, diskretmaupunkontinu, dengandistribusipeluanggabungan f(X1, X2, X3, …, Xn) dandistribusipiasmasing – masing f1(x1), f2(x2), …, fn(xn). Peubahacak X1, X2, X3, …, Xndikatakansalingbebasstatistikjikadanhanyajika

f(x1, x2, …, xn) = f1(x1) f2(x2), …, fn(xn).

Untuksemua (x1, x2, …, xn) dalamdaerahdefinisinya


Contoh soal 81

Contohsoal 8

Misalkanlamanyatahan, dalamtahun, sejenismakanankemasandalamkotaksebelumrusakmerupakanpeubahacak yang fungsipadatpeluangnyaberbentuk

f(x) = e-x , x >0

0, untuk x lainnya.

Misalkan X1, X2, dan X3menyatakanlamanyatahantigakotakdarimakanankemasanini yang dipilihsecaraacak, hitunglah P (X1<2, 1<X2<3, X3>2).

Jawab:

Karenakotakdipilihsecaraacak (bebas), makadapatdianggapbahwapeubahacak X1, X2, dan X3bebasstatistikdenganpeluangpadatgabungan

f(x1, x2, x3) = f(x1)f(x2)f(x3)

= e-x 1 e-x 2 e-x 3

= e-x 1-x2-x3 , x1>0, x2 >0, x3 >0


Probabilitas dan statistika bab 2 peubah acak dan distribusi peluang

Dan f(x1, x2, x3) = 0 untuknilai yang lainnya.

Jadi

P(X1<2, 1< X2<3, X3>2) = e-x 1-x2-x3 dx1 dx2 dx3

= (1 – e-2)(e-1 - e-3) e-2

= 0,0376


  • Login