第九章

第九章 线形系统的状态空间分析与综合

二、线性系统的可控性与可观测性（1） 现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，这就存在着系统内的所有状态是否可受输入影响和是否可由输出反映的问题，这就是可控性和可观测性问题。如果系统所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意的初态达到原点，则称系统是可控的，或者更确切地是状态可控的。否则，就称系统是不完全可控的，或简称为系统不可控。相应地，如果系统所有状态变量地任意形式的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系统可观测。

二、线性系统的可控性与可观测性（2） 例：给定系统的动态方程为将其表示为标量方程组的形式，有

二、线性系统的可控性与可观测性（3） 这表明状态变量和都可通过选择控制量而由始点达到原点，因而系统完全可控。但是，输出只能反映状态变量，而与状态变量既无直接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。例：下图所示网络，设，输出。

二、线性系统的可控性与可观测性（4） 当且初始状态时，则不论将输入取为何种形式，对于所有，只能是，不可能做到。也就是说，输入能够做到使和同时转移到任意相同的目标值，但不能将和分别转移到不同的目标值。这表明此电路不完全可控，简称电路不可控。由于，故系统可观测。 1、可控性考虑线性时变系统的状态方程

二、线性系统的可控性与可观测性（5） 其中为维状态向量；为维输入向量；为时间定义区间；和分别为和矩阵。现对状态可控、系统可控和不可控分别定义如下：状态可控：对于上式所示线性时变系统，如果对取定初始时刻的一个非零初始状态，存在一个时刻和一个无约束的容许控制，使状态由转移到时的，则称此是在时刻可控的。

二、线性系统的可控性与可观测性（6） 系统可控：对于上式所示线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在时刻可控的，则称系统在时刻是完全可控的，简称系统在时刻可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。系统不完全可控：对于上式所示线性时变系统，取定初始时刻，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻是不可控的，则称系统在时刻是不完全可控的，也称为系统是不可控的。可控性是表征系统状态运动的一个定性特性。必须是容许控制，即的每个分量均在时间区间上平方可积，即

二、线性系统的可控性与可观测性（7） 此外，对于线性时变系统，其可控性与初始时刻的选取有关，是相对于中的一个取定时刻来定义的。而对于线性定常系统，其可控性与初始时刻的选取无关。状态与系统可达：若存在能将状态转移到的控制作用，则称状态是时刻可达的。若对所有时刻都是可达的，则称状态为完全可达或一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻可达的，则称该系统是时刻状态完全可达的，或简称该系统是时刻可达的。对于线性定常连续系统，可控性与可达性是等价的。但对于离散系统和时变系统，严格地说两者是不等价的。

二、线性系统的可控性与可观测性（8） 2、可观测性可观测性表征状态可由输出完全反映的性能，所以应同时考虑系统的状态方程和输出方程其中，分别为的满足状态方程解的存在惟一性条件的时变矩阵。状态方程的解为

二、线性系统的可控性与可观测性（9） 其中为系统的状态转移矩阵。将上式代入输出方程，可得输出响应为若定义则输出响应可写为这表明可观测性即是可由完全估计的性能。由于和可取任意值，所以这又等价于研究时由来估计的可能性，即研究零输入方程

二、线性系统的可控性与可观测性（10） 的可观测性。输出响应成为下面给出系统可观测性的有关定义。系统完全可观测：对于线性时变系统，如果取定初始时刻，存在一个有限时刻，对于所有，系统的输出能惟一确定状态向量的初值，则称系统在内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切系统都是可观测的，则称系统在内完全可观测。

二、线性系统的可控性与可观测性（11） 系统不可观测：对于线性时变系统，如果取定初始时刻，存在一个有限时刻，对于所有，系统的输出不能惟一确定所有状态的初值，即至少有一个状态的初值不能被确定，则称系统在时间区间内是不完全可观测的，简称不可观测。 3、线性定常连续系统的可控性判据考虑线性定常连续系统的状态方程其中为维状态向量；为维输入向量；和分别为和常阵。

二、线性系统的可控性与可观测性（12） 下面根据和给出系统可控性的常用判据。格拉姆矩阵判据线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是，存在时刻，使如下定义的格拉姆矩阵：为非奇异。格拉姆矩阵判据主要用于理论分析。线性定常连续系统可控性的常用判据是直接由矩阵和判断可控性的秩判据。凯莱－哈密顿定理设阶矩阵的特征多项式为

二、线性系统的可控性与可观测性（13） 则满足其特征方程，即推论1矩阵的次幂可表示为的阶多项式推论2 矩阵指数可表示为的阶多项式秩判据线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是其中为矩阵的维数，称为系统的可控性判别阵。

二、线性系统的可控性与可观测性（14） 例：桥式网络如图所示，试用可控性判据判断其可控性。解：该桥式电路的微分方程为选取状态变量，消去，可得状态方程

二、线性系统的可控性与可观测性（15） 其可控性矩阵为

二、线性系统的可控性与可观测性（16） 当时，，系统可控。当电桥处于平衡状态，即时，及成立，这时状态方程变为

二、线性系统的可控性与可观测性（17） 可控性矩阵为，系统不可控，不能控制，是不可控状态变量。例：判别下列系统的可控性：

二、线性系统的可控性与可观测性（18） 解可控性判别矩阵为显见矩阵的第二行与第三行线性相关，，系统不可控。 PBH秩判据线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是，对矩阵的所有特征值，均成立，或等价地表示为即和是左互质的。

二、线性系统的可控性与可观测性（19） 由于这一判据是由波波夫和贝尔维奇首先提出，并由豪塔斯最先指出其可广泛应用性，故称为PBH秩判据。例：已知线性定常系统的状态方程为试判别系统的可控性。解：根据状态方程可写出

二、线性系统的可控性与可观测性（20） 考虑到的特征值为，所以只需对它们来检验上述矩阵的秩。通过计算知，当时，有

二、线性系统的可控性与可观测性（21） 当时，有当时，有计算结果表明，系统完全可控。

二、线性系统的可控性与可观测性（22） PBH特征向量判据线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是，不能有与的所有列相正交的非零左特征向量。即对的任一特征值，使同时满足的特征向量。一般地说，PBH特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性系统的复频域分析中。约当规范型判据线性定常连续系统完全可控的充分必要条件分两种情况： 1）矩阵的特征值是两两相异的。

二、线性系统的可控性与可观测性（23） 由线性变换可将状态方程变为对角线规范型则系统完全可控的充分必要条件是，在上式中，不包含元素全为零的行。 2）矩阵的特征值为，且。

二、线性系统的可控性与可观测性（24） 由线性变换化为约当规范型其中

二、线性系统的可控性与可观测性（25） 而，由的最后一行所组成的矩阵对均为行线性无关。

二、线性系统的可控性与可观测性（26） 4、输出可控性如果系统需要控制的是输出量而不是状态，则需研究系统的输出可控性。输出可控性：若在有限时间间隔内，存在无约束分段连续控制函数，能使任意初始输出转移到任意最终输出，则称此系统是输出完全可控，简称输出可控。输出可控性判据设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为

二、线性系统的可控性与可观测性（27） 式中，为维输入向量；为维输出向量；为维状态向量。状态方程的解为则输出不失一般性，令，有

二、线性系统的可控性与可观测性（28） 令，则

二、线性系统的可控性与可观测性（29） 令为矩阵，称为输出一矩阵。输出可控的充分必要条件是，输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数，即注意：状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者没有什么必然的联系。

二、线性系统的可控性与可观测性（30） 例：已知系统的状态方程和输出方程为试判断系统的状态可控性和输出可控性。解：系统的状态可控性矩阵为，故状态不完全可控。

二、线性系统的可控性与可观测性（31） 输出可控性矩阵为，输出可控。 5、线性定常连续系统的可观测性判据考虑输入时系统的状态方程和输出方程其中，为维状态向量；为维输出向量；和分别为和的常值矩阵。

二、线性系统的可控性与可观测性（32） 格拉姆矩阵判据线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是，存在有限时刻，使如下定义的格拉姆矩阵：为非奇异。秩判据线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是

二、线性系统的可控性与可观测性（33） 或上两式中的矩阵均称为系统可观测性判别阵，简称可观测性阵。例：判断下列系统的可观测性： 1） 2）

二、线性系统的可控性与可观测性（34） 解：1）故系统不可观测。 2）故系统可观测。

二、线性系统的可控性与可观测性（35） PHB秩判据线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是，对矩阵的所有特征值，均有或等价地表示为也即和是右互质的。

二、线性系统的可控性与可观测性（36） PBH特征向量判据线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是，没有与的所有行相正交的非零右特征向量。即对的任一特征值，使同时满足的特征向量。约当规范型判据线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件分两种情况： 1）当矩阵的特征值两两相异时，由线性变换导出的对角线规范型为

二、线性系统的可控性与可观测性（37） 式中不包含元素全为零的列。 2）当矩阵的特征值为，且时，对原式进行线性变换导出的约当规范型为其中

二、线性系统的可控性与可观测性（38）

二、线性系统的可控性与可观测性（39） 且，由的第一列所组成的矩阵对均为列线性无关。例：已知线性定常系统的对角线规范型为试判定系统的可观测性。解：显然，此规范型中不包含元素全为零的列，故系统为完全可观测。

二、线性系统的可控性与可观测性（40） 6、线性离散系统的可控性和可观测性（1）线性离散系统的可控性和可达性设线性时变离散时间系统的状态方程为其中为离散时间定义区间。如果对初始时刻和状态空间中的所有非零状态，都存在时刻，和对应的控制，使得，则称系统在时刻为完全可控。对应地，如果对初始时刻和初始状态，存在时刻和相应的控制，使可为状态空间中的任意非零点，则称系统在时刻为完全可达。

二、线性系统的可控性与可观测性（41） 对于离散系统，不管是时变的还是定常的，其可控性和可达性只有在一定条件下才是等价的。其等价的条件分别为 1）线性离散时间系统的可控性和可达性为等价的充分必要条件是，系统矩阵对所有为非奇异； 2）线性定常离散时间系统可控性和可达性等价的充分必要条件是系统矩阵为非奇异。 3）如果离散时间系统是相应连续时间系统的时间离散化模型，则其可控性和可达性必是等价的。

二、线性系统的可控性与可观测性（42） 线性定常离散系统的可控性判据设单输入线性定常离散系统的状态方程为其中为维状态向量；为标量输入；为非奇异矩阵。状态方程的解为根据可控性定义，假定时，，将上式两端左乘，则有

二、线性系统的可控性与可观测性（43） 记称为可控性矩阵。由线性方程组解的存在定理可知，当矩阵的秩与增广矩阵的秩相等时，方程组有解且为惟一解，否则无解。在为任意的情况下，使方程线有解的充分必要条件是矩阵满秩，即

二、线性系统的可控性与可观测性（44） 或矩阵的行列式不为零或矩阵是非奇异的。由于满秩矩阵与另一满秩矩阵相乘其秩不变，故交换矩阵的列，且记为，其秩也不变，故有在判断系统的可控性时，使用上式比较方便。上面四式即为可控性判据。

二、线性系统的可控性与可观测性（45） 当时，系统不可控，表示不存在使任意转移至的控制。以上研究了终态为的情况，若令终态为任意给定状态，则状态方程的解变为将上式两端左乘，有

二、线性系统的可控性与可观测性（46） 当满秩时，前式左端只不过是任一给定的另一初态，其状态可控性条件可用以上推导方法得出完全相同的结论。若令，上述结论同样成立。可见，当为非奇异阵时，系统的可控性和可达性是等价的。上述研究单输入离散系统可控性的方法可推广到多输入系统。设系统的状态方程为所谓可控性问题，即是能否求出无约束控制向量序列，使系统能从任意初态转移至。上式的解为

二、线性系统的可控性与可观测性（47） 令，且方程两端左乘，有记为矩阵，由子列向量构成的控制列向量是维的。上式含个方程，但有个待求的控制量。

二、线性系统的可控性与可观测性（48） 由于初态可任意给定，根据解存在定理，矩阵的秩为时，方程组才有解。于是多输入线性离散系统状态可控的充分必要条件是或或或或

二、线性系统的可控性与可观测性（49） 例：双输入线性定常离散系统的状态方程为试判断可控性，并研究使的可能性。解：显然，由前三列组成的矩阵的行列式不为零，故系统可控。

第九章

第九章

Presentation Transcript