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线性代数 总复习

线性代数 总复习. 一、行列式. 会用其性质与展开式定理. 要求 ：理解行列式的概念，. 计算低阶及特殊的行列式。. 两个定义：. n 阶行列式 ; n 阶方阵行列式. 注：行列式是一个算式，. 它表示由 n 2 个数. 按照下列规则运算所得到的一个数。. 两个重要概念：. 余子式和代数余子式. （项数、乘积项、符号）. 1 、 定义. 2 、 结论 ：上（下）三角行列式的值 = 对角线上元素之积. 3 、 性质. 是计算行列式的中心环节，性质 5 用的较多。. 利用性质将行列式化为三角形行列式，然后计算是. 计算行列式的重要方法。.

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线性代数 总复习

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Presentation Transcript

  1. 线性代数 总复习

  2. 一、行列式 会用其性质与展开式定理 要求：理解行列式的概念， 计算低阶及特殊的行列式。 两个定义： n阶行列式;n阶方阵行列式. 注：行列式是一个算式， 它表示由n2个数 按照下列规则运算所得到的一个数。 两个重要概念： 余子式和代数余子式

  3. （项数、乘积项、符号） 1、定义 2、结论：上（下）三角行列式的值=对角线上元素之积 3、性质 是计算行列式的中心环节，性质5用的较多。 利用性质将行列式化为三角形行列式，然后计算是 计算行列式的重要方法。 4、特殊关系式

  4. 5、展开定理

  5. 计算下列行列式 例题1---行列式1 解 r2-2r1 r4-100r2 r4-r1

  6. 例题1---行列式2 计算下列行列式 2）设行列式 解

  7. 计算下列行列式 例题1---行列式3 解

  8. 例题1---行列式4,5 计算 解方程 此为范德蒙行列式

  9. 例题1---行列式6

  10. 例题1---行列式7 计算下列行列式 解

  11. 二、矩阵 矩阵是线性代数中最基本的概念之一， 它贯穿于 全书的各个方面，因而把代数称为矩阵代数。 主要内容： 矩阵的概念、运算、初等变换、秩、逆矩阵 分块矩阵、利用逆矩阵求解线性方程组。 1、定义 由m×n个数 (i=1,2, …,m ; j=1,2, …,n) 排成的m行n列数表 称为一个m行n列矩阵， 简称为m×n矩阵，

  12. 零矩阵、n阶方阵、行（列）矩阵、 特别： n阶对角阵、三角阵、单位阵。 2、 矩阵的线性运算 若 与

  13. 转置矩阵的运算律 (1) (2) (3) (4)

  14. 若 若 特殊矩阵： A为n阶对称矩阵 A为n阶反对称矩阵 阶梯阵A与行最简阶梯阵B: B中某个阶梯上的 1、每个阶梯只占一行 第一个数都是1， 2、每个阶梯使第一个数非零 这些1所在列其它元素 3、阶梯的左下方每个元素为零 全为零。

  15. 3、可逆矩阵的定义 定义 中若存在方阵B, 使 则称A是可逆方阵,则B是A的一个逆矩阵,记为 一般来说 可能有

  16. n 阶方阵A可逆的充要条件 n 阶方阵A可逆 即齐次线性方程组仅有零解。

  17. 4、可逆矩阵的性质 设A、B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则

  18. 5、求方阵A的逆矩阵的方法 特别：

  19. 相当于对 A作初等行 用初等方阵左（右）乘 A， 6、矩阵的初等变换 共三种 7、初等方阵 互换阵 倍加阵 倍乘阵 （列）变换得到的矩阵，

  20. 8、初等矩阵 1、阶梯形矩阵； 2、行最简形矩阵； 3、矩阵A的标准形； 则 设 2）初等矩阵都可逆； 3）初等矩阵与初等变换的关系

  21. 9、矩阵的秩 1、R（A）：A的不等于0的子式的最大阶数。 2、秩的基本关系式： 3、关于秩的重要结论：

  22. 10、秩的求法： 1) R（A）：A的不等于0的子式的最大阶数； 2）初等变换法： R（A）= T的阶梯数； 3）若P可逆，则 常需先验证P可逆。

  23. 例题1 ---(矩阵1) e 2 设 A、B都是 n 阶方阵，则

  24. 例题2---(逆阵1) 解 1

  25. 例题3---(逆阵2) 解 2）

  26. 例题3---(逆阵3) 3、设方阵A满足2A2-5A-8E = 0，证明 A-2E可逆， 分析 关键：寻求方阵 B，使（A-2E）B = E 解 原式可写为

  27. 例题5---(逆阵4) 4、 已知 解

  28. 4 例题6---矩阵方程 设矩阵X满足：AXB = XB+C，求X，其中 解 由已知，得 AXB –XB = C， 则得 显然A-E、B均可逆，并且

  29. 例题4---(逆阵3) 3、设方阵 A满足2A2-5A-8E = 0，证明 A-2E可逆， 分析 关键：寻求方阵 B，使（A-2E）B = E 解法1 原式可写为 解法2 令 C = A-2E，则得A=C+2E，代入得 得 C*B=E， 则C-1=B

  30. 设矩阵X满足 求X，其中 4 例题7---矩阵方程 两边左乘A则得 解

  31. 例题8---矩阵的秩 R(A) = 2

  32. 设A、B分别是5阶、3阶方阵，且 例题9---矩阵 求 解

  33. 分块矩阵

  34. 分块对角阵及其性质 其中 均为方阵。

  35. 可逆时， 2、 3、 4、 5、 则A可逆，且

  36. 三、向量组的线性相关性 学生应正确理解线性表示、相关性、极大无关组、 秩的定义。 充分注意命题及其逆命题的叙述与应用。 n元行（列）向量可以看作行（列）矩阵。 向量的相等、加减与数乘、负向量、零向量、转置 的定义与矩阵的相应概念的定义和方法完全一致。

  37. 关键：存在某组不全为 使（2）成立。 向量1---定义1 定义1 推论：

  38. 关键：存在某组 使（1）成立， 向量1---定义2 定义2 是否非零无要求

  39. 向量1---定义3 定义3 定义4向量组的表示、等价

  40. 定理1 向量2---定理1、2、3、4 关键：至少有一个，但不能保证是哪一个。 定理2 定理3秩（A）=A的列向量组的秩=A行向量组的秩 定理4矩阵的初等行变换不改变列向量组的线性关系。 注意：求极大无关组、讨论线性表示主要用此方法； 讨论线性相关性、求秩也可用此方法。

  41. 定理5 向量2---定理5、6 数字型 定理6 数字型

  42. 向量3---性质1、2、3、4 性质1 性质2 性质3 性质4等价的向量组的秩相等； 等价的线性无关组所含的向量个数相等。

  43. 判别 向量4---例题1

  44. 向量4---例题1

  45. 向量4---例题2 选择 DF

  46. 向量4---例题2 选择 BC

  47. 向量---例题3 设 求 的一个最大线性无关组， 并将其余向量用此线性无关组线性表示。 解

  48. 向量---例题3(续) 所以 的一个最大线性无关组为： 其余向量由此最大无关组表示为：

  49. 向量4---例题4 因为行列式 解 1) 所以当b=3或b=1时，D=0，线性相关； 否则线性无关。

  50. 向量4---例题4（续） 解 2） 因为

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