Copulas und Korrelationsasymmetrien Theorie und empirische Analyse am DAX 30 08. Mai 2008

1. Copulas undKorrelationsasymmetrienTheorie und empirische Analyse am DAX 3008. Mai 2008 Jadran Dobrić, Kreditrisiko-Controlling WGZ BANK Gruppe Methoden

2. Inhalt • Einführung in die Copulatheorie • Korrelationsmaße und Copulas • Lineare Korrelation • Spearman‘sche Rangkorrelation • Bedingte Korrelationen • Korrelations-Asymmetrietest • Empirische Untersuchungen der Abhängigkeiten im DAX 30 • Betrachtung der Abhängigkeitsunterschiede zwischen dem Bullen- und Bärenmarkt

3. Empirische DAX 30 BeispieleTägliche Log-Renditen vom 02.03.1992-01.03.2002

4. Allianz AG vs. Münchner Rück AG

5. Allianz AG vs. BASF AG

6. Sklar‘sSeperationstheorem (1959) FX(x1,…,xd)=C(F1(x1),…, Fd(xd)) FX(x1,…,xd) C(u1,…, ud) F1(x1),…, Fd(xd) C(u1,…, ud)=FX(F-11(u1),…, F-1d(ud)) C(u1,…, ud) G1(x1),…, Gd(xd) G(x1,…,xd)

7. Copula Sie ist eine Abbildung C: [0,1]d → [0,1], mit: • Für jedes u [0,1]d gilt C(u)=0, falls mindestens eine Koordinate von u gleich Null ist. • Falls alle Koordinaten, mit Ausnahme von ui , gleich 1 sind, gilt C(u)= ui. • Für alle a=(a1,…,ad) und b=(b1,…,bd) mit ai≤bi, i=1,…,d, gilt VC([a, b])≥0. → D.h. eine d-dimensionale Verteilungsfunktion auf [0,1]d mit uniformen univariaten Randverteilungen

8. Copuladichte • Ist die Copula C d-mal partiell differenzierbar, so gilt • Besitzt FX die Dichte fX , so gilt: →

9. Spezielle Copulas • Die Unabhängigkeitscopula • Die Fréchet-Hoeffding Schranken

10. Bivariate logistische Verteilung

12. Neue bivariate Verteilungsfunktion G

15. Spezielle Copulaklassen Sei φ:[0,1]→[0,∞), so dass für i=1,…,d und t [0,∞), mit φ(1)=0 und φ(0)=∞ gilt, dann ist: eine Archimedische Copula.

16. Clayton Copulafamilie • Gumbel Copulafamilie

17. Elliptische Copulaklasse • Gauss Copula • tν,R-Copula

18. Allianz AG vs. Münchner Rück. AG

19. Allianz AG vs. Münchner Rück. AG

20. Korrelationsmaße und Copulas • Vorteile : • Kompakte Darstellung der Abhängigkeit • Leichte Interpretierbarkeit • Einfache weiterführende Modelleinbindung • Nachteile : • Enormer Informationsverlust • Bezifferung nur einer Art von Abhängigkeit. Missinterpretationen sind möglich • Oft nur globale Korrelationsaussagen • In einigen Fällen nicht definiert

21. Linearer Korrelationskoeffizient nach Bravais Pearson ρBP • Anwendbar nur bei metrisch skalierten Daten • Benötigt die Existenz der Varianzen • |ρBP| misst die Stärke des linearen Zusammenhangs

22. Nicht Randverteilungsfrei • Zulässiger Wertebereich i. A. [-1,1] • Nicht invariant bzgl. monotonen Transformationen

23. Bivariate Farlie Gumbel Morgenstern Familie • Die FGM Verteilung besitzt die Form (|α|<1): • Der lineare Korrelationskoeffizient liegt • bei normalen Randverteilungen bei • bei exponentiellen Randverteilungen bei • und bei uniformen Randverteilungen bei

24. Spearman‘sche Rangkorrelation • Definition: • Interpretationen:

25. Spearman‘sche Korrelation als Distanzmaß

26. Schlußfolgerungen • Existent und Randverteilungsfrei • Da nur von der Copula bestimmt, robust und Invariant bzgl. wachsenden monotonen Transformationen • Mit den meisten Parameter der bivariaten Copulas in Verbindung

27. Einige Schätzfunktionen

28. Asymptotischer Copula-Prozess • GC ist ein zentrierter Gauss-Prozess • BC ist eine d-dimensionale Brown‘sche Brücke

29. Asymptotische Normalität der Schätzfunktion • 9-fache vierdimensionale Integralauswertung notwendig • Aber: Die Bootstrap-Schätzfunktion konvergiert gegen die selbe Zufallsvariable Z !

30. Bedingte Korrelationen Allianz AG vs. BASF AG

31. Die gemeinsame Verteilung von (X,Y) sei mit F und ihre Randverteilungen mit G und H notiert • Der untere Eckbereich sei: • Die bedingte gemeinsame Verteilungen ist

32. Die bedingten Randverteilungen sind: • Sklar‘s Seperationstheorem bzgl. bedingter Verteilungen • Definition der bedingten Korrelation nach Spearman:

33. Es gilt: • Die bedingte Korrelation ρL nach Spearman ist die globale Korrelation ρSP der bedingten Zufallsvariablen. • Es gelten somit alle Aussagen bezüglich des globalen Rangkorrelationskoeffizienten und seiner Schätz-funktionen

34. Nichtparametrische Schätzfunktion

35. Asymptotische Normalität der Schätzfunktion Korrelations-Asymmetrietest

36. Algorithmus: • Berechne und aus den Beobachtungen in und • Erzeuge jeweils NB Bootstrap-Stichproben aus und und errechne die zugehörigen Schätzer der asymptotischen Varianzen für und , in Notation und , der bedingten Korrelationskoeffizienten nach Spearman • Überprüfe die jeweilige Nullhypothese • Verwerfe falls

37. Verwerfe falls und • verwerfe falls gilt, mit α>0 als die Wahrscheinlichkeit des Fehlers erster Art und Φ als Standardnormalverteilung.

38. Allianz AG vs. BASF AG

39. Variable Schwellenwerte (p=q) Allianz AG vs. BASF AG

40. Variable Schwellenwerte (p=q) Allianz AG vs. Münchner Rück. AG

41. Teststatistiken (p=q) Allianz AG vs. BASF AG Allianz AG vs. Münch. Re. AG

42. Gesamt DAX 30 Untersuchung

44. Zeitliche BetrachtungBullen- vs. Bärenumfeld

45. Literaturhinweise • Dobrić, Frahm, Schmid (2008), „Dependence of Stock Returns in Bull and Bear Markets“, to appear in Computational Statistics & Data Analysis. • Nelsen (2006), „An Introduction to Copulas“, Springer. • Embrechts, McNeil und Strautmann (2002), „Correlation and dependence in risk management: properties and pitfalls“, Cambrige University Press. • Juri, Wüthrich (2002), „Copula convergence theorems for tail events“, Insurance: Mathematics and Economics. • McNeil, Frey, Embrechts (2005), „Quantitative Risk Management“, Princeton University Press.

46. Danke für Ihre Aufmerksamkeit !

47. Backup

48. Monte Carlo – Power Simulationsstudie Gauss Clayton

49. Theoretische- vs. Kerndichte Vergleich