Probabilitas dan statistika bab 2 peubah acak dan distribusi peluang
Sponsored Links
This presentation is the property of its rightful owner.
1 / 33

Probabilitas dan Statistika BAB 2 Peubah acak dan distribusi peluang PowerPoint PPT Presentation


  • 295 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Probabilitas dan Statistika BAB 2 Peubah acak dan distribusi peluang. Pembahasan. Peubah Acak Distribusi Peluang Diskret Distribusi Peluang Kontinyu Distribusi Empiris Distribusi Peluang Gabungan Bebas Statistik. Peubah acak.

Download Presentation

Probabilitas dan Statistika BAB 2 Peubah acak dan distribusi peluang

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


ProbabilitasdanStatistikaBAB 2 Peubahacakdandistribusipeluang


Pembahasan

  • PeubahAcak

  • DistribusiPeluangDiskret

  • DistribusiPeluangKontinyu

  • DistribusiEmpiris

  • DistribusiPeluangGabungan

  • BebasStatistik


Peubahacak

  • Peubah acak ialah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel.

  • Peubah acak akan dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X , sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misalnya x.


gambaran

  • Peubah acak, X, banyaknya barang yang cacat bila tiga suku cadang elektronik diuji. Jadi, peubah acak X mendapat nilai 2 untuk semua unsur pada himpunan bagian

    E = {CCB, CBC, BCC}

  • Jadi, tiap kemungkinan nilai x menggambarkan suatu kejadian yang merupakan ruang bagian dari ruang sampel percobaan tersebut.


Contohsoal 1

  • Dua buah bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari suatu kantung berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam. Bila Y menyatakan jumlah bola merah yang diambil maka nilai y yang mungkin dari peubah acak Y adalah?


Ruang sampel diskret &Ruang sampel kontinu

  • Ruang sampel diskret

    Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel diskret

  • Ruang sampel kontinu

    Bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu


Distribusi peluang diskret

Himpunanpasanganterurut(x, f(x)) merupakansuatufungsipeluang, ataudistribusipeluangpeubahacakdiskretX bila, untuksetiapkemungkinanhasil x

1. F(x) >= 0

2. = 1

3. P’(X = x) = f(x)


Contohsoal 2

  • Suatupengiriman 8 komputer pc yang samakesuatutokomengandung 3 yang cacat. Bilasuatusekolahmembeli 2 komputerinisecaraacak, caridistribusipeluangbanyaknya yang cacat


jawaban

MisalkanX peubahacakdengannilai x kemungkinanbanyaknyakomputer yang cacat yang dibeliolehsekolahtersebut. Maka x dapatmemperolehsetiapnilai0, 1, dan 2. Sekarang,

F(0) = P (X = 0) = = 10/28

F(1) = P(X = 1) = = 15/28

continue..


f(1) = P(X = 2) = = 2/28

Jadidistribusipeluang X

x012

f(x) 10/28 15/28 3/28


Distribusikumulatif

DistribusikumulatifF(x) suatupeubahacakdiskret X dengandistribusipeluang f(x) dinyatakanoleh

F(x) = P(X x) = untuk - < x <


Contohsoal 3

Hitunglahdistribusikumulatifpeubahacak X dalamcontohsoal 2. DenganmenggunakanF(x), perlihatkanbahwa f(2) = 3/8

Jawab:

Denganmenghitunglangsungdistribusipeluangpadacontohsoal2, diperoleh f(0) = 1/16, f(1) = 1/14, f(2) = 3/8, f(3) = ¼, dan f(4) = 1/16. Jadi,

F(0) = f(0) = 1/16

F(1) = f(0) + f(1) = 5/16

F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 11/16

F(3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 15/16

F(4) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1

Jadi,

f(2) = F(2) – F(1) = 11/ 16 – 5/16 = 3/8


DistribusipeluangKontinu

Fungsi f(x) adalahfungsipadatpeluangpeubahacakkontinuXtyang disefinisikandiatashimpunansemuabilangan real Rtbila

1. f(x) ≥ 0 untuksemua x R

2 = 1

3. P(a < X <b) =


Contohsoal 4

Misalkanbahwagalatsuhureaksi, dalamºC, padapercobaanlaboratorium yang dikontrolmerupakanpeubahacak X yang mempunyaifungsipadatpeluang

f(x) = x2/3,untuk –1 < x < 2

0,untuk x lainnya

  • Tunjukkanbahwasyaratterpenuhi.

  • Hitung P(0 < x 1).

    Jawab:

  • = x2/3 dx = x3/9 = 8/9 + 1/9 = 1.

  • P(0 < x 1) = x2/3 dx = x3/9 = 1/9


Distribusikumulatif (tumpukan)

Distribusikumulatif (tumpukan)F(x) suatupeubahacakkontinu X denganfungsipadat f(x) diberikanoleh

F(x) = P(x x) = untuk- < x <


Contohsoal 5

CarilahF(x) darifungsipadacontohsoal4 dankemudianhitunglah P(0 < X 1)

Jawab:

Untuk -1< x < 2,

F(x) = = t2/3 dt = t3/9 = x3+1

9

Jadi,

0x -1

F(x) = x3 + 1-1 x < 2

9

1x 2

Jadi,

P(0 < X 1) = F(1) – F(0) = 2/9 – 1/9


Distribusiempiris

Data statistik, yang dikumpulkandalamjumlahamatbanyak, akansangatmembantudalammenelaahbentukdistribusibiladisajikandalambentukgabungantabeldangrafik yang dinamakandiagram batang-daun.

Contoh : 25 data


Distribusiempiris

Distribusifrekuensiyang datanyadikelompokkandalamkelasatauselang yang berbedadapatdibuatdenganmudahdenganmenghitungbanyaknyadaunpadasetiapbatangdanperhatikanbahwasetiapbatangmenentukanselangkelas.

Contoh


Distribusiempiris

Histogram frekuensinisbidibentukdenganmenggunakantitiktengahtiapselangdanfrekuensinisbipadanannya.

Suatudistribusidikatakansimetrisatausetangkupbiladapatdilipatsepanjangsumbutegaktertentusehinggakeduabagiansalingmenutupi. Distribusi yang tidaksetangkupterhadapsuatusumbutegakdikatakantaksetangkupataumencong


Distribusipeluanggabungan

Fungsi f(x, y) adalahdistribusipeluanggabunganataufungsimassapeluangpeubahacakdiskret X dan Y bila

1. F(x,y) 0 untuksemua (x,y).

2. F(x,y) = 1.

3. P(X = x, Y = y) = f(x,y).

Untuktiapdaerah A dibidangxy, P[(X, Y) A]

=


Contohsoal 6

Contohsoal 7:

Duaisi ballpoint dipilihsecaraacakdarisebuahkotak yang berisi 3 isiwarnabiru, 2 merah, dan 3 hijau. Bila X menyatakanbanyaknya yang berwarnabirudan Y warnamerah yang terpilih, hitunglah

  • Fungsipeluanggabungan f(x,y), dan

  • P [(X,Y) A], bila A daerah { (x,y) [x+y 1}

    Jawab:

    Pasangannilai (x,y) yang mungkinadalah(0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0, 2), dan (2,0). Sekarang f(0,1), misalnyamenyatakanpeluangbahwaisiberwarnamerahdanhijau yang terpilih. Banyaknyacara yang berkemungkinansamamemilihduaisidaridelapanadalah = 28. Banyaknyacaramemilih 1 merahdari 2 isiberwarnamerahdanhijaudari 3 isiberwarnahijauadalah = 6, jadi f(0,1) = 6/28 = ¾. Denganjalan yang samadihitungpeluanguntukkasuslainnya, yang disajikanpadatabelhalamanberikut


x = 0, 1, 2;

F(x,y) = y = 0, 1, 2;

0 x+y2

b. P [(X, Y) A] = P (X + Y 1)

= f(0,0) + f(0,1) + f(1,0)

= 3/28 + 3/14 + 9/28

= 9/14


Fungsipadatgabungan

Fungsi f(x,y) adalahfungsipadatgabunganpeubahacakkontinu X dan Y bila

1. F(x,y) 0 untuksemua (x,y)

2. = 1

3. P [(X, Y) A] =

Untuktiapdaerah A dibidangxy


Contohsoal 7

Contohsoal 8:

Suatuperusahaancoklatmengirimberkotak-kotakcoklatdengancampurankrem, tofe, dakacangberlapiscoklatcerahdanpekat. Bilakotakdipilihsecaraacak , serta X dan Y menyatakanamsing – masingproporsi yang kremberlapiscoklatcerahdanpekatdanmisalkanbahwafungsipadatgabungannyaialah:

f(x, y) = 0 x 1, 0 y 1

untuk x, y lainnya

  • Tunjukkanbahwasyarat = 1 dipenuhi

  • Cari P [(X, Y) A], bila A daerah {(x,y)| 0 x ½,

    ¼ y ½}


  • Jawab :

    a. =

    = 2x2 + 6xy dy

    5 5

    = 2 + 6ydy= 2y + 3y2

    5 55 5

    = 2 + 3 = 1

    5 5


b. P[(X, Y) A = P(0 < X < ½, ¼ < Y < ½)

=

= 2x2 + 6xy dy

5 5

= 1 + 3y dy = y + 3y2

10 5 10 10

= 1 1 + 3 1 + 3 = 13

10 2 4 4 16 160


Distribusi marginal (pias)

Distribusi marginal (pias)dari X sendiridan Y sendirididefinisikansebagai

g(x) = dan h(y) =

Untukhaldiskret, dan

g(x) = danh(y) =

untukhalkontinu


Contohsoal 8

Tunjukkanbahwajumlahlajurdanbaristabelberikutmemberikandistribusipiasdari X sendiridan Y sendiri


Untukpeubahacak X,

P(X = 0) = g(x) = = f(0,0) + f(0,1) + f(0,2)

= 3/28 + 3/14 + 1/28

= 5/14

P(X = 1) = g(1) = = f(1,0) + f(1,1) + f(1,2)

= 9/28 + 3/14 + 0

= 15/28

Dan

P(X = 2) = g(2) = = f(2,0) + f(2,1) + f(2,2)

= 3/28 + 0 + 0

= 3/28

Yang merupakanjumlahlajurpadatabeltersebut. Denganjalan yang samadapatditunjukkanbahwanilai h(y) merupakanjumlahbarisnya.


Distribusibersyarat

Misalkan X dan Y duapeubahacak, diskretmaupunkontinu. Distribusibersyaratpeubahacak Y, biladiketahui X = x, dinyatakanoleh

f(y|x) = f(x,y), g(x) >0

g(x)

Begitupula, distribusibersyaratpeubahacak X, biladiketahui Y = y, dinyatakanoleh

f(x|y) = f(x,y),h(y) >0

h(y)


Bebasstatistik

Misalkan X dan Y duapeubahacak, diskretmaupunkontinu, denganfungsipeluanggabungan f(x,y) dandistribusipiasmasing – masing g(x) dan h(y). Peubah X dan Y dinyatakanbebasstatistikjikadanhanyajika

f(x,y) = g(x) h(y)

Untuksemua (x,y) dalamdaerahdefinisinya

Misalkan X1, X2, X3, …, Xn n peubahacak, diskretmaupunkontinu, dengandistribusipeluanggabungan f(X1, X2, X3, …, Xn) dandistribusipiasmasing – masing f1(x1), f2(x2), …, fn(xn). Peubahacak X1, X2, X3, …, Xndikatakansalingbebasstatistikjikadanhanyajika

f(x1, x2, …, xn) = f1(x1) f2(x2), …, fn(xn).

Untuksemua (x1, x2, …, xn) dalamdaerahdefinisinya


Contohsoal 8

Misalkanlamanyatahan, dalamtahun, sejenismakanankemasandalamkotaksebelumrusakmerupakanpeubahacak yang fungsipadatpeluangnyaberbentuk

f(x) = e-x , x >0

0, untuk x lainnya.

Misalkan X1, X2, dan X3menyatakanlamanyatahantigakotakdarimakanankemasanini yang dipilihsecaraacak, hitunglah P (X1<2, 1<X2<3, X3>2).

Jawab:

Karenakotakdipilihsecaraacak (bebas), makadapatdianggapbahwapeubahacak X1, X2, dan X3bebasstatistikdenganpeluangpadatgabungan

f(x1, x2, x3) = f(x1)f(x2)f(x3)

= e-x 1 e-x 2 e-x 3

= e-x 1-x2-x3 , x1>0, x2 >0, x3 >0


Dan f(x1, x2, x3) = 0 untuknilai yang lainnya.

Jadi

P(X1<2, 1< X2<3, X3>2) = e-x 1-x2-x3 dx1 dx2 dx3

= (1 – e-2)(e-1 - e-3) e-2

= 0,0376


  • Login