看山不是山,看山还是山
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看山不是山,看山还是山. —— 椭圆定义与性质教学设计. 教学目标. 1. 通过对椭圆第一定义、第二定义和“第三定义”的复习探究,温故知新,建立联系,使学生能站在系统的高度认识椭圆的有关知识。. 2. 了解椭圆准线概念的来历,经历直线和椭圆相切关系的与准线的探求过程.. 3. 体会利用坐标法及数形结合思想来研究解决解析几何问题过程.. 教学过程. 一、 温故知新,建构联系. 设 M ( x,y) 是椭圆上任意一点,焦点 F 1 (-c,0) 和 F 2 (c,0) (图 1 ). 由椭圆的定义可得:. 其中.

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Presentation Transcript


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看山不是山,看山还是山

——椭圆定义与性质教学设计


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教学目标

1. 通过对椭圆第一定义、第二定义和“第三定义”的复习探究,温故知新,建立联系,使学生能站在系统的高度认识椭圆的有关知识。

2. 了解椭圆准线概念的来历,经历直线和椭圆相切关系的与准线的探求过程.

3. 体会利用坐标法及数形结合思想来研究解决解析几何问题过程.


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教学过程

一、温故知新,建构联系

设M(x,y)是椭圆上任意一点,焦点F1(-c,0)和F2(c,0)(图1)


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由椭圆的定义可得:

其中


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问题1 为什么将(3)式作为椭圆的标准方程?

1.(3)式简捷,具有对称的美感。

2.(3)式便于用待定系数法求解椭

圆的轨迹方程。

3.(3)式方便研究椭圆的几何性质。


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练习1 如右图,你能找到椭圆的焦点吗?

目的:形数结合,

复习巩固关系


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练习2

已知椭圆的方程为

⑴求椭圆的焦点、准线、离心率、长轴长、短轴长、焦距;⑵若椭圆上一点P到左焦点F1的距离为6,求P点到右焦点F2的距离和P点到右准线的距离。


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问题2 将(3)式作为椭圆的标准方程有什么缺点?

无法揭示椭圆上的动点到定点的距离之和等于定长2a这一本质属性,相比之下(1)式恰好具有这一优点。


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讨论(1)式的优缺点,有:

1、(1)式充分揭示了椭圆的定义。

2、(1)式难以讨论椭圆的其他几何性

质,如范围、对称性、顶点等等。

问题3 是否存在一个方程,同时体现椭圆的第一定义和椭圆的几何性质?


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将(2)式变形,得

同理


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将(2)式再变形,得

(图2)


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  课本P106练习4

△ABC的两顶点A,B坐标分别是(-6,0),

(6,0),边AC,BC所在直线斜率乘积等于

,求顶点C的轨迹方程。


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问题4 若动点到两定点A(-a,0),B(a,0),

的连线的斜率之积等于常数m的轨迹方程为

常数m的值应等于多少?

探究:设椭圆上任一点为P(x0,y0),则


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即 到两定点A(-a,0),B(a,0),的连线的斜率

之积等于常数   的轨迹方程为

不妨称为椭圆的“第三定义”,它和第一定义

有何联系呢?


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探究:

设AB=2c,动点C到A、B的距离分别为

,满足什么条件,点C

的轨迹为椭圆?

时,动点C的轨迹是以A、B为焦点,

长半轴长为 的椭圆.

(将余弦改为正弦,就得到江西高考题0721)


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二.创设情境,发现准线

已知

,B是圆A:        

(A为圆心)上一动点,线段BC的垂直平分线

交BA于M,则动点M的轨迹方程为_________

(重庆0516)


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问题1 我们知道,离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的一个比值,椭圆的离心率可以用上图中哪两条线段之比来表示?它是怎样刻画椭“圆扁”程度的?

问题2 从椭圆的焦点A发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线是否交于某个定点,请说明理由?


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问题3  此处的垂直平分线与椭圆有什么关系?为什么?

问题4 点B在圆上运动时,OB、OD的垂直平分线与直线BA的交点在椭圆上,OB、OD的交点的轨迹是什么图形呢?


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准线的发现与证明:

两条切线方程分别为

联立解得:

,得

代入上式得


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三、学以致用,瞄准高考

1.重庆(0712)已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线

有且仅有一个交点,

则椭圆的长轴长为( )

解法一:

解法二:

解法三:


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2. 在平面直角坐标系xoy中,有一个以    和    为焦点,

离心率为  的椭圆,设椭圆在第一象限的

部分为曲线 C,动点P在C上,C在P点处的

切线与x,y轴的交点分别为A、B,且向量

,求点M的轨迹方程.

  本题为0620的第一问。目的是复习椭圆方程的求法及用导数求切线的方程。

  近年考查直线与椭圆相切位置关系的题除全国卷一0620外,还有湖南0519,浙江0619.北京0719等,是导数与圆锥曲线交汇问题。


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的焦点为F,相应准线为l,

设椭圆

过点F的直线交椭圆于A,B两点,交直线l与点M,

,则

  注: 1. 本题复习直线与椭圆相交的位置关系,思路有两种,一是代数法,体现坐标法研究几何问题的基本思路。二是数形结合,回归定义.两者相比,后者更为简便,体现了数形结合思想的优越性.

2.将上题的椭圆换成抛物线,就得到07年福建高考题.


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谢谢大家!


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