Funkcie

1. Funkcie

2. Pojem funkcie: Definícia:Zobrazenie, ktoré zobrazuje reálne čísla na reálne čísla sa nazýva funkcia.y = f(x). Poznámka : V prípade, keď vzťah závislosti medzi veličinami x a y spĺňa podmienku: každá hodnota veličiny x z istej množiny jednoznačne určuje hodnotu veličiny y hovoríme o funkčnej závislosti alebo funkcii. Veličinu x voláme nezávislou premennou a veličinu y voláme závislou premennou , pričom x,y

3. Funkcie zapisujeme pomocou matematickej rovnice y= f(x). Rovnice y=5x+9 a p= 5v+9 určujú tú istú funkciu, zmena označenia premenných nemá vplyv na funkciu, pravidlo priradenia sa nemení.

4. Funkcia môže byť daná: • Vymenovaním prvkov – tabuľkou • Vlastnosťou – slovne, rovnicou • Grafom

5. Základné pojmy Definičný obor: Nazývame ním množinu všetkých x patriacich do množiny R pre ktoré je f(x) definovaná, pre ktoré má zmysel. ( Ozn. D(f)= ) Obor hodnôt: Nazývame ním množinu všetkých y, ktoré môže funkcia nadobúdať ( sú to také y, patriace do množiny R pre ktoré platí, že existuje aspoň jedno x , že y = f(x). ) (Ozn. H(f)= ) Graf funkcie:Grafom funkcie v karteziánskej sústave súradníc je množina všetkých bodov roviny v tvare [ x ; f(x) ].

6. Globálne vlastnosti funkcií Sú vlastnosti týkajúce sa chovania funkcie v jej definičnom obore, prípadne v niektorom intervale jej definičného oboru. Pri každej z týchto vlastností si všimneme jej prezentáciu na grafe funkcie. Definícia : Funkcia f je PROSTÁ ak pre každé dve čísla r  s z D(f) platí: f (r)  f(s). Pre praktické určenie, či daná funkcia je prostá, je často vhodnejšie ekvivalentná podmienka ak f(r) = f(s), tak potom r = s Poznámka:Prostá funkcia a graf Funkcia f je prostá práve vtedy, akkaždá priamka rovnobežná s osou x pretne graf funkcie fnajviacv jednom bode. Príklad: Funkcia y = x2nie je prostá na intervale (-; ), ale je prostá na intervale (-; 0) Veta 1:Ak f a g sú prosté funkcie, tak aj funkcia f  g je prostá. Veta 2:Funkcia má inverznú funkciu vtedy a len vtedy, ak je prostá.

7. Monotónnosť funkcií Definícia:Funkcia f je rastúca (neklesajúca, klesajúca, nerastúca), ak pre každé dve čísla r < sz D(f) platí: f(r) < f(s) ( f(r)  f(s), f(r ) > f(s), f(r)  f(s) ) Definícia: Funkcia f je monotónna, ak je buď neklesajúca alebo nerastúca Definícia: Funkcia f je rýdzo monotónna, ak je buď klesajúca alebo rastúca. Poznámka:Na grafe sa vlastnosti monotónnosti prejavia tak, že pri zväčšovaní x - ových súradníc bodov grafu y – ovésúradnice bodov grafu rastú alebo klesajú podľa príslušnej veľkosti. Veta:Ak je funkcia rýdzo monotónna potom je aj prostá. (opačné tvrdenie neplatí)

8. neklesajúca funkcia nerastúca funkcia funkcie sú prosté a rýdzo monotónne funkcia nie je prostá

9. Ohraničenosť funkcií Definícia:Funkcia f je OHRANIČENÁ ZDOLAna množine A, ak existuje také reálne číslo d, že pre všetky x  A platí f(x)  d. Definícia:Funkcia f je OHRANIČENÁ ZHORA na množine A práve vtedy, ak existuje také reálne číslo h, že pre všetky x  A platí f( x)  h. Definícia:Funkcia f je OHRANIČENÁna množine A vtedy a len vtedy, ak je na A ohraničená zdola aj zhora. Poznámka:Na grafe sa tieto vlastnosti prejavia tak, že celý graf zhora (zdola) ohraničenej funkcie leží pod (nad) rovnobežkou s osou x a graf ohraničenej funkcie leží medzi dvoma rovnobežkami.

10. g(x) je ohraničená funkcia funkcia f(x) je zdolaohraničená f(x) g(x) funkcia h(x) je ohraničená funkcia funkcia p(x) je zhora ohraničená p(x) h(x)

11. Vlastnosti symetrie Definícia:Funkcia f je PÁRNA, ak x D(f) tak aj –x D(f) a f(-x) = f(x) pre všetky x D(f). Definícia:Funkcia f je NEPÁRNA, ak x  D(f) ak aj –x D(f) a f(-x) = - f(x) pre všetky x D(f). Definícia:Funkcia f je PERIODICKÁ, s periódou p> 0, ak pre každé k Z platí a f(x + k.p) = f(x) , x D(f) aj x+k.p D(f). Číslo p voláme perióda funkcie .

12. Grafy párnych a nepárnych funkcií Graf párnej funkcie je symetrický podľa osi y Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa počiatku súradnicového systému

13. Grafy Periodických funkcií

14. Maximum a minimum funkcií na množine Definícia: Funkcia f má v bode aMMAXIMUM na množine M práve vtedy keď pre všetkyx M platí: f(x)≤f(a). Definícia:Funkcia f má v bode bMMINIMUM na množine M práve vtedy keď pre všetky x M platí: f(x) ≥f(b). Definícia: Funkcia f má v bode aMOSTRÉ MAXIMUM na množine M práve vtedykeď pre všetky x M platí: x≠a : f(x) <f(a). Definícia: Funkcia f má v bode bMOSTRÉ MINIMUM na množine M práve vtedy keď pre každé x M platí: f(x) >f(b).

15. Graf znázorňujúci maximum a minimum funkcie h Funkcia hmá v bode a = 5 maximum na D(h), v bodochb1= - 4 a b2= 0 minimum na D(h).

16. Lineárna funkcia Definícia:Lineárna funkcia sa nazýva každá funkcia na množine R daná rovnicou y = ax +ba, bR, a≠ 0 Grafom lineárnej funkcie v karteziánskej súradnicovej sústave je vždy priamkarôznobežná s osou  y. Funkcia y = ax + ba, bR, a > 0Obor hodnôt je R.Je rastúca. Nie je ani zhora ani zdola ohraničená. Nemá ani maximum ani minimum a = 0Obor hodnôt je RNie je prostá (teda ani rastúca ani klesajúca) je ohraničená.Je stacionárna ( nemenná)V každom bode má maximum i minimum. a <  0Obor hodnôt je R.je klesajúca.Nie je ani zhora ani zdola ohraničená. Nemá ani maximum ani minimum

17. Ďakujem za pozornosť