一、复系数多项式
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第八节 复系数与实系数多项式的 因式分解 PowerPoint PPT Presentation


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一、复系数多项式. 二、实系数多项式. 第八节 复系数与实系数多项式的 因式分解. 若 则 在复数域. 上必有一根.. 若. 则存在. 在复数域上必有一个一次因式.. 使. 即,. 一、复系数多项式. 1. 代数基本定理. 推论 1 ( 代数基本定理的等价叙述 ). 则   可约.. 若 则 在复数域. 上可唯一分解成一次因式的乘积.. 推论 2. 复数域上的不可约多项式只有一次多项式,即. 2. 复系数多项式因式分解 定理.

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第八节 复系数与实系数多项式的 因式分解

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Presentation Transcript


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一、复系数多项式

二、实系数多项式

第八节 复系数与实系数多项式的因式分解


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若 则 在复数域

上必有一根.

则存在

在复数域上必有一个一次因式.

使

即,

一、复系数多项式

1.代数基本定理

推论1(代数基本定理的等价叙述)


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则   可约.

若 则 在复数域

上可唯一分解成一次因式的乘积.

推论2

复数域上的不可约多项式只有一次多项式,即

2. 复系数多项式因式分解定理


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若 则 在

其中 是不同的复数,

若 ,则 有n个

推论1

上具有标准分解式

推论2

复根(重根按重数计算).


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命题:若 是实系数多项式 的复根,则

的共轭复数 也是 的复根.

若 为根,则

∴ 也是为 复根.

二、实系数多项式

证:

两边取共轭有


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设 ,由代数基本定理, 有一复根 .

      ,若 ,则 可唯一

地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.

若 为实数,则 ,其中

证:对 的次数作数学归纳.

①时,结论显然成立.

实系数多项式因式分解定理

② 假设对次数<n的多项式结论成立.


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由归纳假设 、 可分解成一次因式与二次

从而

设 ,则

若 不为实数,则 也是 的复根,于是

即在R上     是一个二次不可约多项式.

不可约多项式的乘积.

由归纳原理,定理得证.


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在R上具有标准分解式

其中

且   ,即 为

推论1

R上的不可约多项式.


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实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二

次不可约多项式,所有次数 3的多项式皆可约.

推论2


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(1)

(2)

(1)

分别在实数域与复数域上分解因式

例1


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在实数域上的分解式为:

所以,

在复数域上的分解式为:


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在实数域与复数域上的分解式分别为:

所以,

(2)


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例2

分别求以1,1,-2,3+i,,1-i为根的次数最低的复

系数和实系数多项式.

(1) 所求的复系数多项式为

(2) 因实系数多项式以3+i,,1-i为根,故3-i,,1+i也是

所求多项式的根,所以所求多项式至少有7个根.分别为:

1,1,-2,3+i,3-i,1+I,1-i.


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从而,所求多项式为


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定义1

多项式

在复数域上的任一根都称为

n 次单位根.

 事实上,在复数范围内 的n个复根为

这里

附:单位根、单位原根


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定义2若

是 的全部根,

则称 为n 次单位原根(简称原根).也就是说

的任一根,都可经 表示.

易知如下性质:


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例3 (1)求 在 上与在 上的标准分解式.

(2)求 在 上与在 上的标准分解式.

(3) 给出

在 上与在 上的标准分解式.


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其中

  • 在复数范围内 有n个复根,

(3)

  • 在实数域范围内


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∴ 当n为奇数时


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当n为偶数时


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的n个根是

附:(根与系数的关系)

设n次多项式

则有

这个定理称为韦达定理.


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试求 的所有根.

还有根-2+i,

设 的第三根

从而,

所以,所求 的所有根为

已知多项式

例4

有一根-2+i,

因实系数多项式有一虚根-2+i,根据实系数多项式

的虚根成对定理,

则有韦达定理有:


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