1 / 34

מורכבות חישובית

מורכבות חישובית. Interactive Proof לאה צבאן 033574278 רונית אנקורי (לוריא) 034200493 שירה זיסמן 034455105 יעל טרמין 058234659. ראשי פרקים. חזרה - NP Proof system Interactive proofs The complexity class - IP

leo-larson
Download Presentation

מורכבות חישובית

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. מורכבות חישובית Interactive Proof לאה צבאן 033574278 רונית אנקורי (לוריא) 034200493 שירה זיסמן 034455105 יעל טרמין 058234659

  2. ראשי פרקים • חזרה - NP • Proof system • Interactive proofs • The complexity class- IP • דוגמא : IPעבור בעיית הסתירה • דוגמא : IPעבור גרף לא איזומורפי • NPIP • Co-NPIP Interactive Proof

  3. חזרה על NP • כדי להבין את אופן הפעולה של מערכת IPנחזור למחלקת NP. • מחלקת הסיבוכיות IP ,שאותה נציג בהמשך, היא אנלוגית הסתברותית ל NP. • השפות ששייכות למחלקת NPהן השפות שלהן יש "אישור" קצר שניתן לאימות ביעילות (פולינומי). Interactive Proof

  4. חזרה על NP - המשך • מחלקה P – אוסף כל השפות Lשניתן לזהותן ע"י מ"ט דטרמינסטית פולינומית בזמן. • מחלקה NP – מחלקת הבעיות שהפתרון שלהן יכול להיות מאומת בזמן פולינומי : • הגדרה 1: אוסף השפות שניתן לזהותן ע"י מ"ט לא דארמיניסטית. • הגדרה 2: מחלקת כל השפות שבהן חברות בשפה ניתנת לאימות בזמן פולינומיאלי . 2 ההגדרות שקולות. Interactive Proof

  5. הגדרות • יחס בינארי Rהוא polynomial self decidableאם קיימת מ"ט בזמן פולינומי שמקבלת את השפה. • היחס ניתן להחלטה בזמן פולינומיאלי. • קיים פולינום כך ש אם ורק אם קיים אימות w לכל Interactive Proof

  6. הגדרות - המשך • יחס מוגדר להיות אוסף של זוגות (x,y) שמתקבלים ע"י לכן אם ורק אם קיים yכך ש (כלומר, אם קיים חישוב שמתקבל ע"י ) • ניתן להוכיח ש ניתן להכרעה בזמן פולינומיאלי וחסום פולינומיאלית ע"י סימולציה של מ"ט על (x,y) שמוכיחה שניתן להכריעה בזמן פולינומיאלי. המכונה תעצור אחרי לכל היותר צעדים – לכן היחס חסום פולינומיאלית. Interactive Proof

  7. מערכת הוכחה - Proof System משתתפים: Proverו – Verifierשמקבלים קלט משותף. • Prover • בעל כוח אינסופי • תפקידו לשכנע את ה– Proverשהקלט אכן שייך לשפה. • Verifier • – בעל כוח מוגבל ( פולינומי). Interactive Proof

  8. מכיוון שה-Prover בעל כוח אינסופי הוא יכול למצוא השמה שמספקת את הקלט, במידה והיא קיימת. מערכת הוכחה עבור 3SAT דוגמא: קלט משותף: (xyz’)(x’y’)z’ האם שייך לשפה? Prover Verifier (x)=false (y)=true (z)=false 1 2 ה- proverצריך לשכנע את ה- Verifierשהנוסחה שהוא שלח ניתנת לסיפוק.לצורך זה שולח השמה שמספקת את הקלט. ה – verifierצריך לבדוק את ערכי האמת של הנוסחה תחת ההשמה שקיבל כדי לראות האם ה prover צדק. (הדבר נעשה ב polynomial time). Interactive Proof

  9. Proof System - הגדרה נגדיר את התכונות של מערכת הוכחה (Proof System): • מדיניות ה Verifierיעילה (בזמן פולינומי). • דרישות נכונות (Correctness): • Completeness - עבור xהשייך לשפה, יש אסטרטגית הוכחה משכנעת. • Soundness - עבור x שאינו בשפה, לא קיימת אסטרטגיית הוכחה. Interactive Proof

  10. מסרים Interactive Proof • Interactive Proofsהוא מושג שבסיסו ב - Proof system. • נוסיף שני מאפיינים נוספים למודל: • אינטראקציה -דיאלוג דו כווני בין הקבוצות • רנדומיות – נאפשר ל Verifierלהטיל מטבעות. Interactive Proof

  11. Interactive Proof • IPעבור שפה Lמוגדרת כמשחק בין שתי קבוצות , Verifierו- Prover , שמבצעים אינטראקציה ביניהם על קלט משותף באופן שעונה על התכנות הבאות: • אסטרטגיית ה- Verifierהיא פרוצדורה הסתברותית פולינומיאלית בזמן. • דרישות נכונות ( Correctness): בשקף הבא. Interactive Proof

  12. IPדרישות נכונות ( Correctness) • דרישות נכונות: Completeness – קיימת אסטרטגיית Prover, P, כך שעבור כל xL , כאשר מבצעים אינטראקציה על קלט משותף, ה- Prover, P, ישכנע את ה-Verifier, V, בהסתברות של לפחות . Soundness –עבור כל xL, כאשר מבצעים אינטראקציה על קלט משותף, כל אסטרטגיה של ה- Prover, P, לשכנע את ה -Verifier, V, תהיה בהסתברות של לכל היותר . Interactive Proof

  13. The IP Hierarchy - הגדרה • מחלקה IPמורכבת מכל השפות שיש להן Interactive Proof System • מספר המסרים שמוחלפים במשך הפרוטוקול בין שתי הקבוצות במהלך האינטראקציה נקראת מספר ה roundsבמערכת. • לכל פונקציה (.)r, מחלקת הסיבוכיות )(.)r(IPמורכבת מכל השפות שיש להן interactive proof system , שבה נעשים לכל היותר r(|x|) rounds על קלט משותף. • לסט של פונקציות שלמים (.)r,נגדיר: IP(R)=UrRIP(r(.)) Interactive Proof

  14. IP - תכונות נוספות • NPIP כיוון שה Verifierצריך לרוץ בזמן (P=IP(poly, כאשר polyהוא סט של פונקציות פולינומיאליות. • ניתן להגדיר את הגדרת IPלדרישה של Perfect Completeness (הסתברות של 1 לקבלה), כלומר, אם xL ה-Prover תמיד ישכנע את ה-Verifier. • טענה: את הקבועים 1/3 ו- 2/3 שמופיעים בהגדרה ניתן להגדיר כהסתברויות ו- לכל פולינום (.)p. 1-2-p(.) 2-p(.) Interactive Proof

  15. IPללא אקראיות ואינטראקציה • ללא אקראיותIPתתמוטט למחלקת NP - proof systems. • ללא אינטראקציהבין המחלקות נקבל (IP(1 (שמסומנת לעיתים כ AM) , שהיא מעין ורסיה רנדומלית (אולי חזקה יותר) של NP. • שתי תכונות אלו יוצרות מחלקת סיבוכיות חזקה מאוד שאותה נראה בהמשך. Interactive Proof

  16. IP - Perfect Soundness • טענה: אם נדרוש Perfect Soundness המחלקה תתמוטט ל - NP-proof systems. הוכחה: בהינתן מערכת IP עם Perfect Soundness נבנה מערכת הוכחה ב-NP: (בשקף הבא) Interactive Proof

  17. הוכחת הטענה עלPerfect Soundness עבור xL, קיים פרוטוקול לקבלה ע"י ה-verifier, לפי דרישות ה-completeness. ה-Prover מוצא תוצאה של הטלת המטבע של ה-Verifier שתיתן כזה פרוטוקול, ושולח ל-Verifier את תוצאת ההטלה עם הפרוטוקול (המלא). ה-Verifier בודק (בזמן פולינומי) שהפרוטוקול תקף, ומקבל. באופן זה ה-Prover משמש כנביא. עבור xL, לפי דרישות ה-Perfect Soundness לא קיימת הטלת מטבע של ה-Verifier שתגרור פרוטוקול שיתקבל ע"י ה-verifier, ולכן לא קיים ניחוש "טוב" של הנביא. Interactive Proof

  18. ללא אקראיות - הסבר • בהינתן IP עבור Prover ועבור Verifier דטרמוניסטי, נבנה מערכת הוכחה ב-NP: ה-Prover יכול לצפות את החלק של ה-Verifier בפרוטוקול האינטרקטיבי, ולשלוח ל-Verifier את הפרוטוקול המלא (כולל החלק של ה-Verifier). במיקרה זה ה-Prover משמש כנביא של בעיית NP. ה-Verifeir בודק את תקיפות ה"ניחוש" של הנביא לפי מערכת ההוכחה המקורית. קיבלנו בעיה ב-NP. Interactive Proof

  19. גרפים איזומורפיים ו - NP Interactive Proof

  20. ISOMORPHISM • בעיית איזומורפיזם בין גרפים - GraphIso: • גרפיםG2=(V2,E2)ו-G1=(V1,E1)נקראים איזומורפיים ( מסומנים G1G2 ) אם קיים מיפוי חח”ע ועל :V1V2כך ש (u,v) E1 אם ורק אם .((u),(v)) E1 • מיפוי  בין 2 גרפים איזומורפיים נקרא איזומורפיזם בין הגרפים. Interactive Proof

  21. Non Isomorphism • GraphNonIso-אם לא קיים מיפוי  שמקיים את התנאי הקודם אזי הגרפים לא – איזומורפיים. • נגדיר שפה זו כ GNI : • {GNI= (G1,G2): G1 and G2 are non-isomorphic} • נראה Interactive Proof עבור GNI. Interactive Proof

  22. IPעבור GraphNonIso (GNI) • קלט משותף : (G1=(V1,E1ו - (G2=(V2,E2 • בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח: (G1=({1,...,n},E1ו - (G2=({1,...,n},E2 • הסבר: |V1| = |V2| אחרת, הגרפים ודאי אינם איזומורפים, וה-prover אינו צריך "לשכנע" את ה-verifier. Interactive Proof

  23. H j IPל - GNI • קלט: 2 גרפים : G1, G2. Prover Verifier • בוחר אקראית {1,2} i • ופרמוטציה  על {n,....,1} • ע”י הפרמוטציה בונה גרףH • איזומורפי לגרף Gi: • H=({1,...,n},{((u),(v)):(u,v)E}) • שולח את Hל-Prover. אם שני הגרפים לא איזומורפיים Pיבדוק בכוחו ה”לא מוגבל” מי מהגרפים בקלט איזומורפי לגרף Hוישלח תשובה jכך ש- H  Gj Vבודק אם התשובה נכונה (i=j). אם כן, מקבל. Interactive Proof

  24. הוכחה • תארנו פרוטוקול IPעבור GNI: 1.מערכת ההוכחה אינטראקטיבית ורנדומית. 2.Completeness – ההסתברות ש Vישתכנע עבור שני גרפים לא איזומורפים היא 1 (כי P ישלח את ה-j הנכון, ו-V יקבל i=j), ו- 3.Soundness – ההסתברות ש-P יצליח לשכנע את V כאשר הגרפים אינם איזומורפים היא ½. אם "מריצים" את הפרוטוקול פעמיים ההסתברות קטנה ל-¼, ואז ההסתברות ש-V ידחה היא: Interactive Proof

  25. IPNP • ה-Proverהוא בעל כוח חישובי בלתי מוגבל, Proverיתן ל Verifierאת הפרמוטציה,שתוביל אותו לאור הירוק. • NPחלש יותר מ IPומוכל בתוכו (NPIP). • מה לגבי שוויון בין NPו- IP? • אין שוויון בניהם. ראינו בעיה ב Co-NPשהיא ב IPוגם בעיה ב NPשהיא ב IP. Interactive Proof

  26. IPCO-NP • ניקח בעיה ב CO-NPונוכיח שהיא ב IP. • בעיית הסתירה שייכת ל NPC (ולכן גם ל-NPCo-). • נוכיח שלנוסחה אין השמות אמת. • ע”י מערכת אינטראקטיבית נוכיח שיש ל- בדיוק Kהשמות אמת, ו- K=0 הוא מקרה פרטי. Interactive Proof

  27. הוכחה הנוסחה הינה בעלת K השמות אמת אם קיימים כך ש: 1. 2. לנוסחה יש בדיוק השמות אמת. 3. לנוסחה יש בדיוק השמות אמת. Interactive Proof

  28. הוכחה - רעיון א’ • Pישלח ל-Vאת k0,k1. • Vבודק אם מתקיים תנאי מס’ 1 (k0+k1=k) וממשיך אקראית עם תנאי 2 או 3, עד שמגיעים לליטרל בודד. • אם Vלא תפס את Pבשקר, הוא משתכנע. • האם זהו IP? Interactive Proof

  29. הוכחה - רעיון א’, המשך • Completeness:אם אכן יש השמת אמת, Pייתן בכל שלב את k0, k1הנכונים, עד לרמת ליטרל בודד, ו-Vישתכנע. • Soundness:נניח שיש 9 השמות אמת, ו-Pרוצה לשכנע את Vשיש 8 השמות אמת. Pייתן ל-Vאת המספרים 2,6 (במקום 3,6), ואם Vיבחר את התנאי עם 6 ההשמות - Pהצליח “להבריח” את השקר שלו, ויותר הוא לא יצטרך לשקר. יש הסתברות ½ שזה יקרה. אבל Pיכול לשקר בכל אחד מהשלבים, לכן ההסתברות לחשוף את השקר אינה ½ אלא n (½) ! Interactive Proof

  30. הוכחה - רעיון ב’ נרחיב את : • , F שדה גדול מספיק, n2<|F|. • נבצע העברה של משוואות לוגיות למתמטיות. • כל נוסחה בוליאנית נמיר לפולינום עם n משתנים. Interactive Proof

  31. הוכחה - רעיון ב’, המשך 1 • Pרוצה להוכיח: • גם Pוגם Vיודעים להמיר את ל- . Interactive Proof

  32. הוכחה - רעיון ב’, המשך 2 Verifier Prover 1 בודק P1(0)+P1(1)=k. בוחר רנדומית . 2 בודק P2(0)+P2(1)=k. בוחר רנדומית . . . . Interactive Proof

  33. הוכחה - רעיון ב’, המשך 3 Verifier Prover i בודק Pi(0)+Pi(1)=k. בוחר רנדומית . . . . . . . 2n-1 בודק Pn(0)+Pn(1)=k. בוחר רנדומית , ובודק: אם כן, מקבל. Interactive Proof

  34. הוכחה - רעיון ב’, המשך 4 • Completeness:אם כל הפולינומים נכונים, כל הבדיקות יתנו תשובה חיובית, ובשלב האחרון נקבל שאכן . • Soundness:אם Pשלח פולינום לא נכון, רוב הסיכויים ש- כי זהו פולינום מדרגה n, והסיכוי ש- הוא . אם במקרה קיבלנו נמשיך לשלב הבא, ו-Pחייב לשקר שוב, כי יש לו פולינום “לא טוב”. סך הכל הסיכוי שהשקר של Pלא יחשף הוא: . Interactive Proof

More Related