数学欣赏

Mathematics Appreciation 数学欣赏主讲：张文俊

第五章数学之奇

自言自语 数学中不少结论由于其巧妙无比而令人赞叹，正是因为这一点，数学才有无穷的魅力。

第一节实数系统 zwj@szu.edu.cn

实数集 有理数集实数系统 In This Section 一家人数系扩充概述连续统假设 zwj@szu.edu.cn

Hilbert 的旅馆 德国著名数学家大卫•希尔伯特曾经讲过一个精彩故事。在那里，希尔伯特成为一个旅馆的老板，这个旅馆不同于我们现实生活中的任何旅馆，它设有无穷多个房间。一天，该旅馆所有的客房已满。这时，又来了一位客人坚持要住下来。……

1 数系扩充概述

1. 实数系扩充历史 • 自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前。

1. 实数系扩充历史 • 分数（有理数）是“分”出来的，早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数。

1. 实数系扩充历史 • 无理数是“推”出来的，公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”。毕达哥拉斯(约公元前560——480年）

1. 实数系扩充历史 “无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑。

1. 实数系扩充历史 • 负数是“欠”出来的，它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的。我国三国时期数学家刘徽（公元250年前后）首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则。刘徽（公元250年前后）

正数与负数， 有理数与无理数，都是具有“实际意义的量”，称之为“实数”，构成实数系统。实数系统是一个没有缝隙的连续系统，任何一条线段的长度都是一个实数。 2. 复数系的产生与发展

2. 复数系的产生与发展 • 复数是“算”出来的。复数最初是在解二次方程中出现的， 1484年，法国数学家舒开（Chuquet,1445--1500）在其《算数三篇》中，解方程式 4＋x2＝3x，得根 x＝3/2±√(9/4-4)，他声明这个根是不可能的。

2. 复数系的产生与发展 意大利波洛尼亚大学数学教授卡达诺对于复数的建立起到重要作用。卡达诺(Cardano,1501--1576)

2. 复数系的产生与发展 1545年，卡达诺在《大衍术》中写到：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了。”

2. 复数系的产生与发展 1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数” （“想象中(imaginary)的数”）。笛卡尔(R.Descartes,1596--1661)

2. 复数系的产生与发展 1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i” 表示√(-1)，称为虚数单位。欧拉(L.Euler,1707~1783)

2. 复数系的产生与发展 在此之前的1748年，欧拉给出了著名公式 eix ＝ cosx + i sinx 发现了复数与三角函数的关系。

2. 复数系的产生与发展 1799年德国数学家高斯已经知道复数的几何表示；1831年，他用数对来代表复数平面上的点：(a,b)代表 a+bi。高斯(Carl Friedrich Gauss，1777—1855)

y O x 2. 复数系的产生与发展 (a,b) ~a+bi b a

2. 复数系的产生与发展 • 18世纪后期，随着复数与三角函数关系的揭示，复数的平面坐标的表达等，复数的意义逐渐被明确； • 19世纪上半叶，复变函数理论建立并得到广泛应用。

2. 复数系的产生与发展 1873年，我国数学家华衡芳(1833~1902)将意大利数学家邦贝利（Bangbeili1530~1590）《代数术》翻译为中文，将 “虚数”引入中国。

复数系 是保持四则运算基本性质的最大数系 3 超复数的产生

3. 超复数的产生 1843年爱尔兰数学家哈密尔顿发现有序四元实数组完全可以组成一个数系——叫“四元数”，这是一个乘法不满足交换律的数系。哈密尔顿（Hamilton, William Rowan, 1805—1865）

3. 超复数的产生 1847年，英国数学家凯莱进一步发现了八元数。这个数系的乘法不满足交换律，也不满足结合律。凯莱(Cayley,Arthur. 1821-1895)

自然数N 整数Z 有理数Q 实数R 复数（二元）C 四元数（乘法不可交换） 八元数（超复数）（乘法不可交换，也不能结合） 4 数系扩充的科学道理

4. 数系扩充的科学道理 • 逆运算在数系的扩充中扮演着极为重要的角色：逆运算的运算法则来源于正运算，因此比正运算困难，以致可能出现无法进行的现象，从而必须引进新东西，使数系得以扩展。

4. 数系扩充的科学道理 • 自然数中减法产生0和负数， 整数系统； • 整数中除法产生分数， 有理数系统； • 自然数中开方产生无理数， 实数系统； • 负数中开方产生虚数， 复数系统。

数系的每一次扩充， 基本都是运算的需要 1 实数的结构

5. 实数的结构 • 实数中正、负数、有理数都是容易被认识的，而无理数则是神秘的、复杂的、难以被认识的； • 实数中，整系数代数多项式的根叫代数数，例如，1，1/2，31/2，其中有理数是整系数一次多项式的根； • 实数中不是代数数的数叫超越数，例如，，e。

有理数 代数数实数实数无理数超越数 6、数集的地位

按照恩格斯所说， 各种数集是数学的两大基本柱石之一。整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的。 6. 数集的地位

按照20世纪 结构数学的观点，数学是研究模式与秩序的科学。数学研究的基本对象是各种各样的集合以及在它们上面赋予的各种结构. 6. 数集的地位

数学之比喻 数学像游戏，离不开道具和规则。数学中，各种集合是道具，而在各种集合上赋予的各种结构是规则。 6. 数集的地位

数学之比喻 数学像演戏，离不开演员和剧本。数学中，各种集合是演员，演员被分配了角色才能演戏。 6. 数集的地位

数集就是数学的一种道具，要在其上赋予代数结构、序结构、拓扑结构，才能展开数学理论。 6. 数集的地位在这里：有理数集

2 有理数集

1. 有理数的代数属性 • 有理数集是最小的数域有理数集在四则运算下是封闭的，而且加法、乘法满足结合律与交换律，并且满足乘法对加法的分配律，具有这种性质的数集叫做数域。 2. 有理数的几何属性

2. 有理数的几何属性 • 有理数在数轴上是稠密的、和谐的。稠密性：任意两个有理数之间，必然存在第三个有理数，而不管这两个有理数有多么接近。和谐性：有理数之间相处得亲密无间，对任意一个给定的有理数，永远找不到一个与之最接近的有理数。

x 1 1 0 2. 有理数的几何属性这里有有理数这两位之间有有理数 3. 有理数的集合特点

3. 有理数的集合特点 • 有理数是可数的——与自然数一样多 • 比较两个有限数量的东西孰多孰少的基本思想是直接或间接的一一对应。 • 1874年起，德国数学家康托开始研究这类问题，他将一一对应的思想应用于比较无穷集的元素多少问题。

康托（Georg Cantor; 1845—1918） • 1845年出生于圣彼得堡，犹太人后裔。 • 11 岁时进入德国，1867 年获柏林大学的博士学位，1872 年升为教授。 • 1874 年开始研究比较无穷集的元素多少问题。

先数数偶数 • 这个世界上，正偶数多一些，还是正整数多一些呢？ 1 2 3 4 5 6 7 8 …  2 4 6 8 10 12 14 16 … 知道了：所有正整数和所有正偶数都一样多！√

再数数平方数 • 这个世界上，平方数多一些，还是正整数多一些呢？ 1 2 3 4 5 6 7 8 …  1222324252627282 … 知道了：所有平方数和所有正整数都一样多！√

可数集 • 像自然数这样可以排成一列或者可以一个一个数下去的无限集叫做可数集。 • 因此偶数数集、平方数集都是可数集。

y 5 4 3 2 1 x 1 2 3 4 5 看看格点与整数的比较 1  (1 , 1) 2  (2 , 1) 3  (1 , 2) 4  (3 , 1) 5  (2 , 2) 6  (1 , 3) …  … … 结论：格点数量 = 整数数量

      整数、格点与有理数的比较 1 2 3 4 5 6 …       (1 , 1) (2 , 1) (1 , 2) (3 , 1) (2 , 2) (1 , 3) … 结论：整数数量=格点数量 =分数数量

有理数是可数集 有理数集是可数集 4. 有理数的长度为0

4. 有理数的长度为0 有理数在数轴上所占的长度为0 如果我们采取某种手段将全体有理数在数轴上挤压在一起，使其彼此之间没有重叠、也没有缝隙，它们能占用多大的长度？

数学欣赏

数学欣赏

Presentation Transcript