Линейное уравнение с двумя переменными и его график.

1. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение ax + b = 0, где а 0, называют линейным уравнением с одной переменной. Решением уравнение является значение • Уравнение ax + by + c = 0, где а, b, c – числа, причем а 0, b 0, называют линейным уравнением с двумя переменными x и y(или с двумя неизвестными x и y). Решением уравненияax + by + c = 0 называют всякую пару чисел (х; у), которая удовлетворяет этому уравнению, т.е обращает равенство ax + by + c = 0 в верное числовое равенство. Таких решений бесконечно много.

2. Графиком любого линейного уравнения ax + by + c = 0является прямая. Алгоритм построения графика уравнения ax + by + c = 0. 1. Придать переменной Х конкретное значение Х = ; найти из уравнения соответствующее значение у: У = . а + by + c = 0 У . ax + by + c = 0 2. Придать переменной Х другое значение Х= ; найти из уравнения соответствующее значение У: У= . . а + by + c = 0 Х 0 3. Построить на координатной плоскости хОу две точки ( ; ) и ( ; ). 4. Провести через эти две точки прямую - она и будет графиком уравнения ax + by + c = 0.

3. Запомнить

4. Методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными Графический метод Метод подстановки Метод алгебраического сложения Пару значений ( х; у ) , которая одновременно является решением и первого, и второго уравнений системы , называют решением системы.

5. Графический метод решения систем линейных уравнений с двумя переменными. В одной координатной плоскости строим графики двух линейных уравнений: 1. Если прямые пересекаются (в одной точке), то система имеет единственное решение – координаты точки пересечения. 2. Если прямые параллельны – это значит, что система не имеет решения ( система несовместна). 3. Если прямые совпадают – это значит, что система имеет бесконечно много решений (система неопределенна).

6. Решения систем линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ: 1. Выразить из какого-либо уравнения одну переменную через другую и подставить это выражение в другое уравнение. 2. Решить полученное уравнение относительно другой переменной. 3. Подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге. 4. Записать ответ в виде пары значений ( х; у ), которые были найдены на предыдущих шагах. Ответ: ( х; у).

7. Решения систем линейных уравнений с двумя переменными методом алгебраического сложения. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ: 1.Привести уравнения системы к виду, чтобы у какой-либо переменной в обоих уравнениях коэффициенты стали противоположными (или равными). 2.Сложить уравнения - это значит по отдельности составит сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные суммы приравнять. 3.Решить полученное уравнение с одной переменной (вторая переменная временно исключена). 4. Подставить найденное значение переменной и в любое из двух уравнений и найти оставшуюся переменную. 5. Записать ответ в виде пары значений ( х; у ). ; ; ; ; . Найти Х из любого уравнения системы.

8. Решить систему уравнений методом подстановки: Решение. Выразим хиз 1-го уравнения системы: • 5х= 4- 6у, х = . Подставим во 2-е уравнение: 3 + 5у =1, умножим обе части равенства на 5,получим 3 (4-6у) +25у =5, 12 -18у + 25 у = 5, 7 у = - 7, у = - 1. Подставим в выражение х найденное значение у: • х= , Ответ: (2; -1). х= 2.

9. На рисунке изображено графическое решение системы. Укажите № системы уравнений, решение которой указано на рисунке. ­ 1 у 2 3 4

10. Задания для закрепления изученного материала

11. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ • Что называется функциональной зависимостью? • Какая переменная является зависимой, какая независимой? • Что называют графиком функции? • Как называется функция y=kx? • Что является графиком этой функции? • Сколько точек необходимо для построения графика этой функции? • Какая функция называется линейной? • Что является графиком линейной функции? • Какой вид будет иметь линейная функция при b=0? • Через какую точку в этом случае проходит график? • Что показывает, в какой четверти лежит прямая • y=kx+b? • Каковы координаты точки пересечения графика функции y=kx+b с осью OY?

12. Среди функций выберите те, которые не являютсялинейными

13.  Среди функций выбрать те, которые являются линейными и графики которых проходят через начало координат

14. Среди функций выбрать те, графики которых лежат в I и III четвертях

15. Среди функций выбрать те, графики которых лежат во II и IV четвертях

16. Задания для закрепления изученного материала Найдите координаты точки пересечения графиков функций.

17. Задания для закрепления изученного материала

18. Задания для закрепления изученного материала

19. Актуализация знаний: - На какие классы можно разбить множество систем линейных уравнений по числу решений? - Проведите классификацию данных систем. Ответ: Определенная система (1 решение) А, Г, ЖНесовместная система (нет решений) Б, В, ДНеопределенная система (бесконечное множество решений) З, Е • По какому признаку определили? • (пропорциональность коэффициентов)

20. Закрепление темы При каких значения параметра «а»система имеет бесконечное множество решений или не имеет решения:

21. Актуализация знаний • Какое уравнение называется линейным уравнением с двумя неизвестными? • Что значит решить линейное уравнение с двумя неизвестными? • Что называется решением линейного уравнения с двумя неизвестными? Как записывается это решение? • Что является графиком линейного уравнения с двумя неизвестными? • Что называется системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными? • Что называется решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными? • Что значит решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными? • Какими методами можно решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными? Каков алгоритм решения каждым методом? • Как решается одно линейное уравнение с двумя неизвестными? • Сколько решений имеет линейное уравнение с двумя неизвестными? Как записывается общее решение линейного уравнения с двумя неизвестными?

22. График линейного уравнения с двумя переменными. Рассмотрим произвольное уравнение с двумя переменными x и y: Что является его решениями? Его решениями является какое-то множество пар (x; y), которые обращают его в верное равенство. Каждой такой паре соответствует точка на координатной плоскости. Множество этих точек мы будем называть графиком данного уравнения с двумя переменными. ax + by =c Множество точек (фигура) на координатной плоскости является графиком данного уравнения, если выполняются два условия: 1) Если (x; y) – решение уравнения, то М (x; y) принадлежит его графику; 2) Если М (x; y) принадлежит графику уравнения, то (x; y) – решение этого уравнения.

23. Рассмотрим линейное уравнение с двумя переменными. • Как выглядит его уравнение? (ax + by =c ) Какая фигура на координатной плоскости будет являться его графиком? [прямая] • Выясним, так лиэто. Преобразуем уравнение: by = c–ax. а) b  0, тогда, то есть данное уравнение задает линейную функцию, а ее графиком является прямая. б) b = 0, тогда, уравнение примет вид: ax + 0y = c ax = c. (y– любое число). 1. Если а  0, то то есть, графиком уравнения должны служить точки с этой абсциссой и произвольной ординатой. • Какую фигуру они образуют? [прямую, параллельную оси y]; 2. Если а = 0, то уравнение примет вид: 0x = c, которое не имеет решений при с  0 и решением которого являются все числа при с = 0.

24. Из данных четырех линейных уравнений можно различным перебором составить несколько систем, но их решения совпадут. Почему? По рисунку найдите решение этих систем. у -1 = 2х ; у= 0,5х + 1 ; - 4х = 1 - у ; - 1= х - у ;

25. Решение № 438 а) рис .25 Точки А (0; 5) и В ( -3; 0) принадлежат прямой. Следовательно, их координаты удовлетворяют уравнению этой прямой у = kх + m. Подставив координаты точек в это уравнение, найдем k и m: . -3 k = m, k = , k = Уравнение прямой имеет вид: У = Х + 5.

26. Графический метод решения систем уравнений с помощью программы MahtCad 2000.Rus