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幂级数与 Taylor 展开

级数. 幂级数与 Taylor 展开. 幂级数的意义和定义. Taylor 公式的“极限”形式 级数理论的初始问题之一 具有广泛的应用 幂级数 定义：一般项 为的函数项级数 , 即 , =R=(-,) 有时为记号的便利：取 , 也就是讨论级数. 多元幂级数. 复数域 ( 平面 ): n 维欧氏空间 R n 方阵值的幂级数： 这里不讨论这几种形式的幂级数 . 幂级数的收敛特性. 若幂级数 在 x 0 0 处收敛 , 则它在任何

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幂级数与 Taylor 展开

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Presentation Transcript

  1. 级数 幂级数与 Taylor展开

  2. 幂级数的意义和定义 • Taylor公式的“极限”形式 • 级数理论的初始问题之一 • 具有广泛的应用 • 幂级数 定义：一般项 为的函数项级数,即 , =R=(-,) • 有时为记号的便利：取,也就是讨论级数

  3. 多元幂级数 • 复数域(平面): • n维欧氏空间Rn • 方阵值的幂级数： • 这里不讨论这几种形式的幂级数.

  4. 幂级数的收敛特性 • 若幂级数 在x00处收敛, 则它在任何 闭区间[-|x0|+,|x0|-] ((0,|x0|)上一致收敛. • 证明: 由 , 存在正常数M, 因此, 任取(0,|x0|), x[-|x0|+,|x0|-] Weierstrass优级数判别法给出结论.#

  5. 幂级数收敛域的特点 • 幂级数 的收敛域一定是下列形 式之一: (1) 单点集{a}; (2) 以a为心, 以r>0为 半径区间(r-a,r+a), r-a, r+a可能在也可能不在 收敛域中; (3) 整个实数集R=(-,) • 幂级数的收敛半径r：(1) r=0, (3) r= 

  6. 幂级数的例子 • 几何级数： • 指数函数：

  7. 收敛半径的计算 • Cauchy-Hadamard (Hadmard, 1865-1863) 对于幂级数 , 若 则其 收敛半径 证明：这是跟着判敛法的直接推论#

  8. 计算收敛半径的比值法 • 若极限 存在，则幂级数 得收敛半径 证明：这是比值判敛法的直接推论#

  9. 幂级数的微积分性质 • 设幂级数 的收敛半径r>0, 则函数 在 上具有任意阶导数(收敛半径还是r) 且 另外还可逐项积分(收敛半径还是r) :

  10. Abel定理 • 设幂级数 的收敛半径r(0,). 则它在[0,r)上一致收敛当且仅当在x=r点收敛. • 证明：条件的必要性是极限定理的推论。 • 下面来证明条件: “在x=r点收敛”的充分性， 对于x[0,r], 讲幂级数写成如下形式 由一致收敛的Abel判别法就得到结论#

  11. 函数的Taylor展开 • 设函数在 上有定义, 如果 存在幂级数 满足 就说在a点能展成幂级数, 也称在a点实解析, 而幂级数 称为在a点的展开式.

  12. 幂级数展开式 • 若在a点能展成幂级数 , 则在a 点由任意阶导数并且 证明: 这是幂级数微分性质的直接推论# • Taylor展开式: 若 称幂级数 为在a点的Taylor展开式.

  13. 无穷阶可导未必可展成幂级数 • 例子：

  14. Taylor展开式和Maclaurin展开式 • Taylor展开式: 若 称幂级数 为在a点的Taylor展开式. • Maclaurin展开式：a=0时的Taylor展开式称 为Maclaurin展开式.

  15. 几个函数的Taylor展开式 • 指数函数 • 正弦函数 • 余弦函数 • 对数函数

  16. 几个函数的Taylor展开式(续) • 反正切函数： • 证明： • 指数函数、正弦函数和余弦函数利用Taylor公式； • 对数函数和反正切函数利用几何级数及幂级数的逐项积分性质# • 问题：反正弦函数arcsin x 呢？

  17. Taylor公式复习 • 设 则xI(a, )存在=(x),1), 其中

  18. Taylor余项的积分形式 • 设 则xI(a, ), Taylor公式 的余项可以写成如下积分形式 证明：对n作归纳法. n=1时, 这就是微积分基本定理:

  19. Taylor余项的积分形式(续1) 设n=k时结论成立. 当n=k+1时. 利用k时的结 果

  20. Taylor余项的积分形式(续2) 注意 所以

  21. Taylor余项的积分形式(续3) 所以 因此

  22. 二项式函数的Taylor展开式 • 二项式函数： • n阶导数：

  23. 二项式级数的收敛域 • 考虑级数 ,由比值公式计算收敛半径 收敛域包含区间(-1,1)

  24. 二项式级数收敛区间的端点 • 对级数 和 使用Raabe判敛法 >0时, 在两个端点上都收敛; -1<<0时, 第一 个收敛, 第二个发散; -1时, 都发散.

  25. 二项式函数展开式(续1) • 对 的估计：存在正常数A()<B()， • 证明: <0时,

  26. 二项式函数展开式(续2) • >0时, • 由Stirling公式, 当n>时,

  27. 二项式函数展开式(续3) • 而 • 只要注意到下面的极限就可得到结论了

  28. 二项式函数展开式的余项估计 • 二项式函数的Maclaurin展开的n阶余项

  29. 二项式函数的余项估计(续1) • 作变量替换:

  30. 二项式函数的余项估计(续2) • 所以有n阶余项估计

  31. 二项式函数展开式的结论 • R\N: • >0时: • -1<<0时: • -1时:

  32. 反正弦的Taylor展开式 • 利用反正弦函数的导数公式 • 由二项式函数展开式, x(-1,1),

  33. 反正弦的Taylor展开式(续) • 两边由0至x积分就有 这里用到了

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