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一、复系数多项式. 二、实系数多项式. 第八节 复系数与实系数多项式的 因式分解. 若 则 在复数域. 上必有一根．. 若. 则存在. 在复数域上必有一个一次因式．. 使. 即，. 一、复系数多项式. 1. 代数基本定理. 推论 1 （ 代数基本定理的等价叙述 ）. 则 可约．. 若 则 在复数域. 上可唯一分解成一次因式的乘积．. 推论 2. 复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即. 2. 复系数多项式因式分解 定理.
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一、复系数多项式 二、实系数多项式 第八节 复系数与实系数多项式的因式分解
若 则 在复数域 上必有一根． 若 则存在 在复数域上必有一个一次因式． 使 即， 一、复系数多项式 1.代数基本定理 推论1（代数基本定理的等价叙述）
则 可约． 若 则 在复数域 上可唯一分解成一次因式的乘积． 推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即 2. 复系数多项式因式分解定理
若 则 在 其中 是不同的复数， 若 ，则 有n个 推论1 上具有标准分解式 推论2 复根（重根按重数计算）．
设 命题：若 是实系数多项式 的复根，则 的共轭复数 也是 的复根． 若 为根，则 ∴ 也是为 复根． 二、实系数多项式 证： 两边取共轭有
设 ，由代数基本定理, 有一复根 ． ，若 ，则 可唯一 地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积． 若 为实数,则 ，其中 证：对 的次数作数学归纳． ①时，结论显然成立. 实系数多项式因式分解定理 ② 假设对次数<n的多项式结论成立．
由归纳假设 、 可分解成一次因式与二次 从而 设 ，则 若 不为实数，则 也是 的复根，于是 即在R上 是一个二次不可约多项式． 不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证．
在R上具有标准分解式 其中 且 ，即 为 推论1 R上的不可约多项式.
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数 3的多项式皆可约. 推论2
(1) (2) 解 (1) 分别在实数域与复数域上分解因式 例1
在实数域上的分解式为: 所以, 在复数域上的分解式为:
在实数域与复数域上的分解式分别为: 所以, (2)
例2 分别求以1，1，-2，3+i,，1-i为根的次数最低的复 系数和实系数多项式. 解 (1) 所求的复系数多项式为 (2) 因实系数多项式以3+i,，1-i为根,故3-i,，1+i也是 所求多项式的根,所以所求多项式至少有7个根.分别为: 1，1，-2，3+i，3-i，1+I，1-i.
定义1 多项式 在复数域上的任一根都称为 n 次单位根. 事实上,在复数范围内 的n个复根为 这里 附：单位根、单位原根
定义2若 是 的全部根， 则称 为n 次单位原根（简称原根）.也就是说 的任一根，都可经 表示. 易知如下性质:
例3 (1)求 在 上与在 上的标准分解式. (2)求 在 上与在 上的标准分解式. （3） 给出 在 上与在 上的标准分解式. 解
其中 ∴ • 在复数范围内 有n个复根， ∵ （3） • 在实数域范围内
的n个根是 附:(根与系数的关系) 设n次多项式 则有 这个定理称为韦达定理.
试求 的所有根. 还有根-2+i, 设 的第三根 为 从而, 所以,所求 的所有根为 已知多项式 例4 有一根-2+i， 解 因实系数多项式有一虚根-2+i,根据实系数多项式 的虚根成对定理, 则有韦达定理有:
