Algoritmos em Grafos

1. Algoritmos em Grafos Conceitos principais Prof. André Renato 1º Semestre / 2012

2. O que é um grafo? • Um grafo G(V,E) é um conjunto finito não-vazio de V e um conjunto E de pares não ordenados de elementos distintos de V. • Os elementos de V são denominados vértices e os elementos de E são denominados arestas. • A ordem de um grafo é a cardinalidade do conjunto de vértices V.

3. Conceitos • Cada aresta e  E pode ser representada pelos vértices (v1,v2) que a formam. • Os vértices v1 e v2 são chamados de extremos da aresta e. Também são classificados como adjacentes. • A aresta e é dita incidente a v1 e v2. • Duas arestas que possuam um extremo em comum são ditas adjacentes.

4. Conceitos • Um subgrafo G2(V2,E2) de um grafo G1(V1,E1) é um grafo tal que V2  V1 e E2  E1. • Se além disso, G2 possuir toda aresta (v,w) de G1 de forma que ambos v e w estejam em G2, este é considerado induzido pelo conjunto de vértices V2.

5. Conceitos 1 2 1 2 3 3 4 5 4 1 2 3 4

6. Conceitos • Normalmente um grafo pode ser visualizado através da sua representação geométrica, na qual os vértices são representados por pontos (ou pequenos círculos) e as arestas por linhas que conectam estes pontos.

7. Conceitos • Como desenhar um grafo? • O único cuidado que devemos ter para representar corretamente um grafo é preservar a correta relação de arestas com os seus respectivos vértices incidentes.

8. Conceitos • Isomorfismo: • Dadas duas representações geométricas distintas, correspondem elas ao mesmo grafo? • É possível fazer coincidir os vértices de duas representações de modo a preservar as relações de adjacência? • Em caso afirmativo, os grafos são chamados de isomorfos entre si.

9. Conceitos b • Isomorfismo: a 1 4 f c 2 3 8 7 d 6 5 e h g j p i k l o n m

10. Conceitos • Existem arestas cujos extremos sejam o mesmo vértice? • Sim; estas arestas são chamadas de laços (loopback). • Aplicações???? ... ...

11. Conceitos • Pode existir grafos com mais de uma aresta incidente aos mesmos vértices? • Sim; neste caso, o grafo é chamado de multigrafo. As arestas são chamadas de paralelas. • Aplicações???

12. Conceitos • Uma aresta e, incidente a v1 e v2, provê uma relação reflexiva entre estas vértices. Ou seja, v1 está conectado a v2 da mesma forma que v2 está conectado a v1. • Uma aresta onde esta propriedade reflexiva não esteja preservada é pode ser chamada de arco e normalmente é representada por uma seta. v1 v2

13. Conceitos • Neste caso a relação de v1 para v2 é distinta da relação de v2 para v1. • Grafos que possuam arcos são chamados de grafos direcionados (digrafos); os demais, de grafos não-direcioanados. • Uma aresta e = (v1,v2) pode ser entendida como um par de arcos (v1,v2) e (v2,v1). v1 v2 v1 v2

14. Conceitos • Grau de um vértice v: • é a quantidade total de arestas incidentes a v; • Em grafos direcionados, existem o grau de entrada e o grau de saída; • Grau de entrada: é a quantidade de arcos que chegam a v; • Grau de saída: é a quantidade de arcos que partem de v;

15. Conceitos • Grau de um vértice v: • um vértice com grau de entrada zero é chamado de fonte; • um vértice com grau de saída zero é chamado de sumidouro;

16. Conceitos • Vértices que possuam grau igual a zero, são chamados de desconexos. • G será totalmente desconexo se não possuir arestas. • Um grafo será considerado conexo se e somente se for possível sair de v e chegar a w, para todo par de vértices (v,w) do grafo. Será desconexo, caso contrário. • O grafo será fortemente conexo, se for possível sair de v, chegar a w e voltar a v, para todo par de vértices (v,w) do grafo.

17. Conceitos • Verificar!!!!

18. Conceitos • Qual a quantidade mínima de arestas um grafo deve ter para não ser desconexo? • Qual a quantidade máxima de arestas um grafo pode ter? • Considerar |V| = n e |E| = m.

19. Conceitos • Grafos regulares são aqueles em que todos os vértices possuem o mesmo grau.

20. Conceitos • Seja G(V,E) um grafo conexo. Um corte de vértices de G é um subconjunto de vértices de G que, se forem removidos, tornam G desconexo. • É possível fazer uma analogia para um corte de arestas. • Conectividade de vértices e conectividade de arestas é a cardinalidade dos respectivos menores subconjuntos.

21. Conceitos 1 1 1 3 4 3 4 2 2 2 5 5 5 6 6 6 8 8 8 7 7 7 • Seja um inteiro k positivo, diz-se que G é k-conexo em vértices (arestas) quando sua conectividade de vértices (arestas) é ≥ k. • O primeiro grafo é 1-conexo em vértices, 1- e 2-conexo em arestas. • 2-conexo -> biconexo

22. Conceitos • Uma articulação é um vértice v que, se removido, torna o grafo desconexo. • Uma ponte é uma aresta que causa o mesmo efeito. Componentes biconexos (blocos)

23. Conceitos • Grafos que possuam arestas entre todos os pares de vértices de V são chamados de grafos completos. • Um grafo completo pode ser representado pela notação Kn, onde n é a ordem do grafo. K5

24. Conceitos • O complemento de um grafo G(V,E) é em grafo G que possuam todos os vértices de V e todas as arestas que faltam a E para que G seja completo.

25. Conceitos • Clique é um subgrafo G2 de G1, tal que G2 seja completo. • Clique maximal é o subgrafo G2 de maior ordem possível. Ou seja, é o maior subgrafo completo de G1.

26. Conceitos • Em um grafo G(V,E), uma partição é a divisão do conjunto V em dois ou mais subconjuntos com interseção vazia. A união desses subcojuntos deve resultar em V. • Além disso, as arestas de E só podem conectar vértices de subcojuntos distintos. • O caso mais usual é de grafos bi-partidos (bipartite).

27. Conceitos

28. Conceitos • Seja um grafo G(V,E) e um conjunto de cores C={ci}, uma coloração de G é uma atribuição de cores aos vértices de V, sem que vértices adjacentes tenham a mesma cor.

29. Conceitos • Uma k-coloração de G é uma coloração que utiliza k cores. Diz-se que G é k-colorível. • O número cromático X(G) de um grafo G é o menor número de cores k, para o qual existe uma k-coloração.

30. Conceitos • Seja G um grafo e R sua representação geométrica. R é dita plana quando não houver cruzamento de linhas. • Um grafo que possuir pelo menos uma representação plana é chamado de planar.

31. Conceitos • G é imersível em uma superfície S se possuir uma representação R desenhada em S, tal que duas linhas não se cruzem. • Neste caso, as linhas dividem a superfície em faces. Existem sempre uma face não limitada chamada de externa. f3 f4 f2 f1

32. Conceitos • Fórmula de Euler para poliedros: n + f = m +2 • Cada face é limitada por, no mínimo 3 arestas. Cada aresta pertence a exatamente duas faces. Logo, 2m ≥ 3f. • Aplicando, m ≤ 3n -6, para que um grafo seja planar.

33. Conceitos • Se a um grafo G(V,E) for associada uma função f:E=>R, diz-se que o grafo é ponderado em arestas. • Em outras palavras, cada aresta do grafo deve estar associada a um número real. 2 3 -0.5 -1

34. Conceitos • O valor associado a cada aresta é chamado de peso da aresta. • Uma aresta pode ter peso zero, dependendo do problema relacionado. • Um grafo também pode ter pesos associados aos vértices. Neste caso, é denominado ponderado em vértices.

35. Conceitos • Grafos que não possuam pesos, são chamado de não-ponderados. • Dependendo do problema a ser estudado, valores específicos (pesos) podem ser dados a vértices e arestas. • Outro atributos também podem ser associados a estes elementos.

36. Conceitos • Sejam G1(V,E1) e G2(V,E2) dois grafos que compartilham o mesmo conjunto de vértices, tal que E1 E2. • Um grafo G(V,E) é considerado grafo-sanduíche de (G1,G2) se E contiver E1 e estiver contido em E2.

37. Conceitos G1 G2 G G G G G G G

38. Aplicações • Roteamento 2 1 3 3 2 2 3 4 1

39. Aplicações • Escalonamento

40. Aplicações • Redes 10 2 3 2 2 4 3 2 1 3 5 3 1 2

41. Exercícios • Identificar: • Ordem do grafo • Graus dos vértices • Dois isomorfos • Subgrafo induzido por {1,3,4,5,8} • Dois subgrafos não-induzidos por {2,4,6,7,8} • O grafo é conexo, fortemente conexo ou desconexo? 3 2 4 8 1 5 6 9 7

42. Exercícios • Identificar: • Conectividade de vértices e arestas • Pontes e articulações • Dois blocos • Cliques de tamanho 3 ou maior • K-coloração (a menor possível) • Um subgrafo planar de ordem 5 ou maior • Complemento do grafo 3 2 4 8 5 1 6 9 7

43. Exercícios • Desenhar todos os grafos sanduíche: 3 3 2 4 2 4 5 5 1 1 6 6 8 8 7 7