1 / 91

Aldagai Anitzeko Funtzioak Integraketa

Aldagai Anitzeko Funtzioak Integraketa. Integral bikoitzak. Integral bikoitzak bi aldagaiko z = f(x,y ) funtzioen integral mugatuak dira . D definizio eremu itxi batean definitutako funtzio jarraien integral bikoitzak aztertuko ditugu .

lel
Download Presentation

Aldagai Anitzeko Funtzioak Integraketa

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. AldagaiAnitzekoFuntzioakIntegraketa

  2. Integral bikoitzak Integral bikoitzakbialdagaikoz=f(x,y) funtzioen integral mugatuakdira. D definizioeremuitxi batean definitutako funtziojarraien integral bikoitzakaztertukoditugu. Integral bikoitzarendefinizioa Riemann-en batuketen segida baten bidezematen da. Irudianikusten da nola funtzioaren D definizio-eremuazatitzen den zatitxikietan: Ds1, Ds2,…Dsn.

  3. Integral bikoitzak Zatietan (beraienbarnean edo mugan) puntubana aukeratzendugu: P1, P2,…, Pn. Puntuhorietanfuntzioaren balioak, f(P1), f(P2),…, f(Pn) altuerakbezalahartzendira zutabezuzenakeraikitzeko, non zutabeenoinarriakDs1, Ds2,…,Dsnbaitira, hurrenezhurren:

  4. Integral bikoitzak Zutabezuzenhorienbolumenakkalkulatzenditugu (f(P1), f(P2),…, f(Pn) altuerakbiderDs1, Ds2,…,Dsn, oinarriengainazalak, hurrenezhurren) eta elkarribatzendizkiogu: Batura hauizango da z=f(x,y) funtzioarenazpianeta D eremuanoinarrituta dagoenbolumenerakohurbilketa (suposatuzf(x,y) > 0 eremuosoan). ZenbatetagehiagoDsi, zatienkopurua, hau da, zenbatetatxikiagoDsi-ren gainazalenbalioak; edo, gauzaberadena, zenbatetaxeheago D-renzatiketa, orduanetahobeaizango da hurbilketa. Hortaz, hurrengo Riemann-en batuketasegidakizangogenituen: Vn1, Vn2,…, Vnk,… non n1<n2<…<nk<… eta hurbilketakgeroetazehatzagoakizangoziren. Riemann-en limiteaexistitzenbadank∞doanean (Dsi 0 doazenean) orduanhurrengo teorema dugu:

  5. Integral bikoitzak Teorema: D eremuitxianz=f(x,y) funtzioajarraiabada, eta D-ren zatiketakoDsi, elementuendiametrohandienazerorantzjotzenbadu n∞denean, orduan Riemann batuketensegidakbadulimiterik. Limiteaez da zatiketaerarenmenpekoa, ezetaDsielementuetan hartutakoPipuntuenaukeraketarenmenpekoa ere. Limite hori D eremuan (D integrazio-eremuadeitukodugu zabaldutakof(x,y) funtzioarenintegral bikoitzadeitzendugueta honelaadieraztendugu:

  6. Integral bikoitzak D integrazio-eremuanf(x,y)>0 bada, integral bikoitza hurrengo hiru gainazalhauekmugatutakogorputzaren bolumena da: 1: z=f(x,y) gainazala. 2: z=0 planoa. 3: D-ren mugaren gainetikdoanlerrobertikalbateksortutakogainazalzilindrikoa. Gainazalzilindrikoasortzekoerabiltzen den lerro bertikalariazalzilindrikoarensortzaileadeitzendiogu, eta D-ren muga-lerroariazalzilindrikoarenzuzendaria.

  7. Integral bikoitzarenpropietateak • Bifuntzioenbaturaren integral bikoitzabatugaifuntzioen integral bikoitzenbatura da: 2. Konstante bat biderfuntzio baten integral bikoitza, konstanteabiderfuntzioaren integral bikoitza da: Aurrenekobipropietatehauengatik integral bikoitza eragiketalinealadelaesatendugu.

  8. Integral bikoitzarenpropietateak • D integrazioeremuanf(x,y) ≥g(x,y) bada,orduan • D integrazioeremuabarne-puntukomunikgabeko D1 eta D2 eremupartzialezosatutabadado, integral bikoitza bitan banatudaiteke:

  9. Integral bikoitzarenpropietateak • D integrazioeremuanf(x,y)=1 funtziokonstanteaintegratuz D eremukoazaleralortukodugu: • D eremukopuntuguztietanm≤f(x,y)≤Mbetetzenbada, orduan: • D eremukoffuntziojarraiaren integral bikoitza era honetanjardaiteke non P, D eremekopuntupartikular bat (gutxienez bat) den (batazbestekoaren teorema).

  10. Integral bikoitzarenkalkulua Integral bikoitzarenkalkulua, neurri batean, D definizio-eremuko formaren menpekoa da. Hurrengo irudikoakintegrazioeremuerregularrak edo I motako integrazioeremuakdeitzendira:

  11. Integral bikoitzarenkalkulua D eremuerregularrax-renbifuntziojarraienkurbenarteangelditzen da etahonelaadierazidaiteke: I motakoeremu batean f(x,y) funtziojarrai baten integral bikoitzakalkulatzekohurrengo erakointegralarekinaritzengara (integral berrituaedo integral iteratua): Ikustendugunez integral iteratuaegiteaaldagaibakarrekobi integral egitea da, bata bestearenatzetik, lehenegoa, parentesiarenbarrukoa, y-rekiko, etabigarrenax-rekikoa. Lehenengointegralax konstantetzathartuzegiten da etahortikateratzendenax-renfuntziojarraia da: Kanpokointegralarenmugakkonstanteakdira, eta integral iteratuarenemaitzazenbaki bat da:

  12. Integral bikoitzarenkalkulua Adibidea:

  13. Integral bikoitzarenkalkulua Adibidea:

  14. Integral bikoitzarenkalkulua

  15. Integral bikoitzarenkalkulua II motakointegrazioeremuak ere definitudaitezke. Hurrengo eratakoakdiraetairudianbiadibideerakustendira:

  16. Integral bikoitzarenkalkulua II motakointegrazioeremuetanegindako integral bikoitzahurrengo integral berritu edo iteratuarenbidezkalkulatzen da: non, barrukointegrala (lehendabiziegitendena) x-rekikoa den etakanpokoa y-rekikoa.

  17. Integral bikoitzarenkalkulua Adibidea:

  18. Integral bikoitzarenkalkulua

  19. Integral bikoitzarenkalkulua

  20. Integral bikoitzarenkalkulua Adibidea:

  21. Integral bikoitzarenkalkulua

  22. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez

  23. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez Adibidea:

  24. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez

  25. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez

  26. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez

  27. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez Adibidea:

  28. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez

  29. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez Adibidea:

  30. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez

  31. Aldagaialdaketa integral bikoitzetan Integral bikoitzarendefinizioanesangenuenberebalioezzela D eremukozatiketa motaren menpekoa, hau da, Dsi, elementuen forma edozein izan zitekeen. Integral bikoitza, integral iteratuarenbidez, x-rekikoeta y-rekiko bi integral sinplebilakatzenzen. Horrela, bolumentotalalortzen da dxdyoinarriinfinitesimaladutenparalelepipedoenbolumenakelkarri batuz (integratuz). Koordenatukartesiarhauekezdirabetisuertatzenegokienak (edo errazenak) integralakkalkulatzeko, etahorregatikdefinitzendira bestekoordenatu-sistema batzuk.

  32. Aldagaialdaketa integral bikoitzetan Koordenatupolarrak: OXY planokopuntuak deskribatzekobeste sistema da:

  33. Aldagaialdaketa integral bikoitzetan Koordenatu polar hauek oso egokiakdirahurrengomotakoeremuetanintegralakkalkulatzeko:

  34. Aldagaialdaketa integral bikoitzetan D integrazioeremuarenzatiketaeginzitekeenlauki kartesiar (dA=dxdy) infinitesimalenbidez, edo, hurrengoirudian Erakusten den lauki polar (dA=rdrdq) infinitesimalenbidez:

  35. Aldagaialdaketa integral bikoitzetan Adibidea:

  36. Aldagaialdaketa integral bikoitzetan Adibidea:

  37. Aldagaialdaketa integral bikoitzetan

  38. Aldagaialdaketa integral bikoitzetan Integrazioeremuakkonplexuagoak ere izan daitezke koordenatupolarrekin. Adibidezhurrengoirudikoa:

  39. Aldagaialdaketa integral bikoitzetan Edo bestehurrengoirudikoa:

  40. Aldagaialdaketa integral bikoitzetan Koordenatukartesiarrekinegitengenuenbezala, integrazio eremuarengainazalakalkulatunahibadugu, f(x,y)=1 funtzioa integratukodugu:

  41. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez Adibidea:

  42. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez Adibidea:

  43. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez

  44. Bestelakoaplikazioak Integral bikoitzak, Zientzian, arlo askotanagertzenzaizkigu. Magnitude batzurenkalkuluak integral bikoitzenbidezeginbehardira. Adibide batzuenlaburpenaaipatukodugu: 1. Xaflamehebatidagozkionhainbatpropietate, besteakbeste, bere masa, berarenkargaelektrikoaetaabarrekoak, kalkuladaitezkebialdagaikofuntzioen integral bikoitzenbidez:

  45. Bestelakoaplikazioak

  46. Bestelakoaplikazioak Adibidea:

  47. Bestelakoaplikazioak 2. Integral bikoitzarenbidez, xafla baten grabitate-zentrua, G, non dagoenkalkuladaiteke ere:

  48. Bestelakoaplikazioak Adibidea:

  49. Bestelakoaplikazioak

  50. Bestelakoaplikazioak

More Related