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Moneta testa croce

Moneta testa croce. Lancio moneta casuale (1 = testa T, 2 = croce C). Nel lancio casuale di una moneta si possono avere due esiti testa T o croce C. La probabilità per uscita testa pT è uguale alla probabilità uscita croce pC. pT = 1 / 2 = 0.5 pC = 1 /2 = 0.5.

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Moneta testa croce

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Presentation Transcript

  1. Monetatesta croce Lancio moneta casuale (1 = testa T, 2 = croce C)

  2. Nel lancio casuale di una moneta si possono avere due esiti testa T o croce C La probabilità per uscita testa pT è uguale alla probabilità uscita croce pC pT = 1 / 2 = 0.5 pC = 1 /2 = 0.5 Lanciando poche volte una moneta, gli esiti T o C possono non rispettarele probabilità teoriche: aumentando il numero di lanci anche gli esitirisultanti si avvicinano alle probabilità teoriche ( legge grandi numeri)

  3. Lancio moneta per 20 volte (4 prove)

  4. Lancio moneta per 20 volte (3 prove) Lancio moneta per 200 volte (3 prove)

  5. Esiti possibili con tre lanci di unica monetaTTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CCT, CTC, CCC T,C T,C T,C Esiti possibili con un lancio di tre monete TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CCT, CTC, CCC T, C T, C T, C Esempi con calcolo probabilità teorico e concreto in funzione del numero di prove

  6. Una moneta lanciata 3 volte : esiti possibili per ogni lancio (T,C) Esiti possibili con tre lanci (8)TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CCT, CTC, CCC Calcola probabilità di uscita di solo 2 teste E1 = uscita solo di 2 teste (TTC, TCT, CTT) = 3 E1 = Dn,k =n^k = 2^3 =8 Disposizioni con ripetizione P(E1)= 3 / 8 = 0.37 TTC,TCT,CTT

  7. Una moneta lanciata 3 volte ( 20 prove) Solo 2 teste : 7 / 20 = 0.35 ≠ 0.37

  8. Lancio contemporaneo di 3 monete (T,C) Calcolare probabilità uscita 1 croce 2 teste 2 oggetti (T,C) classe tre a tre, con ripetizione Dn.k = 2^3 = 8 Esiti possibili con tre lanci (8)TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CCT, CTC, CCC E1 = uscita 1 C, 2 T P(E1)= 3 / 8 = 0.37 TTC, TCT, CTT

  9. Lancio contemporaneo di tre monete (testa,croce) E1 = uscita una croce e due teste Calcolare probabilità di E1 Eventi possibili = disposizioni con ripetizione Dn,k = D 2,3 = 2^3 = 8 Eventi favorevoli TTC, CTT, TCT = 3 p(E1) = Ef / Ep = 3 /8

  10. Tre monete lanciate insieme (20 prove) 1^ 2^ 3^ 1 C e 2 T = 7 /20 = 0.35 ≠ 0.37

  11. Lancio contemporaneo di 3 monete (T,C) Calcolare probabilità uscita di almeno una testa 2 oggetti (T,C) classe tre a tre, con ripetizione Dn.k = 2^3 = 8 Esiti possibili lancio tre monete (8)TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CCT, CTC, CCC P(E1)= 7 / 8 = 0.87 E1 = uscita almeno una testa

  12. Tre monete insieme (20 prove) Almeno 1 testa : 18 /20 =0,9 # 0.87

  13. Lancio moneta per 4 volte: S = (T,C) = 2 Calcolare probabilità uscita di solo 2 teste TTTTTTTCTTCCTCCC CCCCCCCTCCTTCTTT TCTCTCCTCTCTCTTC TCTTTTCTCTCCCCTC E1 = solo 2 teste P(E1) = 6 /16 = 3 / 8 = 0.37 Eventi possibili (disposizioni con ripetizione)Dn,k = 2^4 = 16

  14. Una moneta e 4 lanci ( o 4 monete e unico lancio):20 prove Solo 2 teste : 8 / 20 = 0.4 ≠ 0.37

  15. Lancio di due monete in successione (s)lancio di due monete insieme (i)può uscite testa T o croce CCampioni T, Cesiti possibili TT, TC , CT, CCspazio esiti per una sola moneta S1 = [T,C]spazio esiti Ss = [TT,TC, CT, CC]spazio esiti Si = [TT,TC,CC] Lancio prima moneta Diagramma ad albero Ss Lancio seconda moneta T T P(TT)=1/4 T T C P(TC)=1/4 T C P(CT)=1/4 T C T C P(CC) = 1/4 C C C

  16. Lancio di due monete in successione (s)lancio di due monete insieme (i)può uscite testa T o croce CCampioni T, Cesiti possibili TT, TC , CT, CCspazio esiti per una sola moneta S1 = [T,C]spazio esiti Ss = [TT,TC, CT, CC]spazio esiti Si = [TT,TC,CC] Lancio prima moneta Diagramma ad albero Ss Lancio seconda moneta T T P(TT)=1/4 T T C P(TC o CT)=1/2 T C P(CT o TC)=1/2 T C T C P(CC) = 1/4 C C C

  17. lancio di due monete insieme (i)può uscite testa T o croce CCampioni T, Cesiti possibili TT, TC , CCspazio esiti per una sola moneta S1 = [T,C]spazio esiti Si = [TT,TC,CC] Diagramma ad albero Si T T P(TT)=1/3 T C P(TC ))=1/3 C C P(CC) = 1/3 Lancio monete insieme

  18. Lancio di tre monete in successione Spazio campioni per una moneta S1 = (T,C) P(nessuna C)=1/8 TTT P(almeno 1 C)= 7/8 TTC TCT P(almeno 2 C) =4/8=1/2 TCC CTT P(nessuna T)=1/8 CTC CCT P(almeno 1 T)= 7/8 CCC Prima moneta Spazio campioni S=[TTT.TTC.TCT.TCC.CTT.CTC.CCT.CCC] Seconda moneta Terza moneta Esiti possibili 8

  19. Lancio di tre monete insieme Spazio campioni per una moneta S1 = (T,C) P(nessuna C)=1/6 TTT P(almeno 1 C)= 5/6 TTC TCT P(almeno 2 C) =3/6=1/2 TCC CTC P(nessuna T)=1/6 CCC P(almeno 1 T)= 5/6 Prima moneta Spazio campioni S=[TTT.TTC.TCT.TCC.CTC.CCC] Seconda moneta Terza moneta Esiti possibili 6

  20. In un contenitore, opaco, ci sono 10 monete:sette da 100 lire, due da 50 lire , una da 20 lire È sempre certa la estrazione di una monetaè decrescente la probabilità di estrarre unadeterminata moneta P100 > P 50 > P20manca la possibilità che venga estratta unamoneta diversa da 100, 50, 20 PC = 10/10 = 1 massima probabilitàP100 = 7/10 = 0.7 P50 = 2/10 = 0.2 P20 = Px = 0/10 = 0

  21. Lancio contemporaneo di tre monete (testa/croce) Probabilità che escano insieme almeno 2 croci ? testa croce TTT CCC TCT CTC TCC CTT Eventi possibili = 8eventi favorevoli (CC, CCC) = 4probabilità = 4 /8 = 0.5 TTC CCT

  22. Una moneta (testa T, croce C) viene lanciata per tre volteeventi possibili (TTT,CCC, TTC,TCT,CTT, TCC,CCT, CTC) = 8 E1 =(CCC,CTT,CCT, CTC) = 4 E2 =(TTT, TTC,CTT, TCT) = 4 E =(CTT) = 1 pE = 1 /8 E1 = C ( il primo lancio mostra croce)E2 = TT?( si mostrano almeno 2 testa) E = E1 E2 ∩ Primo lancio C e si presentano almeno 2 T pE1 = 4 /8 = 1/2 pE2 = 4 / 8 = 1 /2 pE1 * pE2 = ¼ <> 1/8 : gli eventi non sono indipendenti

  23. Rapporto tra probabilità composta e condizionata p (A ∩ B ) = p(A) * p(B | A) segue p(B |A) = p(A ∩ B) / p(A) p(B ∩ A) = p(B)*p(A | B) segue p(A | B) = p(B ∩ A) / p(B) Con S al quale appartengono A, B è equiprobabile e finito, risulta anche p(B | A) = ((A ∩ B) / S)/( A/S) = (A ∩ B) / A p(A | B) = ((A ∩ B)/ S)/ (B/S) = (A ∩ B) / B Esempio di applicazione Lanciare per tre volte una moneta (testa, croce):evento B = primo lancio = testa T : verificatoevento A = esca almeno una croce (2 o terzo lancio) B =(TTT, TTC, TCT, TCC) = 4 A =(TCT, TTC, CTT, CCT, CTC, TCC,CCC) = (A ∩ B ) = (TTC, TCT, TCC) = 3 p(A | B) = (A ∩ B) / B = 3 / 4

  24. Eventi correlati Lancio consecutivo di due monete: S = 4 B :prima moneta croce CA :probabilità seconda moneta , almeno una testa B = (CT, CC): 2 eventi prima moneta > croce A = ( TC, CT, TT) :3 eventi seconda moneta, almeno una testa A ∩ B = (CT) 1 evento prima moneta C e seconda T p(A | B ) = (A ∩ B ) / B = 1 / 2 p(A) = 3/4 p(A | B ) < p(A) … (1 / 2 ) < ( 3 / 4) A correlato negativamente a B, riduce la sua probabilità

  25. Se risulta p(A | B ) > p(A) si ha correlazione positiva di A rispetto a B p(A | B ) < p(A) si ha correlazione negativa di A rispetto a B P(A | B ) = p(A) non esiste correlazione: sono indipendenti

  26. Terminologia essenziale: es. lancio di una moneta, dado spazio campionario Sm = (T,C) con 2 campioni :T, C spazio campionario Sd = (1,2,3,4,5,6) con 6 campioni: 1,2,3,4,5,6 Lancio di una moneta tre volte :spazio campionario S = Sm * Sm * Sm =(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni

  27. Lancio di una moneta tre volte :spazio campionario S = Sm * Sm * Sm =(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni evento A : uscita consecutiva di 2 teste A = (TTT,TTC,CTT) evento B : uscita croce (3 lancio)B =(TTC,TCC,CTC,CCC) Evento C :uscita consecutiva di 2 teste e uscita croce al 3 lancioC = A U B (unione eventi): (TTT,TTC,CTT,TCC,CCC,CTC)

  28. Lancio di una moneta tre volte :spazio campionario S = Sm * Sm * Sm =(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni evento A : uscita consecutiva di 2 teste A = (TTT,TTC,CTT) evento B : uscita croce (3 lancio)B =(TTC,TCC,CTC,CCC) Evento C :uscita consecutiva di 2 teste e uscita croce al 3 lancioC = A U B (unione eventi): (TTT,TTC,CTT,TCC,CCC,CTC) D =uscita consecutiva di 2 teste, uscita croce al 3 lancioD = A ∩ B (intersezione eventi) : (TTC)

  29. Lancio di una moneta tre volte :spazio campionario S = Sm * Sm * Sm =(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni evento A : uscita consecutiva di 2 teste A = (TTT,TTC,CTT) G =uscita consecutiva di 2 crociG = (TCC, CCT, CCC) H = A ∩ G (intersezione eventi) = Ø Essendo A e G disgiunti( senza campioni in comune)gli eventi A e G sono incompatibili, la intersezione è insieme vuoto

  30. Lanciare tre monete (testa, croce) e descrivere le varie configurazioniche si possono verificare 1^moneta 2^moneta 3^moneta TTT TTC TCC CTT CTC CCT CCC TCT Esiti = 8

  31. Lanciare tre monete (testa, croce) e descrivere le varie configurazioniche si possono verificare 1^moneta 2^moneta 3^moneta TTT TTC TCC CTT CTC CCT CCC TCT Esiti = 8 Probabilità che escano almeno 2 teste ? = 4 /8 = ½tre croci ? = 1 /8due teste e una croce ? 2 / 8 = 1/4

  32. TCTTTCTCTCCTTCCC TTTTTTTCTTCTTTCC CTTTCTTCCTCTCTCC CCTTCCTCCCCTCCCC Lanciare quattro monete (testa, croce) e descrivere le varie configurazioniche si possono verificareprobabilità almeno 2 teste ? 11/16due teste e due croci CCTT ? 6/16 = 3/8

  33. Una urna contiene 3000 sferette, rosse e azzurre: come determinare inmodo approssimato il numero di sferette rosse e azzurre ?Si estraggono , una alla volta 120 sferette e si rimettono ogni voltanell’urna: risultano 85 rosse e 35 azzurre:la frequenza calcolata fornisceFr = 85 /120 = 17/24Fa = 35/120 = 7/24 Legge empirica del caso 17 rosse / 24 sferette = xRosse / 3000 sferette : x = 17 * 3000 / 24 =2125 7 azzurre / 24 sferette = xAzzurre / 3000 sferette : x= 7 *3000 / 24 = 875 O per differenza : azzurre = totale – rosse = 3000 – 2125 = 875

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