Algoritmi di ordinamento

1. Didattica della programmazione IProf. Giulio Giunta Algoritmi di ordinamento Calzetta Emilia Cervone Vincenzo

2. Contenuti: Algoritmi di ordinamento iterativi e ricorsivi Ordinamento per inserimento: Insertion-sort Ordinamento per selezione del min/max: Selection-sort Ordinamento a bolle: Bubble-sort Analisi della complessità nel contare gli scambi e i confronti (caso peggiore) Analisi comparata Simulazioni in linguaggio VB Riferimenti: Cormen, Leiserson, Rivest- Introduzione agli algoritmi -McGrawHill

3. Classe:3^ I.T.I.S. Prerequisiti: • Conoscenze sull’organizzazione dei dati mediante la struttura vettoriale • Conoscenze della teoria della ricorsione e dell’iterazione • Conoscenze della teoria e implementazione degli algoritmi • Conoscenze del linguaggio Visual Basic e delle Macro di Excel Obiettivi: • Saper gestire l’organizzazione e ordinamento dei dati in un vettore • Capire l’importanza dell’ordinamento dei dati • Utilizzare le strutture di iterazione e ricorsione • Analizzare le applicazioni relative agli argomenti teorici affrontati Modalità di lavoro: • lezioni frontali • utilizzo del laboratorio

4. Ordinamento di una sequenza Una sequenza è un insieme di elementi omogenei tra loro. Ordinare una sequenza di elementi in ordine crescente (non-decrescente) significa disporre gli elementi in modo da averli in ordinati in base al loro valore dal più piccolo al più grande da sinistra a destra. sequenza iniziale (C,A,D,A,E,G,B,M,C) sequenzaordinata (A,A,B,C,C,D,E,G,M) La sequenza ordinata contiene gli stessi elementi della sequenza iniziale e ogni elemento appare con la stessa molteplicità nelle due sequenze. Una sequenza (a1,a2,…,an-1,an) è ordinata (sorted) se a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an-1 ≤an se e solo se il valore di ai è minore di quello di ai+1 oppure ai e ai+1 hanno lo stesso valore

5. Ordinamento di un vettore • Un vettore (array) rappresenta un insieme di elementi dello stesso tipo: gli elementi si distinguono uno dall’altro mediante un indice. L’insieme dei valori assumibili dagli indici di un’array dipende dal numero complessivo degli elementi dell’array (SIZE) • A = 1 2 3 4 Dato un vettore A di interi, ordinarlo in modo crescente (non-decrescente) significa trasformarlo in modo tale che, per ogni indice i, l’elemento A[i] sia minore o uguale di tutti gli altri elementi di indice j, con i<j Esempio: A = Vettore iniziale A = Vettore ordinato A[i] ≤ A[j] con i, j=1, …,4 , i<j

6. Importanza dell’ordinamento (1) “Un ordine perfetto è il fondamento di tutte le cose” (Edmund Burke 1729-1797) L’accesso a collezioni di dati ordinate in modo opportuno è più semplice che non l’accesso a collezioni non ordinate. A che servirebbe un elenco telefonico se gli utenti fossero elencati in ordine sparso? Anche nei calcolatori, è spesso utile gestire collezioni di dati ordinate secondo un qualche criterio di ordinamento, questo ad esempio permette di usare algoritmi di ricerca più efficienti (ricerca binaria)

7. Importanza dell’ordinamento (2) La tecnica di ricerca binaria, rispetto alla ricerca esaustiva, consente di eliminare ad ogni passo metà degli elementi del vettore procedure r_bin(in:n,elenco,chiave; out:trovato,indice) var elenco: array(1..n) of character var chiave: character var n,indice,mediano,primo,ultimo: integer var trovato: logical begin primo:= 1; ultimo:= n; trovato:= false repeat mediano := (primo+ultimo)/2 if chiave = elenco(mediano) then trovato := true else if chiave < elenco(mediano) then ultimo := mediano - 1 else primo := mediano + 1 endif endif until trovato or primo = ultimo indice := mediano end 2 5 5 5 11 11 15 19 19 19 28 35 41 50 primo primo ultimo ultimo chiave= 11 primo=1; ultimo=9; trovato=false primo:= 1; ultimo:= n; trovato:= false primo:= 1; ultimo:= n; trovato:= false primo=3; ultimo=4; trovato=false trovato =true primo=1; ultimo=4; trovato=false mediano=(9+1)/2=5; elenco[5]=19 mediano := (primo+ultimo)/2 mediano := (primo+ultimo)/2 mediano := (primo+ultimo)/2 mediano := (primo+ultimo)/2 mediano=(4+1)/2=2; elenco[2]=5 if chiave = elenco(mediano) then trovato := true if chiave = elenco(mediano) then trovato := true mediano=(3+4)/2=3; elenco[3]=11 11<19 ---> primo =1; ultimo=4 if chiave < elenco(mediano) then ultimo := mediano - 1 if chiave < elenco(mediano) then ultimo := mediano - 1 11>5 ---> primo= 2+1=3 Elemento è stato trovato nella terza locazione dell’array: indice=3 else primo := mediano + 1 else primo := mediano + 1 Iterazione:2 Iterazione:3 indice := mediano indice := mediano Iterazione:1

8. Chiave di ordinamento Il valore su cui si effettua l’ordinamento di un insieme di elementi si definisce chiave (key) di ordinamento. Nel caso si desideri ordinare insiemi di variabili con differenti tipi di valori (record o strutture) occorre definire bene la chiave dell’ordinamento. Ordinamento per media (con valori ripetuti) Ordinamento per cognome e nome (Es. ordinamento alfabetico del registro di classe) Esempio: type studente : record cognome: character nome : character matricola : integer media : integer end var stud1,stud2,stud3,stud4,stud5: studente

9. Problema:ordinare in ordine crescente un insieme di studenti considerando le chiavi di ordinamento: Key1=cognome;Key2=nome;Key3=matricola; Key4=media scolastica; Ordinamento crescente per matricola

10. Ordinamento crescente per media scolastica Ordinamento crescente per cognome e nome

11. Iterazione e ricorsione (1) Gli algoritmi di ordinamento possono essere iterativi e ricorsivi Iterazione: ripetere piu’ volte una sequenza di operazioni Esempio: somma i primi n interi:( ( ( (1)+ 2)+3)+…+n) for (i=1, i<=n, i++) somma=somma +i La caratteristica fondamentale di un algoritmo ITERATIVO è che a ogni passo è disponibile un risultato parziale: dopo k passi, si ha a disposizione il risultato parziale relativo al caso k

12. Iterazione e ricorsione (2) Gli algoritmi ricorsivi si basano sulla possibilità di definire una funzione in termini di se stessa. Una funzione è definita ricorsivamente quando nella sua definizione compare un riferimento a se stessa. Esempio: somma i primi n iteri Sn= n + Sn-1 =n+somma dei primi (n-1) numeri interi • Risolvere un problema con un approccio ricorsivo comporta • di identificare un “caso base” la cui soluzione sia nota • di riuscire a esprimere la soluzione al caso generico n in termini dello stesso problema in uno o più casi più semplici (n-1, n-2, etc).

13. Esempio di funzione ricorsiva: Sn= n + Sn-1somma dei primi n iteri n + soluzione del problema della somma dei primi (n-1) iteri “somma dei primi (n-1) interi” è una istanza più semplice del problema “somma dei primi n interi” e tale istanza può essere scomposta, a sua volta, in un’istanza ancora più semplice Sn= n+(n-1)+Sn-2 Procedendo in queste scomposizioni si giunge fino all’istanza banale del problema S1= 1 Sn= n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+1 Osserviamo che nella ricorsione, a differenza dell’iterazione,non si dispone di un risultato parziale finché non si è giunti fino all’istanza elementare

14. Selection-sort (ordinamento per selezione) Sia A un array di n elementi da ordinare. L’ algoritmo selection-sort seleziona l’elemento con valore minore e lo scambia con il primo elemento. Tra gli n-1 elementi rimasti viene poi ricercato quello con valore minore e scambiato con il secondo e così di seguito fino all’ultimo elemento. • METODO: • Iteriamo i seguenti passi: • l’array A è diviso in 2 parti • Parte iniziale ordinata| parte da ordinare • cerchiamo l’elemento minimo nella parte non ordinata e lo scambiamo con il primo della parte non ordinata

15. Selection-sort Parte iniziale ordinata| parte da ordinare I iterazione: A[1..n] non ordinato, cerca minimo di A[1..n] e scambialo con A[1]. Quindi: A[1] | A[2..n] II iterazione: A[1] ordinato, A[2..n] non ordinato, cerca minimo di A[2..n] e scambialo con A[2]. Quindi: A[1]A[2] | A[3..n] generica iterazione: A[1..i-1] ordinato, A[i..n] non ordinato, cerca minimo di A[i..n] e scambialo con A[i]. Quindi: A[1..i-1] A[i]| A[i+1,..n] Per i=n-1: A[1..n-2] | A[n-1],A[n] cerca il minimo tra A[n-1] e A[n], scambialo con A[n-1] ARRAY A ORDINATO!

16. Esempio selection-sort: Sia A un array di 6 elementi da ordinare in modo crescente • SelectionSort(A, min, temp) • fori=1 to n-1do • min := i • forj=i+1 to ndo • IfA(min)>A(j)then • min := j • endif • endfor • temp = A[min] • A[min] = A[i] • A[i] = temp • endfor j=3 j=4 j=4 j=5 j=5 j=5 j=5 j=6 j=6 j=6 j=6 j=2 j=3 j=4 11 11 11 1 5 5 5 5 1 7 1 11 11 15 7 15 7 15 15 11 19 19 i=2 i=4 i=5 min := i min := i i=3 i=1 min := i min := i min := i min := i min := i min := i min := i min := i forj=i+1 to ndo IfA(min)>A(j) then min := j endif forj=i+1 to ndo IfA(min)>A(j) then min := j endif forj=i+1 to ndo IfA(min)>A(j) then min := j endif forj=i+1 to ndo IfA(min)>A(j) then min := j endif forj=i+1 to ndo IfA(min)>A(j) then min := j endif forj=i+1 to ndo IfA(min)>A(j) then min := j endif forj=i+1 to ndo IfA(min)>A(j) then min := j endif forj=i+1 to ndo IfA(min)>A(j) then min := j endif forj=i+1 to ndo IfA(min)>A(j) then min := j endif forj=i+1 to ndo IfA(min)>A(j) then min := j endif min=1 min=2 min=2 min=3 min=3 min=4 min=5 min=5 La parte sinistra del vettore è già ordinata 5 1 11 7 15 temp = A[min] A[min] = A[i] A[i] = temp temp = A[min] A[min] = A[i] A[i] = temp temp = A[min] A[min] = A[i] A[i] = temp temp = A[min] A[min] = A[i] A[i] = temp temp = A[min] A[min] = A[i] A[i] = temp temp = A[min] A[min] = A[i] A[i] = temp temp = A[min] A[min] = A[i] A[i] = temp temp = A[min] A[min] = A[i] A[i] = temp temp = A[min] A[min] = A[i] A[i] = temp temp = A[min] A[min] = A[i] A[i] = temp temp

17. Problema: Sviluppare un algoritmo di selection sort basato sulla selezione del massimo per ordinare in modo crescente un array A di n elementi procedureord_sel_max(in:n; inout:a) varn,indice_max:integer vara:array(1..n)of character begin for i=n,2step=-1do indice_max:= 1 for k=2,ido if a(indice_max)<a(k)then indice_max:= k endif endfor scambiare_c(a(i),a(indice_max)) endfor end for i=n,2step=-1do determinare l’elemento massimo della porzione 1..i dell’array metterlo all’ultimo posto della porzione endfor

18. Analisi del selection-sort (1) L’operazione dominante per il selection-sort è il confronto tra coppie di elementi, per n-1 volte bisogna determinare il minimo tra gli elementi non ordinati e se necessario effettuare uno scambio: Durante la prima iterazione bisogna effettuare n-1 confronti per determinare il minimo tra gli n elementi. Durante la seconda iterazione bisogna effettuare n-2 confronti per determinare il minimo tra gli n-1 elementi. ….

19. Analisi del selection-sort (2) Durante la n-1 iterazione bisogna effettuare 1 confronti per determinare il minimo tra 2 elementi. Quindi il numero di confronti è :  n-i = (n-1)+(n-2)+…+2+1 = n(n-1)/2 Per cui il tempo di esecuzione dell’algoritmo tende a n2 n-1 i=1 Il comportamento del selection-sort è indipendente dall’ordine preesistente nell’array da ordinare: il caso peggiore (array ordinato in ordine decrescente) e quello migliore coincidono(array ordinato in ordine crescente)

20. Insertion-sort (ordinamento per inserimento) L’insertion-sort è un algoritmo molto semplice che si basa sul metodo usato per ordinare le carte da gioco: “per ordinare le carte nelle tue mani estrai una carta, scala le carte rimanenti, e inserisci la carta estratta nel posto corretto tra quelle già considerate e ordinate” Analogamente per ordinare un vettore di interi a[1…n] in ordine crescente, consideriamo il primo elemento come un sottovettore ordinato e inseriamo gli elementi a[2],…,a[n] uno dopo l’altro nella giusta posizione tra quelli già considerati e ordinati

21. Metodo Insertion-sort: • ordinare i primi 2 elementi (porzione 1..2); • ordinare i primi 3 elementi (porzione 1..3), inserendo il terzo elemento nella posizione corretta rispetto ai precedenti; • ordinare i primi 4 elementi (porzione 1..4), inserendo il quarto elemento nella posizione corretta rispetto ai precedenti; • …… • ordinare i gli n elementi (porzione 1..n),inserendo l’ennesimo elemento nella posizione corretta rispetto ai precedenti

22. Esempio: Sia A il vettore da ordinare. Ordiniamo i primi 2 elementi (porzione 1-2); poi ordiniamo gli elementi dalla terza posizione in poi inserendoli nella posizione corretta rispetto ai precedenti j=0 j=0 j=1 j=1 j=2 j=2 j=3 j=3 j=4 j=5 InsertionSort(A,n, temp) for i=2 to ndo temp := a(i) j := i-1 while j>=1andtemp<a(j) a(j+1) := a(j) j := j-1 end while a(j+1) := temp endfor end A 5 1 11 5 5 5 11 11 7 11 11 1 15 11 15 7 15 19 19 i=2 i=4 i=5 i=3 i=6 temp := a(i) j := i-1 temp := a(i) j := i-1 temp := a(i) j := i-1 temp := a(i) j := i-1 temp := a(i) j := i-1 temp := a(i) j := i-1 temp := a(i) j := i-1 temp := a(i) j := i-1 temp := a(i) j := i-1 temp := a(i) j := i-1 i=2 i=3 i=4 i=5 i=6 La condizione è falsa La condizione è falsa La condizione è falsa La condizione è falsa a(j+1) := a(j) j := j-1 a(j+1) := a(j) j := j-1 a(j+1) := a(j) j := j-1 a(j+1) := a(j) j := j-1 a(j+1) := a(j) j := j-1 a(j+1) := a(j) j := j-1 7 19 15 1 5 a(j+1) := temp a(j+1) := temp a(j+1) := temp a(j+1) := temp a(j+1) := temp a(j+1) := temp a(j+1) := temp a(j+1) := temp a(j+1) := temp a(j+1) := temp temp endfor endfor L’insertion-sort è un algoritmo di ordinamento stabile

23. Il metodo di ordinamento ad inserzione si basa sull'idea che un vettore ordinato si ottiene inserendo le sue componenti una per una "al posto giusto". Non si introduce un secondo vettore, ma si "simula" l‘inserzione degli elementi nel vettore dato (ordinamento in loco). L’insertion-sort è un algoritmo stabile

24. Algoritmi di ordinamento stabili Se nell’array da ordinare ci sono due o più elementi con lo stesso valore, allora tali elementi compaiono nell’array di output nello stesso ordine in cui compaiono in quello di input. (Algoritmo Stabile) Esempio (Alg. Stabile) : ordinare un vettore di voti scolastici 5 5 6 7 7 8 voto Carlo voto Rita voto Mario voto Luca voto Paolo voto Gina Si conserva l’ordinamento sul nome!

25. Problema: Verificare che l’algoritmo di selection sort basato sulla selezione del massimo per ordinare in modo crescente un array A di n elementi non è stabile for i=n,2step=-1do determinare l’elemento massimo della porzione 1..i dell’array metterlo all’ultimo posto della porzione endfor voto Carlo a[1] Si perde l’ordinamento sul nome: algoritmo non-stabile voto Luca a[2] voto Mario voto Rita voto Gina a[3] voto Paolo voto Rita voto Rita a[4] voto Mario a[5] voto Paolo a[6] 6 5 7 5 i=5 i=4 i=6 i=3 i=2 5 5 6 7 7 8 voto Rita voto Carlo voto Mario voto Paolo voto Luca voto Gina

26. Analisi delle prestazioni dell’insertion-sort (1) L’operazione dominante per l’algoritmo è il confronto tra coppie di elementi. L'ordinamento per inserimento inserisce gli elementi lavorando meno se essi sono gia' parzialmente ordinati. Il caso migliore si ha quando il vettore è già ordinato in modo crescente in tal caso bastano n-1 confronti. Il caso peggiore si ottiene invece nel caso in cui la sequenza di elementi si presenta in ordine inverso, cioè quando l’array è ordinato in modo decrescente, perchè in questo caso il numero di confronti sarà pari al numero di elementi già ordinati.

27. Analisi delle prestazioni dell’insertion-sort(2) Analizziamo il caso peggiore considerando l’ordinamento delle carte da gioco: • l’insertion-sort durante la prima passata esegue un confronto con con la carta più a sinistra nell’array • durante la seconda passata esegue due confronti con le due carte più a sinistra dell’array); • durante la n-1 esima passata vengono eseguiti al più n-1 confronti Quindi il numero di confronti totali su di un array di dimensione n è: i = 1 + 2 + 3 + ... + n-1 = n(n-1)/2 n-1 i=1

28. Bubble-sort (ordinamento a bolle) L’ordinamento a bolle è un algoritmo semplice basato sul metodo degli scambi. Si fanno “salire” gli elementi più piccoli verso l’inizio del vettore scambiandoli con quelli adiacenti. Si procede confrontando gli elementi a coppie e ogni qualvolta si trova una coppia non ordinata si scambiano di posto i due elementi. Dato il vettore A[n], si opera confrontando A[1] con A[2] e se A[1] è maggiore di A[2], si effettua uno scambio tra i due; vengono poi confrontati A[2] con A[3], A[3] con A[4], …A[n-1] con A[n] scambiando di posto quegli elementi che non formano coppie ordinate.

29. Bubble-sort (ordinamento a bolle) Alla fine dell’esecuzione del primo ciclo di operazioni l’elemento più grande si trova automaticamente in ultima posizione in quanto gli elementi più piccoli sono "risaliti" nel vettore come delle bolle (da qui la definizione di Bubble-Sort). Successivamente, al termine del secondo ciclo di operazioni, l’elemento maggiore tra A[1], A[2],….A[n-1] sarà posizionato alla penultima (n-1) posizione; si procede in questo modo finchè non ci saranno più valori da scambiare (array ordinato)

30. Esempio:Sia A il vettore da ordinare BubbleSort(A,n,scambio,temp) i:=1 repeat scambio:= 0 forj=i+1tondo if(A[j] < A[j-1])thentemp:=A[j] A[j]:=A[j-1] A[j-1]:=temp scambio:=1 endif endfor until scambio=0 end La condizione è falsa j=2 j=2 j=3 j=4 j=4 j=5 scambio:= 0 scambio:= 0 A 5 1 11 5 1 11 5 1 11 5 11 1 11 7 11 7 15 7 7 15 15 15 15 19 19 temp:=A[j] A[j]:=A[j-1] A[j-1]:=temp scambio:=1 temp:=A[j] A[j]:=A[j-1] A[j-1]:=temp scambio:=1 temp:=A[j] A[j]:=A[j-1] A[j-1]:=temp scambio:=1 temp:=A[j] A[j]:=A[j-1] A[j-1]:=temp scambio:=1 temp:=A[j] A[j]:=A[j-1] A[j-1]:=temp scambio:=1 temp:=A[j] A[j]:=A[j-1] A[j-1]:=temp scambio:=1 temp:=A[j] A[j]:=A[j-1] A[j-1]:=temp scambio:=1 temp:=A[j] A[j]:=A[j-1] A[j-1]:=temp scambio:=1 Scambio=0 Vettore Ordinato! j-1=3 Scambio=1 Scambio=0 j-1=1 j-1=1 j-1=2 j-1=3 j-1=4 5 1 7 1 7 temp Il bubble-sort è un algoritmo stabile come l’insertion-sort

31. Analisi delle prestazioni del bubble-sort(1) Nel bubble sort l’operazione dominante è il confronto tra coppie di elementi, l’operazione di scambio degli elementi viene eseguita meno spesso rispetto al confronto degli elementi e ha lo stesso costo. L’algoritmo BubbleSort esegue un numero di operazioni variabili a seconda dell’ordinamento già presente nel vettore Il caso migliore si ha quando l’array è già ordinato ed è sufficiente effettuare solo un ciclo per verificare che tutti gli elementi sono ordinati, quindi sono sufficienti n-1 confronti. Il caso peggiore si ha quando gli elementi nell’array sono ordinati in senso decrescente.

32. Analisi delle prestazioni del bubble-sort(1) Nel caso peggiore il bubble sort effettua i seguenti confronti: • Durante il primo ciclo vengono eseguiti n-1 confronti e altrettanti scambi • Durante il secondo ciclo vengono eseguiti n-2 confronti e altrettanti scambi • Durante il terzo ciclo vengono eseguiti n-3 confronti e altrettanti scambi • …. • Durante l’n-esimo ciclo viene eseguito un confronto e uno scambio Quindi nel caso peggiore il numero di confronti e scambi su di un array di dimensione n è: (n-i) = n1 - i = n(n-1)-n(n-1)/2 = n(n-1)/2 n=1 n=1 n=1 i=1 i=1 i=1

33. Algoritmi di ordinamento ricorsivi “DIVIDE ET IMPERA”dicevano i latini: sia con il significato che una volta conquistato un nuovo territorio è meglio tenere diviso il popolo, se è ostile, per evitare rivolte e sovversioni; sia con il significato di partizionare il territorio per amministrarlo meglio. Il motto latino ‘Divide et Impera’ è stato acquisito dall’informatica come tecnica per risolvere problemi complessi, in pratica si genera una sequenza di istanze via via più semplici del problema, fino all'istanza che non è più suddivisibile e che ha soluzione banale

34. Selection-Sort ricorsivo Gli algoritmi di ordinamento visti finora possono essere realizzati anche con metodi ricorsivi. La ricorsione è un metodo molto più elegante dell’iterazione La versione ricorsiva del Selection-Sort si basa su di un idea molto semplice: ordina il vettore = metti il minimo all'inizio + ordina il resto del vettore Alla prima invocazione bisogna ordinare tutto il vettore, alla seconda tutto tranne il primo, poi tutto tranne il secondo, ecc. Useremo un parametro ‘inizio’ per ordinare il vettore a partire dall'indice ‘inizio’ fino alla fine, ordinando la parte di vettore: A[inizio], A[inizio+1], ... , A[A.length-1]

35. Algoritmo ricorsivo del Selection-Sort SelectRic(int A[], int inizio) { int i, minpos; minpos=inizio; for(i=inizio; i<A.length; i++) { if(A[i]<A[minpos]) minpos=i; int temp=A[inizio]; A[inizio]=A[minpos]; A[minpos]=temp; } SelectRic(A, inizio+1); } Metodo ricorsivo Selection-Sort: Metto il minimo in prima posizione, poi ordino quello che resta del vettore. • Cerco il minimo fra A[inizio], A[inizio+1], ... , A[A.length-1] • Lo metto in A[inizio] (faccio lo scambio) • Faccio la chiamata ricorsiva passando inizio+1 Manca ancora il caso base della ricorsione!

36. Selection-Sort caso base: Ogni volta che viene richiamata la funzione SelectRic (invocazione del metodo), la parte di vettore da ordinare ha un elemento in meno. Alla fine si arriva al vettore di un elemento, questo succede quando inizio è l'ultimo elemento del vettore. SelectRic(int A[], int inizio) { int i, minpos; if(inizio>=A.length-1) return; minpos=inizio; for(i=inizio; i<A.length; i++) if(A[i]<A[minpos]) minpos=i; int temp=A[inizio]; A[inizio]=A[minpos]; A[minpos]=temp; SelectRic(A, inizio+1); } In pratica: inizio aumenta di uno a ogni invocazione ricorsiva e quando arriva alla fine si deve ordinare la parte di vettore con un elemento solo (che è già banalmente ordinato!)

37. Bubble-Sort ricorsivo Nell’ordinamento a bolle dobbiamo far risalire gli elementi più leggeri (più piccoli) fino alla cima del vettore. BubbleRic(int A[], int fine) { int i, temp; for(i=0; i<=fine-1; i++) if(A[i]>A[i+1]) { temp=A[i]; A[i]=A[i+1]; A[i+1]=temp; } BubbleRic(A, fine-1); } Il ciclo for mette il massimo alla fine, dopo aver fatto questo, resta da ordinare il resto del vettore (tutto tranne l'ultimo elemento). Nella chiamata ricorsiva viene specificato dove il vettore termina (cioè dove finisce la parte di vettore da ordinare) • Faccio il ciclo di confronti, che mette il massimo alla fine. • Faccio l’ invocazione ricorsiva su tutto il vettore tranne l’ultimo elemento. Manca il caso base!

38. BubbleRic(A[], fine) { int i, temp; if(fine==0) return; // CASO BASE for(i=0; i<=fine-1; i++) if(A[i]>A[i+1]) { temp=A[i]; A[i]=A[i+1]; A[i+1]=temp; } BubbleRic(A, fine-1); } Bubble-Sort: caso base La parte di vettore da ordinare diventa sempre più piccola a ogni invocazione ricorsiva. Alla prima invocazione fine vale A.length-1 poi diminusce di uno, poi ancora di uno, ecc. Quando fine==0 la parte di vettore da ordinare è il solo primo elemento (che è già ordinato!)

39. Insertion-Sort ricorsivo • L’idea di ordinamento è simile al modo che, durante una partita a carte, si usa per ordinare le carte nella propria mano. • Si inizia con la mano vuota e le carte capovolte sul tavolo • Poi si prende una carta alla volta dal tavolo e si inserisce nella giusta posizione • Per trovare la giusta posizione per una carta, la confrontiamo con le altre carte nella mano, da destra verso sinistra. Ogni carta più grande verrà spostata verso destra in modo da fare posto alla carta da inserire. • L’insertion-Sort è uno algoritmo di ordinamento molto efficiente per ordinare un piccolo numero di elementi

40. INSERTION SORT RICORSIVO start from = 1 insertion_sort( A, from, to) { if ( from+1 > to ) { // CASO BASE from > to il vettore è ordinato temp = A[from+1]); i = from; while ( i>0 AND A[i] > temp) { // passo base A[i+1]=A[i]; i=i-1; } A[i+1] = temp; insertion_sort( A , from+1, to) // RICORSIONE } }

41. Prestazioni degli algoritmi di ordinamento (risultati sperimentali) Un altro modo per confrontare le prestazioni degli algoritmi di ordinamento consiste, semplicemente, nell’eseguire molti test per ogni algoritmo al crescere della dimensione n dell’input e nel confrontarne i tempi di esecuzione misurati tenendo conto dei casi in cui il vettore è ordinato in modo crescente, decrescente e random. I tempi sono generalmente espressi nella forma minuti secondi. Questo tipo di misurazione ha lo svantaggio che i tempi di esecuzione degli algoritmi dipendono dalle prestazioni della macchina su cui sono eseguiti (velocità del processore, capacità della memoria centrale), per cui il tempo di esecuzione di un algoritmo può variare notevolemente se eseguito su macchine differenti.

42. Questi sono i risultati forniti da un programma (eseguito su un Pentium 3 di 500 MegaHertz) utilizzato per ordinare con gli algoritmi analizzati in questo corso un vettore di 15.000 elementi. I tempi sono nella forma minuti secondi.

43. Implementazione degli algoritmi di sorting Gli algoritmi di sorting si possono implementare in svariati modi (Java, linguaggio C, Visual Basic, MATLAB, etc.) in questo corso abbiamo scelto il metodo più semplice, cioè le macro di Excel. Questa scelta è mirata a motivare l’interesse di tutti gli alunni, compresi quelli che potrebbero ritenere ‘difficile’ l’uso di metodi più sofisticati. Analizziamo delle semplici simulazioni degli algoritmi di sorting che sono state sviluppate con le macro di Microsoft Excel

44. BubbleSort 3-D (curiosità) Al seguente link è disponibile un algoritmo 3-D per ordinare pixel di colori con il Bubble sort http://www.magma.ca/~gtaylor/3dBubbleSort.htm Eseguibile BubbleSort 3-D

45. Riferimenti http://www.cs.oswego.edu/~mohammad/classes/csc241/samples/sort/Sort2-E.html http://faculty.harker.org/robbc/Pages/Software/TheSorter/TheSorter.htm http://www.magma.ca/~gtaylor/3dBubbleSort.htm http://math.hws.edu/TMCM/java/xSortLab/ http://www.geocities.com/SiliconValley/Network/1854/Sort1.html