Kalkulatu hurrengo puntuetatik pasatzen den interpolazio- polinomioaren zero bat:

1. Kalkulatu hurrengo puntuetatik pasatzen den interpolazio- polinomioaren zero bat: Interpolazio-polinomioa honelakoa izango da:

2. Cramer-en araua erabiliz:

5. 2. lerroa batzen diogu 1. zutabea bider 2 batzen diogu

6. 2. zutabea batzen diegu 1. zutabea bider 2 batzen diogu

7. 2. lerroa batzen diogu 1. zutabea bider 2 batzen diogu

8. 2. zutabea batzen diegu Beraz: Eta interpolazio-polinomioa da:

9. Berriro ere aztertzen baditugu interpolazio-puntuak: Ikusten da y(x)-ek zeinu-aldaketa jasaten duela, hau da zero bat duela, x1 = 0 eta x2 = 1 puntuen artean. Hortaz abiapuntu egokia Newton-en metodorako x = 0.5 litzateke: Hurrengo f(x) hartzen badugu: f(x)-en zeroak dira y(x)-en berberak:

11. Kalkulatu Gauss-Legendre-ren koadraturaren bidez 6 puntu-rekin (n=5) hurrengo integrala. Kalkulatu Simpson-en bidez ere h = 1/8 hartuta : Gauss-Legendre: ERRADIANETAN!!!

12. Simpson: h = 1/8 (17puntu): ERRADIANETAN!!!

13. Gaixo bati sendagai baten A dosia ematen zaio. Sendagaiaren kontzentrazioa odolean t ordu geroago hurrengo formularen bidez kalkula daiteke: a) Zenbatekoa izan behar da hasierako dosia gehienezko kontzentrazio 1 mg/ml izateko? Noiz agertzen da konzentrazio maximo hori? b) Kontzentrazio maximo hori pasa eta gero bigarren dosia eman behar zaio kontzentrazioa 0.25 mg/ml baliora jaisten denean. Kalkulatu minutu baten zehaztasunarekin zenbat denbora igarotzen duen bi dosien artean. c) Bigarren dosia lehenengoa baino %75 txikiagoa dela suposatuz, noiz eman beharko genioke hirugarren dosia?

14. a) Beraz, 3 ordu pasa eta gero lortzen da kontzentazio maximoa eta bere Balioa hurrengo hau da: Balio hori 1 izateko:

15. b) Hurrengoan kalkulatu nahi dugu noiz den 0.25 c(t)-ren balioa, hau da, zein den f(t) = c(t)-0.25 funtzioaren zero bat: Newton: t0 = 4 puntutik abiatuz:

17. c)

18. Kalkulatu Runge-Kutta -en metodoaren bidez hurrengo ekuazio diferentzialaren soluzio hurbilduak ondoko x = 1.2 eta x = 1.4 puntuetan h=0.1 erabiliz: : Soluzio analitikoa y = exp(x2-1), dela kontutan hartuz, kalkulatu egindako errore absolutuak eta erlatiboak. h = 0.1:

24. Kalkulatu Simpson-en eta Trapezioen prozeduren bidez (7 punturekin bai batan bai bestean) eta Gauss-Legendre-ren koadraturaren bidez 4 punturekin (n=3) (taularen puntuekin) hurrengo integralaren balorea: h = 1/2 hartuta (7puntu): Trapezioen bidez:

25. Simpson-en bidez:

26. Gauss-Legendre-ren koadraturarekin n=3 hartuta (4 puntu):

27. Herri batetan 1000 biztanle bizi dira. Bati birus kutsakor bat erantsi zaio. Hurrengo egunean hiru badira kutsatuak astebete bat igaro ondoren, zenbatekoa izango da gaixoen kopurua? h = 1/7:

28. Ondorioz, astebete bat pasa eta gero, denak daude gaixorik.

29. Bi substantzia, A eta B, konbinatzen direnean C konposatu bat osatzen da. Erreakzioan, A substantziaren gramo bakoitzako B-ren 4 gramo behar dira. Minutu bat pasa eta gero C-ren 6 gramo sortu dira.Erreakzioaren abiadura A eta B-ren geratzen direnen kantitateekiko proportzionala bada eta hasieran A-ren 50 gramo eta B-ren 32 gramo baldin baziren, zenbatekoa izango da C-ren kantitatea erreakzioa abiatu eta 10 minutura? t minutuetan sortzen diren C konposatuaren gramuen kopuruari C(t) deitzen badiogu eta, denbora berean, deskonposatzen diren A eta B-ren kantitateei A(t) eta B(t), deituz hurrenez hurren, orduan:

30. Ondorioz: edo gauza bera dena: eta ebatzi behar dugun lehen ordenako ekuazio diferentziala hau da : non, k, kalkulatu behar dugun konstantea baita.

31. Euler-en metodo xinplea erabiltzen badu soluzio numeriko hurbilduak lortzeko: h = 1: eta behin k konstanta kalkulatu dugun, iterazio gehiago egin ditzakegu beste soluzioak lortzeko beste denboretarako:

33. Zenbaki lehenen teoremaren arabera a< x < b tartean dauden zenbaki lehenen kopurua da gutxi gorabehera: Alderatu hurbilketa honen bidez lortutako 100 eta 200-en artean dauden zenbaki lehenen kopurua, benetako balioarekin. Gauss-Legendre-ren koadraturarekin eta n=3 hartuta (4 puntu):

34. Hala ere, 100 baino handiagoak eta 200 baino txikiagoak diren zenbaki lehenen benetako kopurua da 21.

35. Erabili Runge-Kutta-ren metodoa hurrengo probleman p-ren balio hurbildua lortzeko h=0.5 hartuta eta kalkulatu egindako errore absolutua eta erlatiboa: Ekuazio diferentzial hau zehatz-mehatz integra daiteke:

36. Hortaz p-ren balio numeriko hurbildua lortzeko kalkulatu beharko dugu y(x) x=1 denean: h = 0.5:

39. Kalkulatu Simpson-en eta Trapezioen prozeduren bidez (9 punturekin bai batan bai bestean) eta Gauss-Legendre-ren koadraturaren bidez 4 punturekin (n=3, taularen puntuekin) hurrengo integralaren balorea: h = 1/4 hartuta (9puntu): Trapezioen bidez:

40. Simpson-en bidez:

41. Gauss-Legendre-ren koadraturaz n=3 hartuta (4 puntu):

42. Hurrengo taularen bidez, kalkulatu x0-ren bigarren deribatuaren hurbilketa numerikoa x1, x2 eta x3 puntuen balioak erabiliz: Hori egin eta gero, kalkulatu gauza bera, hau da, x0-ren bigarren deribatuaren hurbilketa numerikoa; baina, oraingoan taularen lau puntuetatik pasatzen den interpolazio-polinomiaren bidez. Argudiatu bi emaitzen arteko alderaketa.

43. Lehenik eskatzen digute kalkulatzeko distantziakide puntuen taula batetik hartutako xn puntu baten bigarren deribatuaren hurbilketa bat xn+1, xn+2 eta xn+3 puntuen balioen laguntzaz: Hortaz, gure helburua izango da kalkulatzea a, b eta c koefizienteak:

44. a, b eta c koefiziente horiek honelakoak izango dira:

45. Beraz:

46. Jarraian, hurrungo puntueatik pasatzen den interpolazio-polinomioa kalkulatu dugu: Lau puntu izanik interpolazio-polinomioaren maila, gehienera jota hiru izango da: non ai koefizienteek hurrengo ekuazioak betetzen baitituzte:

49. Beraz, interpolazio-polinomioa hauxe da: Ondorioz, bigarren deribatua x0 puntuan (edozein puntutan, izan ere) da: hau da: lehen lortu genuen emaitza bera. Horren zioa hurrengoan oinarritzen da

50. Erabili Taylor-en seriearen algoritmoa hurrengo ekuazio diferentzialaren soluzio hurbildua kalkulatzeko: