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Lógica Formal. Roberto Moriyón. Introducción. El objetivo de la Lógica Formal o Lógica Matemática es proporcionar un sistema formal único en el que la producción de palabras a partir de axiomas dé lugar a deducciones válidas en contextos arbitrarios.

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Presentation Transcript
L gica formal l.jpg

Lógica Formal

Roberto Moriyón


Introducci n l.jpg
Introducción

  • El objetivo de la Lógica Formal o Lógica Matemática es proporcionar un sistema formal único en el que la producción de palabras a partir de axiomas dé lugar a deducciones válidas en contextos arbitrarios.

  • Hay varios sistemas lógicos formales que son capaces de formalizar cualquier razonamiento válido.

  • Un sistema lógico formal se puede ver como un sistema formal deductivo universal, en el mismo sentido que las máquinas de Turing universales.


Esbozo hist rico l.jpg
Esbozo histórico

  • En el siglo IV aC, Aristóteles clasificó los distintos tipos de razonamiento.

  • En el siglo XVII, Arnold y Locke destacaron la importancia de estudiar las ideas asociadas a cada afirmación lógica (su interpretación).

  • También en el siglo XVII, Descartes y Leibnitz destacaron los aspectos algebraicos de la manipulación formal de las fórmulas lógicas.


Esbozo hist rico ii l.jpg
Esbozo histórico, II

  • En el siglo XIX, Frege introdujo la utilización de variables y cuantificadores para representar fórmulas lógicas; Peano dio la primera axiomatización de la aritmética, y Peirce introdujo la lógica de segundo orden.

  • A comienzos del siglo XX, Hilbert propuso un programa para demostrar la consistencia de las Matemáticas en base a una axiomatización de ellas. Posteriormente, Gödel demostró que esto era imposible.


Esbozo hist rico iii l.jpg
Esbozo histórico, III

  • A lo largo del siglo XX se han desarrollado particularmente lógicas especiales (modal, temporal, etc) y lógicas relacionadas con la teoría de la computación (Cálculo  con tipos, lenguajes de programación lógicos, etc)


L gica proposicional l.jpg
Lógica proposicional

  • Sistema formal deductivo que genera fórmulas proposicionales basadas en afirmaciones atómicas que pueden ser verdaderas o falsas.

  • Alfabeto:

    • Atomos: P, Q, R, P’, Q’, R’, P’’, …

    • Operaciones lógicas: ^, v, , ~

    • Separadores: (, ) [A veces es útil utilizar separadores especiales y obligatorios, < y >, para desambiguar la gramática]

  • Ejemplos de fórmulas proposicionales: P v ~P,

    ~Q  (Q  P)



Operadores l gicos significado de x y l.jpg
Operadores lógicos:Significado de XY

  • En principio, el significado de XY es “si X es cierto, entonces Y también es cierto”.

  • Por lo tanto su tabla de verdad será como sigue:


Operadores l gicos significado de x y ii l.jpg
Operadores lógicos:Significado de XY, II

  • Ejemplos con cuantificador universal:

    • Para todos los números x, si x es impar, entonces x+1 es par

      x,(impar(x)  par(x+1))

    • Para todos los números x, si x es impar, entonces x+x es par

      x,(impar(x)  par(x+x))

    • Para todos los números x, si x es impar, entonces x+1 es impar

      x,(impar(x)  impar(x+x))


Operadores l gicos significado de x y iii l.jpg
Operadores lógicos:Significado de XY, III


Operadores l gicos significado de x y iv l.jpg
Operadores lógicos:Significado de XY, IV

  • Para que los ejemplos anteriores tengan contestaciones razonables hay que interpretar que la implicación XY es cierta si “Si X es cierto, entonces Y también. Si X no es cierto, da lo mismo que se verifique Y o no”.

  • (X ^ Y) v ~X

  • Esta definición es consistente en general con la definición de implicaciones en la Lógica de Predicados.


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Lógica proposicional: Interpretaciones

  • Una interpretaciónI de una fórmula F es una asignación de un valor lógico PI (True o False) a cada átomo P de F. La interpretación asigna un valor lógico a la fórmula utilizando las tablas de los distintos operadores.

  • Una fórmula es cierta en una interpretación si le corresponde el valor True mediante ella.

  • La tabla asociada a una fórmula tiene una interpretación en cada fila.


Interpretaciones en el mundo real l.jpg
Interpretacionesen el mundo real

  • Normalmente las fórmulas lógicas se interpretan a un primer nivel haciendo corresponder a cada símbolo proposicio-nal una afirmación (por ejemplo, llueve o los eliomartos rusitan). La interpretación se completa mediante una imagen del universo en la que cada una de las afirmaciones asociadas a los símbolos proposicionales es cierta o falsa.


L gica proposicional interpretaciones ii l.jpg
Lógica proposicional:Interpretaciones, II

~Q(QP)


L gica proposicional interpretaciones iii l.jpg
Lógica proposicional:Interpretaciones, III

  • Dada una asignación de valores booleanos a átomos, la función que a cada fórmula le hace corresponder su interpretación se puede definir de forma recursiva utilizando las reglas

    • IntI[F^G] IntI[F]^IntI[G]

    • IntI[FvG] IntI[F]vIntI[G]

    • IntI[FG] IntI[F]IntI[G]

    • IntI[~F] ~IntI[F]

      (morfismo entre fórmulas y valores booleanos)


L gica proposicional interpretaciones iv l.jpg
Lógica proposicional:Interpretaciones, IV

  • Ejemplo:

    Si PI True y QIFalse,

    IntI[P^~QQ]  IntI[P^~Q]QI 

     (PI^~QI)QI  True


F rmulas satisfactibles y tautolog as l.jpg
Fórmulas satisfactibles y tautologías

  • Una fórmula es satisfactible si es cierta en alguna interpretación.

    • Ejemplos: QP,Q  (Q  P)

  • Una fórmula es una tautología si es cierta en todas las interpretaciones.

    • Ejemplos: Qv~Q, ~Q  (Q  P)

  • Nota: En lo sucesivo, al igual que se suele hacer con las expresiones aritméticas, pondremos paréntesis cuando ello aclare o desambigüe la lectura de las fórmulas.


F rmulas satisfactibles y tautolog as en el mundo real l.jpg
Fórmulas satisfactibles y tautologías en el mundo real

  • Cualquier fórmula lógica satisfactible, en cualquier universo de interpretación asociado, tiene una interpretación en la que es cierta. Pero puede que no sea la interpretación natural en ese universo.

  • Cualquier tautología lógica, en cualquier universo de interpretación asociado, es cierta en todas sus interpretaciones.


Interpretaciones representaci n intuitiva l.jpg
Interpretaciones:Representación intuitiva

  • Es la función característica de un semianillo que contiene a todas las tautologías y contiene uno de los radios que lo limitan.

  • No contiene a ninguna fórmula insatisfactible.

M


Tautolog as e insatisfactibilidad l.jpg
Tautologías e insatisfactibilidad

  • Una fórmula es insatisfactible si no es satisfac-tible, es decir si no es cierta en ninguna interpre-tación.

    • Ejemplos: Q^~Q (contradicción), ~(~Q  (Q  P))

  • En general, la negación de una tautología es una fórmula insatisfactible y viceversa.

Tautologías

Insatisfactibes

Satisfactibles


Consecuencias de familias de f rmulas l.jpg
Consecuencias defamilias de fórmulas

  • Diremos que una fórmula F es consecuencia de un conjunto de fórmulas A (axiomas), y lo escribiremos AF, si toda interpretación que hace ciertas todas las fórmulas de A también hace cierta F.

  • Ejemplo 1: si F es una tautología, entonces es consecuencia de cualquier conjunto de axiomas

  • Ejemplo 2: La proposición ~FG es consecuencia del axioma F.


Consecuencias de familias de f rmulas ii l.jpg
Consecuencias de familias de fórmulas, II

  • Los problemas típicos de razonamiento consisten en hallar las consecuencias de unos axiomas dados, o en demostrar que una fórmula concreta lo es.


Consecuencias representaci n intuitiva l.jpg
Consecuencias:Representación intuitiva

  • Es la intersección de todos los semianillos que contienen a A asociados a interpretaciones.

A


Consecuencias representaci n intuitiva ii l.jpg
Consecuencias:Representación intuitiva, II

  • Otro ejemplo:


Consecuencias representaci n intuitiva iii l.jpg
Consecuencias:Representación intuitiva, III

  • Un ejemplo más: Las consecuencias incluyen alguna fórmula insatisfactible


Consecuencias representaci n intuitiva iv l.jpg
Consecuencias:Representación intuitiva, IV

  • Si hay alguna fórmula insatisfactible entre las consecuencias de un conjunto de axiomas, entonces todas las fórmulas son consecuencia de ellos.

  • Demostración: Todas las fórmulas son consecuencia de cualquier fórmula insatisfactible, pues no hay ninguna interpretación en la cual ésta sea cierta.


Consecuencias caso particular l.jpg
Consecuencias: Caso particular

  • Las fórmulas que son ciertas en una interpretación concreta forman un conjunto de axiomas cuyas consecuencias son ellas mismas.

  • Estos conjuntos de fórmulas son conjuntos satisfactibles maximales.


Criterio para reconocer consecuencias l.jpg
Criterio para reconocer consecuencias

  • Para ver si una fórmula F es consecuencia de un conjunto finito A de axiomas se pueden emplear tres procedimientos:

    • Formar una tabla con los valores lógicos de los axiomas y de F y examinar sus filas.

    • Demostrar que A1^A2^…^ANF es una tautología.

    • Demostrar que toda interpretación que hace ciertos los axiomas también hace cierta F.

      Los emplearemos para ver que ((~PvQ)R) es consecuencia de {P, QR}.


Consecuencias de familias de f rmulas iii l.jpg
Consecuencias defamilias de fórmulas, III


Consecuencias de familias de f rmulas iv l.jpg
Consecuencias defamilias de fórmulas, IV

  • {F1, F2}  F  (F1 ^ F2)  F tautología

    (P^(QR)) ((~PvQ)R) 

    ~P v (Q^~R) v ((P ^ ~Q) v R) 

    ~P v (Q^~R) v ((P v R) ^ (~Q v R)) 

    (~P v (Q^~R) v P v R) ^

    (~P v (Q^~R) v (~Q v R)) es tautología,

    luego {P, QR}  ((~PvQ)R)


Consecuencias de familias de f rmulas v l.jpg
Consecuencias defamilias de fórmulas, V

  • Suponemos que en la interpretación I,PI y QIRI son ciertas

  • Es cierto que entonces (~PIvQI)RI?

    • Primer caso: PI=True, QI=False. Entonces,

      ((~PIvQI)RI)=True, pues ~PIvQI=False.

    • Segundo caso: PI=True, QI=True, RI=True. Entonces, ((~PIvQI)RI)=True, ya que RI=True.


Consecuencias de familias de f rmulas vi l.jpg
Consecuencias defamilias de fórmulas, VI

El conjunto de axiomas aceptados puede ser infinito. Entonces los dos primeros procedimien-tos no sirven.

Ejemplos:

  • A=(P)*Q es un conjunto infinito recursivo de fórmulas. AQ^(PQ).

  • El patrón PPdefine otro conjunto infinito recursivo A’ de fórmulas. Todas ellas son tautologías. A’F si F es cualquier tautología.


Consecuencias de familias de f rmulas vii l.jpg
Consecuencias defamilias de fórmulas, VII

  • Una fórmula F es una tautología si y sólo si F.

  • Una fórmula F es insatisfactible si y sólo si ~F.


Consecuencias de familias de f rmulas ejercicio obligatorio l.jpg
Consecuencias de familias de fórmulas: Ejercicio obligatorio

[CONSPROC] Demostrar por cada uno de los procedimientos dados lo siguiente:

  • F  (Yv~X)  Y es consecuencia de A={~Y, X}

  • G  (~Y^X)  Y no es consecuencia de A={~Y, X}


Ejercicios opcionales l.jpg
Ejercicios opcionales obligatorio

  • [PROGVER] Escribir un programa que comprueba la veracidad de fórmulas con respecto a una interpretación.

  • [PROGSAT] Escribir un programa que determina si una fórmulaes satisfactible y si es una tautología.

  • [PROGCONS] Escribir un programa que determina si una fórmula proposicional es consecuencia de otras.


Ejercicio obligatorio l.jpg
Ejercicio obligatorio obligatorio

  • [CAJ] Entre tres cajas numeradas del 1 al 3 dos están vacías y la otra no. Además, una de las afirmaciones “La primera caja está vacía”, “La segunda caja está vacía” y “La segunda caja está llena” es cierta y las otras dos no. Demostrar cuál de las tres cajas está llena y demostrar que las otras dos cajas no lo están.


Ejercicios opcionales37 l.jpg
Ejercicios opcionales obligatorio

  • [AB] Demostrar que no se pueden colorear tres objetos A, B y C en blanco y negro de manera que A y B no tengan el mismo color, B y C tampoco y A y C tampoco

  • [TT] Demostrar que el siguiente razonamien-to es correcto: Si la temperatura y la presión no cambian, no llueve. La temperatura no cambia. Como consecuencia de lo anterior, si llueve entonces la presión cambia.


Ejercicio opcional l.jpg
Ejercicio opcional obligatorio

  • [FOTO] Deducir que la foto es de Juan como consecuencia de los siguientes axiomas:

    • La foto es redonda o cuadrada

    • La foto es en color o en blanco y negro

    • Si la foto es cuadrada, entonces es en blanco y negro

    • Si la foto es redonda, entonces es digital y en color

    • Si la foto es digital o en blanco y negro, entonces es un retrato

    • Si la foto es un retrato entonces es de Juan


Ejercicios opcionales39 l.jpg
Ejercicios opcionales obligatorio

  • [UNIC] Suponemos los siguientes axiomas acerca del unicornio :

    • Si es mítico, entonces es inmortal

    • Si no es mítico, es un mamífero mortal

    • Si es inmortal o mamífero, entonces tiene cuernos

    • Si tiene cuernos es mágico

  • Como consecuencia de todo ellos es mítico? Es mágico? Tiene cuernos?


Ejercicios opcionales40 l.jpg
Ejercicios opcionales obligatorio

  • [GR1] Decir quiénes dicen la verdad y quiénes dicen la mentira sabiendo que:

    • Alceo dice “los únicos que decimos la verdad aquí somos Cátulo y yo”

    • Safo dice “Cátulo miente”

    • Cátulo dice “Safo dice la verdad, o Alceo miente”


Ejercicios opcionales41 l.jpg
Ejercicios opcionales obligatorio

  • [GR2] Decir quiénes dicen la verdad y quiénes dicen la mentira sabiendo que:

    • Anaximandro dice “Heráclito miente”

    • Parménides dice “Anaximandro y Heráclito no mienten”

    • Heráclito dice “Parménides no miente”


Razonamiento l.jpg
Razonamiento obligatorio

  • El razonamiento se utiliza para obtener nuevos hechos ciertos a partir de otros que lo son o al menos se supone que lo son. Por lo tanto razonar consiste en encontrar las consecuencias de un conjunto de fórmulas.


Razonamiento ii l.jpg
Razonamiento, II obligatorio

  • Se puede razonar considerando todas las fórmulas y todas las interpretaciones y calculando los valores booleanos corres-pondientes para ver qué fórmulas son consecuencia de los axiomas, pero este algoritmo es inadecuado, especialmente si se incrementa la capacidad expresiva del lenguaje lógico y se permiten razonamientos sobre objetos (Lógica de Predicados) o si se utiliza un conjunto infinito de axiomas.


Razonamiento iii l.jpg
Razonamiento, III obligatorio

  • Es preferible dar un algoritmo que propor-cione directamente las fórmulas que son consecuencia de unos axiomas dados.

  • Se hará mediante un sistema formal (un cálculo lógico) formado por reglas de inferencia o de deducción.

  • En este sistema, una fórmula P se deduce de un conjunto A de axiomas si y sólo si es consecuencia de ellos (es decir, AP sii AP).


Deducci n l.jpg
Deducción obligatorio

  • Una deducción es una sucesión de fórmulas, cada una de las cuales se obtiene a partir de las anteriores mediante una regla formal de deducción.

  • En una regla de deducción XY, X e Y son fórmulas lógicas que verifican que X  Y. Eso hace que al generar cualquier fórmula

    X1X2…XN

    automáticamente se tenga que X1  XN.


Deducci n ii l.jpg
Deducción, II obligatorio

  • Si las fórmulas iniciales (hipótesis o axiomas) de una deducción son ciertas en una interpretación I, entonces también lo son todas las fórmulas deducidas (consecuencias).

  • El sistema formal de deducción que utilizaremos será completo en el sentido de que producirá todas las fórmulasque son consecuencia de un conjunto dado de axiomas.


Ejemplo de deducci n l.jpg
Ejemplo de deducción obligatorio

  • Axiomas:

    - Si llueve está nublado.

    - Si está nublado hace frío.

    - Llueve.

  • Demostrar que hace frío.


Ejemplo de deducci n ii l.jpg
Ejemplo de deducción, II obligatorio

  • Los axiomas anteriores se pueden representar mediante fórmulas como sigue:

    • L representa “llueve”

    • N representa “está nublado”

    • F representa “hace frío”

    • Axiomas: A = { LN, NF, L }


Ejemplo de deducci n iii l.jpg
Ejemplo de deducción, III obligatorio

  • Deducción:

    • De L y LN se deduce N

    • De N y NF se deduce F

  • Observaciones:

    • La deducción anterior aplica una única regla formal (modus ponens):

      ,   .

    • La deducción anterior es correcta indepen-dientemente de la interpretación de L, N y F.


Ejemplo de deducci n iv l.jpg
Ejemplo de deducción, IV obligatorio

  • Observaciones:

    • El modus ponens, ,   permite que las implicaciones se utilicen como reglas que se pueden aprender al razonar.

    • Las variables con letras griegas son fórmulas


Agrupamiento de f rmulas deducidas l.jpg
Agrupamiento de fórmulas deducidas obligatorio

  • Agrupamiento conjuntivo:

    ,  ^ 

  • Disociación conjuntiva:

     ^   ^   

  • Conmutatividad conjuntiva:

     ^   ^ 

    (se podría haber evitado dejando las anteriores)


Ejemplo de deducci n v l.jpg
Ejemplo de deducción, V obligatorio

  • Axiomas:

    - Si llueve está nublado.

    - Si está nublado hace frío.

  • Demostrar que si llueve hace frío.


Ejemplo de deducci n vi l.jpg
Ejemplo de deducción, VI obligatorio

  • Deducción:

    • Suponemos por un momento que L es cierto.

      • Entonces, según hemos visto, se deduce F.

    • De lo anterior y de los axiomas se deduce que LF.

  • La deducción anterior aplica una regla formal nueva (deducción de implicación):

    ,   ()

  • Esta regla permite construir reglas nuevas, de modo análogo a lo ya visto al estudiar los sistemas formales en general.


Ejemplo de deducci n vii l.jpg
Ejemplo de deducción, VII obligatorio

  • Axiomas:

    - Si llueve está nublado o hay arco iris.

    - Si está nublado hace frío.

    - Si hay arco iris está bonito.

  • Demostrar que si llueve, o bien hace frío o está bonito.

  • Símbolos nuevos de predicado: A (hay arco iris), B (está bonito).


Ejemplo de deducci n viii l.jpg
Ejemplo de deducción, VIII obligatorio

  • Deducción:

    • Suponemos por un momento que L es cierto.

      • Como L(N v A), por Modus Ponens se deduce NvA.

      • Suponemos por un momento que ~F^~B es cierto.

        • Entonces ~F y ~B son ciertos.

        • Además, como NF, ~F~N. Análogamente, ~B~A.

        • De ~F y ~F~N se deduce ~N. De ~B y ~B~A, resulta ~A.

        • De lo anterior se deduce que ~N^~A es cierto.


Ejemplo de deducci n ix l.jpg
Ejemplo de deducción, IX obligatorio

  • Por la regla de deducción de implicación, ~F^~B~N^~A

  • De lo anterior se deduce que NvAFvB.

  • Por el Modus Ponens, FvB es cierto.

  • Por la regla de deducción de implicación, LFvB.


  • Ejemplo de deducci n x l.jpg
    Ejemplo de deducción, X obligatorio

    • Se han utilizado cinco reglas nuevas:

      •   ~~

      • A~^~B  A~(v)B [A, B cualesquiera]

      • A~~B  AB


    Equivalencia l.jpg
    Equivalencia obligatorio

    • Las implicaciones son reglas que se aplican a fórmulas completas, pero no a partes de ellas: XAY, AB XBY no es una regla.

      Por ejemplo, de ~(A^C) y AB no se deduce ~(B^C), aunque de A y AB se deduce B.

      Caso particular: Aes de día, Ces de noche, Bse trabaja.

    • Sin embargo, si P y Q son equivalentes, se pueden intercambiar dentro de cualquier fórmula.

    • Ejemplo: No solamente ~~A A, sino que X~~AY XAY.

    • Caso particular: el de antes, con Bhay luz.


    L gica proposicional reglas de inferencia l.jpg
    Lógica proposicional: obligatorioReglas de inferencia

    • Agrupamiento conjuntivo:

      ,  ^ 

    • Disociación conjuntiva:

       ^   ^   

    • Conmutatividad disyuntiva (equivalencia):

      AvB AvB

    • Doble negación (equivalencia):

      A~~B  ABAB  A~~B [si bien form]

    • Modus ponens (emulación universal):

      ,  


    L gica proposicional reglas de inferencia ii l.jpg
    Lógica proposicional: obligatorioReglas de inferencia, II

    • Equivalencias de De Morgan:

      A~^~B A~(v)B

      A~(v)B  A~^~B

    • Equivalencia de implicaciones a disyunciones:

      A~vB AB

      AB A~vB

    • Deducción de implicaciones a partir de inferencias:

      A,  A

      (recuérdese que en todo sistema formal se pueden incorporar reglas para la relación ).

      Esta regla permite la construcción dinámica de reglas de deducción. Ejemplo: Teoremas.


    L gica proposicional reglas de inferencia iii l.jpg
    Lógica proposicional: obligatorioReglas de inferencia, III

    • El sistema se puede completar con más reglas para hacer más simple la generación de deducciones

    • Por ejemplo,   v 

    • Para ello hay que demostrar el patrón de teorema  v 


    L gica proposicional reglas de inferencia iv l.jpg
    Lógica proposicional: obligatorioReglas de inferencia, IV

    • En general, si F y G son dos fórmulas y FG, entonces al añadir la regla FG a las reglas de nuestro sistema deductivo obtenemos otro sistema equivalente al inicial.

    • En general, cada deducción de un patrón de teorema puede dar a una regla.


    L gica proposicional reglas de inferencia v l.jpg
    Lógica proposicional: obligatorioReglas de inferencia, V

    • Otro ejemplo:

        ~~

      (se ha utilizado en los ejemplos previos de deducciones)

    • Veremos más adelante que es consecuencia de las reglas anteriores


    Axiomas l.jpg
    Axiomas obligatorio

    • El sistema formal anterior no tiene axiomas

    • La regla de deducción de implicación a partir de inferencia nos da tautologías que se pueden ver como axiomas universales:

      • ,   ^   ^

      • , ^     ^

      • , ~v    ~v()

    • Se pueden construir a partir de deducciones cualesquiera


    Ejemplos simples de deducci n l.jpg
    Ejemplos simples de deducción obligatorio

    • ~(P^Q)  ~(~~P^Q)  ~(~~P^~~Q) 

       ~~(~Pv~Q)  ~Pv~Q

    • La forma habitual de escribirla es:

      ~(P^Q)

      ~(~~P^Q) [Doble negación 2]

      ~(~~P^~~Q) [Doble negación 2]

      ~~(~Pv~Q) [De Morgan 1]

      ~Pv~Q [Doble negación 1]


    Ejemplos simples de deducci n ii l.jpg
    Ejemplos simples de deducción, II obligatorio

    • Si ~(P^Q) es cierto, también lo es ~Pv~Q

    • Observación: P y Q se pueden sustituir por fórmulas cualesquiera.

    • La regla ~(^)  ~ v~ se puede incluir como regla de deducción para completar el sistema utilizado.


    Ejemplos simples de deducci n iii l.jpg
    Ejemplos simples de deducción, III obligatorio

    ~Pv~Q

    ~~(~Pv~Q) [Doble negación 2]

    ~(~~P^~~Q) [De Morgan 2]

    ~(P^~~Q) [Doble negación 1]

    ~(P^Q) [Doble negación 1]

    • ~Pv~Q  ~(P^Q)

    • ~Pv~Q~(P^Q) es una tautología

    • Observación: P y Q se pueden sustituir por fórmulas cualesquiera.

    • La regla ~v~  ~(^) se puede incluir como regla de deducción para completar el sistema utilizado.


    Ejemplos simples de deducci n iii68 l.jpg
    Ejemplos simples de deducción, III obligatorio

    PQ

    ~PvQ [Equiv. Impl. Disy. 2]

    Qv~P [Conmut. Disy.]

    ~~Qv~P [Doble negación 2]

    ~Q~P [Equiv. Impl. Disy. 1]

    • P y Q se pueden sustituir por fórmulas cualesquiera.


    Ejemplos simples de deducci n iv l.jpg
    Ejemplos simples de deducción, IV obligatorio

    • P  P v Q

      P

      /***** Por reducción al absurdo: *****/

      /***** ~(P v Q)  ~P ^ ~Q  ~P *****/

      /***** Contradicción! *****/

      ~(P v Q)~P [Deducc. Impl. Inferencia]

      PP v Q [Ejemplo anterior]

      P v Q [Modus ponens]

    • En lugar de comentario se ponen corchetes

    • P y Q se pueden sustituir …

    • La regla    v  se puede incluir …


    Deducci n representaci n intuitiva ii l.jpg
    Deducción: obligatorioRepresentación intuitiva, II

    • Contiene a todas las tautologías

    • Forman un conjunto radial (si contiene un punto, contienen todo su radio) y conexo (si contiene dos radios, contiene todos los intermedios)

    • Si contiene dos radios opuestos, contiene todas las fórmulas (consecuencia de que F^~F  G)

    • Si contiene una fórmula insatisfactible, contiene todas las fórmulas (consecuencia de lo anterior)


    Ejemplo de demostraci n l.jpg
    Ejemplo de demostración obligatorio

    • (p(qr))((pq)(pr))

    • Estrategia: demostrar implicación mediante deducción

      [ p(qr) p(qr)

      [ pq qr

      [ p r]

      pq pr]

      q (pq)(pr)]

      (p(qr))((pq)(pr))

    • P y Q se pueden sustituir …


    Ejemplo de demostraci n ii l.jpg
    Ejemplo de demostración, II obligatorio

    • (pq)((qr)(pr))

    • Demostrar implicación mediante deducción

      [ pq q

      [ qr qr

      pq r]

      [ p pr]

      pq (qr)(pr)]

      (pq)((qr)(pr))

    • P y Q se pueden sustituir …


    Ejemplo de demostraci n iii l.jpg
    Ejemplo de demostración, III obligatorio

    • (pq)v(rp)

      [ ~(pq)

      ~(~p v q)

      ~~p ^ ~q

      p^~q

      p …

      pv~r …

      rp]

      ~(pq)(rp)

      (pq)v(rp)

    • P y Q se pueden sustituir …


    Ejemplo de demostraci n iv l.jpg
    Ejemplo de demostración, IV obligatorio

    • ((PQ)^(~PQ))Q

      [ (PQ)^(~PQ) [ ~Q // red. abs.

      PQ P // (sim)

      ~PQ Q] // (sim) !!!

      ~Q~P ~QQ

      ~QP Q] // Ver prox ej.

      ((PQ)^(~PQ))Q

    • P y Q se pueden sustituir …


    Ejemplo de demostraci n v l.jpg
    Ejemplo de demostración, V obligatorio

    • P v P  P

      P v P

      ~~(P v P)

      ~(~P ^~P)

      [ ~P // Reducción al absurdo

      ~P^~P] // Contradicción

      ~P~P^~P

      ~(~P^~P)~~P

      ~~P

      P

    • P se puede sustituir …

    • La regla  v   se puede incluir …


    Ejemplo de demostraci n vi l.jpg
    Ejemplo de demostración, VI obligatorio

    • P^~PQ

      P^~P

      P

      ~P

      [ ~Q // Reducción al absurdo

      ~P] // Contradicción

      ~Q~P

      PQ

      Q

    • P y Q se pueden sustituir …

    • La regla ^~  se puede añadir …


    Slide77 l.jpg

    EJERCICIOS OBLIGATORIOS obligatorio

    1. [LL] Damos por válidos los siguientes hechos:

    • Si hace calor y está húmedo, entonces está lloviendo

    • Si está húmedo, entonces hace calor

    • Está húmedo

      Deducir a partir de lo anterior que está lloviendo

      2. Demostrar la validez de lo siguiente:

  • [PR1] P v (P ^ Q)  P

  • [PR2] ~(PQ)  (P^~Q)

  • [PR3]((X^Y)Z)(X(YZ))

  • [PR4]((PQ)^(QR))(PR)

  • [PR5] (P v Q) ^ (~Q v R)  (P v R)


  • Ejercicios opcionales78 l.jpg
    Ejercicios Opcionales obligatorio

    • [PROGD1] Escribir un programa que hace deducciones lógicas a partir de un conjunto de axiomas.

    • [PROGD2] Escribir un programa que permite al usuario construir paso a paso deducciones lógicas a partir de un conjunto de axiomas.


    Ejercicio obligatorio79 l.jpg
    Ejercicio obligatorio obligatorio

    • [OBJSD] Suponiendo que tres objetos A, B y C están coloreados en blanco y negro de manera que A y B no tengan el mismo color, B y C tampoco y A y C tampoco, deducir de ello una contradicción


    Ejercicios obligatorios l.jpg
    Ejercicios obligatorios obligatorio

    • [TD] Demostrar mediante una deducción que

      ((P  (Q v R)) ^ ~(Q v R))  ¬ P

      es una tautología

    • [CD] Deducir una contradicción a partir de

      ((P v Q)  ~R) ^ (~R v (Q v P))


    Ejercicio opcional81 l.jpg
    Ejercicio opcional obligatorio

    • [LLD] Deducir que si llueve entonces la presión cambia a partir de los axiomas siguientes:

      • Si la temperatura y la presión no cambian, no llueve

      • La temperatura no cambia


    Ejercicio opcional82 l.jpg
    Ejercicio opcional obligatorio

    • [FOTOD] Deducir que la foto es de Juan a partir de los siguientes axiomas:

      • La foto es redonda o cuadrada

      • La foto es en color o en blanco y negro

      • Si la foto es cuadrada, entonces es en blanco y negro

      • Si la foto es redonda, entonces es digital y en color

      • Si la foto es digital o en blanco y negro, entonces es un retrato

      • Si la foto es un retrato entonces es de Juan


    Ejercicio opcional83 l.jpg
    Ejercicio opcional obligatorio

    • [UNICD] Suponemos los siguientes axiomas acerca del unicornio :

      • Si es mítico, entonces es inmortal

      • Si no es mítico, es un mamífero mortal

      • Si es inmortal o mamífero, entonces tiene cuernos

      • Si tiene cuernos es mágico

    • Se deduce de todo ello que es mítico? Que es mágico? Que tiene cuernos?


    Ejercicio opcional84 l.jpg
    Ejercicio opcional obligatorio

    • [GRD1] Demostrar mediante una deducción quiénes dicen la verdad y quiénes dicen la mentira sabiendo que:

      • Alceo dice “los únicos que decimos la verdad aquí somos Cátulo y yo”

      • Safo dice “Cátulo miente”

      • Cátulo dice “Safo dice la verdad, o Alceo miente”


    Ejercicio opcional85 l.jpg
    Ejercicio opcional obligatorio

    • [GRD2] Demostrar mediante una deducción quiénes dicen la verdad y quiénes dicen la mentira sabiendo que:

      • Anaximandro dice “Heráclito miente”

      • Parménides dice “Anaximandro y Heráclito no mienten”

      • Heráclito dice “Parménides no miente”


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    Observaciones, I obligatorio

    • En general, en la Lógica Proposicional, en toda tautología se puede sustituir cualquier variable proposicional por una fórmula arbitraria, siempre y cuando la sustitución se haga en todas partes, y el resultado de la sustitución es otra tautología.


    Observaciones ii l.jpg
    Observaciones, II obligatorio

    • En lo que queda de curso, constantemente haremos razonamientos informales acerca de la forma en que se hacen deducciones formales. Parte de estos razonamientos informales se podrán formalizar mediante deducciones, pero siempre habrá dos niveles de deducción presentes, uno de los cuales se refiere al otro.


    Teorema de coherencia de la l gica proposicional l.jpg
    Teorema de coherencia de la lógica proposicional obligatorio

    • Teorema de coherencia: Si una fórmula Fse deduce a partir de un conjunto A de axiomas, entonces es consecuencia de A.

    • Demostración:

      Es una consecuencia obvia del hecho de que todas las reglas, que tienen la forma AF, verifican que AF.


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    Recordatorio: Consecuencias: obligatorioRepresentación intuitiva


    Teorema de coherencia representaci n intuitiva l.jpg
    Teorema de coherencia: obligatorioRepresentación intuitiva

    


    Teorema de completitud de la l gica proposicional l.jpg
    Teorema de completitud de la Lógica Proposicional obligatorio

    • Teorema de completitud: Si una fórmula F es consecuencia de un conjunto A de axiomas, entonces se deduce de A.

    • La demostración se dará más adelante. Se demostrarán como pasos intermedios dos casos particulares.


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    Recordatorio: Consecuencias: obligatorioCaso especial

    • Las consecuencias incluyen fórmulas insatisfactibles


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    Calculo proposicional: Consistencia obligatorio

    • Definición: Un conjunto de proposiciones es consistente si de él no se deduce ninguna proposición contradictoria de la forma F^~F.

    • Por ejemplo, {PQ,P^~Q} es inconsistente.

    • A es inconsistente si y sólo si todas las propo-siciones lógicas se deducen a partir de A.

      Demostración: Suponemos A  F^~F. Según el ejemplo VI de demostración que hemos visto, dada cualquier proposición G, F^~FG. Por lo tanto, AG.


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    Consistencia: obligatorioRepresentación intuitiva

    • Caso en que las formulas deducidas no incluyen contradicciones

      


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    Inconsistencia: obligatorioRepresentación intuitiva

    • Caso en que las formulas deducidas incluyen contradicciones

      


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    Caso particular obvio del Teorema de Completitud obligatorio

    • Si un conjunto de axiomas es inconsistente, entonces todas sus consecuencias se deducen de él

    • Demostración:

      Todas las fórmulas se deducen de él


    Teorema de completitud segundo caso a estudiar l.jpg
    Teorema De Completitud: obligatorioSegundo caso a estudiar

    • Si un conjunto de axiomas es consistente maximal, entonces todas sus consecuencias se deducen de él.

    • Demostración (pendiente): Es un conjunto satisfactible maximal, por lo que todas sus consecuencias pertenecen a él.


    Teorema de completitud segundo caso a estudiar ii l.jpg
    Teorema De Completitud: obligatorioSegundo caso a estudiar, II

    • Todo conjunto de fórmulas consistente maximal es el conjunto de fórmulas ciertas en una interpretación

    • Demostración: La interpretación tiene que ser I(F)  FA

      Tenemos que ver que

      • I(~F)  ~I(F)

      • I(F^G)  I(F)^I(G)


    Teorema de completitud segundo caso a estudiar iii l.jpg
    Teorema De Completitud: obligatorioSegundo caso a estudiar, III

    • I(~F)=~I(F)FA  ~FA

      • Como A es consistente, FA  ~FA

      • FA A~F (si no, A no sería maximal) 

         A{~F} consistente

         ~FA.

    • I(F^G)=I(F)^J(G)  F^GA  FA ^ GA

      • F^GA  FA

        (si no, A no sería maximal, pues F^GF)

      • FA, GA  F^GA

        (si no, A no sería maximal, pues F, GF^G)


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    Teorema De Completitud: obligatorioCaso general

    • Si un conjunto de axiomas es consistente, entonces todas sus consecuencias se deducen de él.

    • Demostración: Si F no se deduce de A, A{~F} es consistente (pendiente de ver), por lo que A{~F}está contenido en un conjunto consistente maximal (pendiente de ver) y entonces hay una interpretación en la que todas las fórmulas de A son ciertas y F es falsa


    Teorema de completitud final de la demostraci n i l.jpg
    Teorema De Completitud: obligatorioFinal de la demostración, I

    • Si la fórmula F no se deduce de un conjunto A de axiomas, entonces A{~F} es consistente

    • Demostración: Si A{~F} fuera inconsistente, entonces

      A{~F}  Gv~G  F

      luego tendríamos que A  ~FF  F


    Teorema de completitud final de la demostraci n l.jpg
    Teorema De Completitud: obligatorioFinal de la demostración

    • Si A es consistente, entonces está contenido en un conjunto satisfactible maximal de proposiciones.

      Demostración: Si {Fj | j0} es una numeración de todas las proposiciones, se van añadiendo a A consecutivamente Fj o ~Fj si con ello sigue siendo consistente (con uno de ellos lo es por la consistencia del conjunto previo y por la consideración anterior). El conjunto resultante es consistente maximal.


    Consecuencia teorema de satisfactibilidad l.jpg
    Consecuencia: obligatorioTeorema de satisfactibilidad

    • Teorema: Todo conjunto consistente de fórmulas A es satisfactible

    • Demostración: Si A es un conjunto consistente maximal ya lo hemos demostrado. Si no lo es, está contenido en otro conjunto M que sí es consistente maximal. Entonces la interpretación que satisface M también satisface A.


    Relaci n entre los teoremas de completitud y satisfactibilidad l.jpg
    Relación entre los Teoremas de completitud y satisfactibilidad

    • Enunciados equivalentes del Teorema de satisfactibilidad:

      • Si A es insatisfactible, entonces es inconsistente

      • Si A tiene como consecuencia alguna contradicción, ésta se deduce a partir de A


    Hip tesis necesarias en el teorema de completitud l.jpg
    Hipótesis necesarias en el satisfactibilidadteorema de Completitud

    • Las propiedades del sistema formal de deducción utilizadas en la demostración del Teorema de Completitud son las siguientes:

      • F^~F  G

      • F, G  F^G; F^G  F; F^G  G

      • ((A, F)  G)  (A  (FG))

      • (~FF)  F

      • F v G  ~(~F^~G)

      • F  F v G; G  F v G

      • F, FG  G

    • Cualquier sistema formal deductivo que cumpla estas condiciones puede sustituir al que hemos utilizado.


    L gica proposicional c lculo frente a satisfactibilidad l.jpg
    Lógica proposicional: satisfactibilidadCálculo frente a satisfactibilidad

    • En la práctica, la determinación de teoremas en base a un cálculo lógico como el descrito es un problema de búsqueda en un árbol, por lo que puede ser más ineficiente que en base al cálculo directo de todas las interpretaciones posibles y la interpretación correspondiente del supuesto teorema.

    • En la lógica de predicados no se pueden utilizar tablas de verdad y habrá que recurrir a un cálculo lógico del tipo del anterior.


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