Veza primala i duala

1. Veza primala i duala Osnovni teoremi Ekonomska interpretacija duala

2. Primal max c’x Ax ≤ A0 x ≥ 0 Dual min A0 ’y A’y ≥ c y ≥0 Standardni problem maksimuma i njegov dual

3. max c’x Ax+u=A0 x ≥ 0, u ≥ 0 min A0’ y A’y-v = c y≥ 0, v ≥ 0 Kanonski oblik primala i duala

4. Teorem1 • Ako je x moguće rješenje primala i y moguće rješenje duala onda je c’x ≤ A0’ y

5. Teorem 2-kriterij optimalnosti • Ako je x moguće rješenje primala i y moguće rješenje duala te c’x =A0’ y onda je x optimalno rješenje primala i y optimalno rješenje duala.

6. Osnovni teorem dualnosti • Ako primal i dual imaju moguće rješenje, onda oba problema imaju optimalno rješenje i jednake optimalne vrijednosti funkcije cilja. • Ako primal nema moguće rješenje, onda dual nema optimalno rješenje. • Ako dual nema moguće rješenje, onda primal nema optimalno rješenje.

7. Princip oslabljene komplementarnosti • Ako je x moguće rješenje primala, u odgovarajuće vrijednosti dodatnih varijabli, y moguće rješenje duala, v odgovarajuće vrijednosti dodatnih varijabli, onda je x optimalno rješenje primala i y optimalno rješenje duala ako i samo ako je x’v+u’y=0.

8. Primjedba • xj vj =0, j=1,…,n xj=0 ili vj=0, j=1,…,n • ui yi =0, i=1,…,m  ui=0 ili yi=0, i=1,…,m

9. Ekonomska interpretacija duala U problemu proizvodnje

11. Problem proizvodnje -fosfati • Varijabla odluke x ima dvije komponente te je razina proizvodnje ova dva proizvoda: • x1 mjesečna razina (u tonama) proizvodnje fosfata1 • x2 mjesečna razina (u tonama) proizvodnje fosfata2 • max(15x1+10x2 ) • 2x1+ x2 ≤ 1500 • x1+ x2 ≤ 1200 • x1 ≤ 500 • x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

12. Ekonomska interpretacija duala problema proizvodnje • Neka je • y1 interna cijena jedinice (1t) prve sirovine • y2 interna cijena jedinice (1t) druge sirovine • y3 interna cijena jedinice (1t) treće sirovine. • Onda je • 2y1+y2+y3 vrijednost pripisana proizvodnji jedne tone fosfata1 • y1+y2 vrijednost pripisana proizvodnji jedne tone fosfata2

13. Kako je x*=(300,900) optimalna razina proizvodnje, u*=(0,0,200) neutrošeni resursi tada je Vrijednost pripisana proizvodnji jedne tone Fosfata1=15$, vrijednost pripisana proizvodnji jedne tone Fosfat2=10$.

14. Princip oslabljene komplementarnosti -ravnoteža • Ako je xj >0 onda je vj=0. • Ako je ui >0 onda je yi=0. • Ako je vrijednost pripisana sirovini j pozitivna onda je ona u potpunosti iskorištena, odnosno ako je • yi >0 onda je ui=0. • Ako je vrijednost pripisana proizvodnji proizvoda j veća od dobiti onda se taj proizvod neće proizvoditi, odnosno ako je vj >0 onda je xj =0.

15. Kako je x1=300>0 onda je vrijednost pripisana proizvodnji 1t F1 2y1+y2+y3 =15 Kako je x2=900 > 0 onda je y1+y2 =10 Kako je u3=200>0 onda je y3=0. Treća sirovina nije u potpunosti iskorištena, vrijednost pripisana dodatnom angažmanu 1t treće sirovine je 0.

16. Riješimo sustav 2y1+y2 = 15 y1+y2 = 10 dobivamo y1 =5, y2 =5 i y3=0 optimalno rješenje duala. Cijena u sjeni prve sirovine je 5 jer dodatni angažman 1t prve sirovine povećava profit za 5$. Cijena u sjeni druge sirovine je 5 jer dodatni angažman 1t prve sirovine povećava profit za 5$.

17. Interpretacija • Dualna varijabla se može interpretirati kao vrijednost dodatnog angažmana odgovarajućeg resursa.

18. Aktivnosti u problemu proizvodnje su proizvodnja n proizvoda • Bazične aktivnosti u periodu planiranja su proizvodi koji će se proizvoditi. • Nebazične aktivnosti u periodu planiranja su proizvodi koji će se neće proizvoditi. • Usko grlo proizvodnje su resursi koji će se u potpunosti iskoristiti.

19. Optimalan raspored resursa na aktivnosti yidualna cijena, interna cijena jedinice resursa i, obračunska cijena jedinice resursa i, cijena u sjeni jedinice resursa i, oportunitetni trošak uporabe resursa jedinice resursa i. Pokazuje isplati li se povećati utrošak resursa i. Ako oportunitetni trošak proizvodnje jedinice proizvoda j premašuje dobit tada raspored resursa nije optimalan ako je aktivnost bazična (xj >0), jer se utrošeni resursi na proizvodnju proizvoda j mogu bolje upotrijebiti.

20. Ukupna vrijednost pripisana raspoloživim resursima • Cilj: trošak neiskorištene prilike ili oportunitetni trošak je jednak najvećoj dobiti. • Ukupni profit mora biti alociran na resurse preko dualnih cijena.

21. Problem proizvodnje 2 • Tri proizvoda proizvode se na dva stroja. Utrošak rada strojeva u satima za proizvodnju jedinice proizvoda, raspoloživi sati rada strojeva u planskom razdoblju i dobit po jedinici proizvoda dani su u tablici. • Formulirajte matematički model, riješite problem, formulirajte njegov dual i interpretirajte dual.

22. Tablica

23. Matematički model • x ≥ 0 je razina proizvodnje tri proizvoda. • Funkcija cilja je ukupna dobit od razine proizvodnje x, z(x)=2x1+3x2+x3 . • Ograničenja proizašla iz raspoloživih kapaciteta rada strojeva, x1+x2+x3≤ 20, x2+x3 ≤14.

24. Optimalno rješenje Optimalna razina proizvodnje je x*=(6,14,0), maksimalna dobit je z*=54 i kapaciteti strojeva u potpunosti su iskorišteni u*=(0,0).

25. Dualni problem min(20y1+14y2) y1≥ 2 y1+y2≥ 3 y1+y2≥ 1 y1,y2 ≥ 0

26. Interpretacija duala • Kako su vrijednosti pripisane proizvodnji drugog i trećeg proizvoda jednake, pripisujemo im veću dobit od njihove proizvodnje. • Time je vrijednost proizvodnje trećeg proizvoda veća od dobiti pa se taj proizvod neće proizvoditi. • Optimalno rješenje duala je y* =(2,1). • Dodatni angažman od jednog sata rada prvog stroja povećat će dobit za 2 jedinice. • Dodatni angažman od jednog sata rada drugog stroja povećat će dobit za 1 jedinicu.

27. Maksimalno korištenje sirovina

28. Ovaj problem je već formuliran i riješen. Formulirajte dual, odredite njegovo optimalno rješenje. Interpretirajte optimalno rješenje duala. ()…

29. Primjeri za vježbu • 1. Dva proizvoda treba proizvoditi na tri stroja. Raspoloživi kapaciteti strojeva (u satima) su: prvog stroja 140 sati, drugog 80 i trećeg 180. Za proizvodnju jedinice prvog proizvoda potreban je 1 sat rada prvog stroja, 1 sat rada drugog stroja i 3 sata rada trećeg stroja. Za proizvodnju jedinice drugog proizvoda potrebna su 2 sata rada prvog stroja, 1 sat rada drugog stroja i 1 sat rada trećeg stroja. Procijenjena dobit jedinice prvog proizvoda je 9 novčanih jedinica, , a drugog 6. Odredite optimalnu razinu proizvodnje dva proizvoda . • Formulirajte matematički model, riješite ga . Formulirajte dual, odredite optimalno rješenje duala, interpretirajte ga. Interpretirajte princip oslabljene komplementarnosti.

30. … • 2. Dva proizvoda treba proizvoditi na tri stroja. Raspoloživi kapaciteti strojeva (u satima) su: prvog stroja 150 sati, drugog 100 i trećeg 220. Za proizvodnju jedinice prvog proizvoda potreban je 1 sat rada prvog stroja i 2 sata rada trećeg stroja. Za proizvodnju jedinice drugog proizvoda potreban je 1 sat rada prvog stroja, 1 sat rada drugog stroja i 1 sat rada trećeg stroja. Procijenjena dobit jedinice prvog proizvoda je 8 novčanih jedinica a drugog 6. Odredite optimalnu razinu proizvodnje dva proizvoda. • Formulirajte matematički model i riješite ga . Formulirajte dual, odredite optimalno rješenje duala, interpretirajte ga. Interpretirajte princip oslabljene komplementarnosti.

31. … • 3. Dva proizvoda treba proizvoditi na tri stroja. Raspoloživi kapaciteti strojeva (u satima) su: prvog stroja 90 sati, drugog 40 i trećeg 70. Za proizvodnju jedinice prvog proizvoda potreban je 1 sat rada prvog stroja, 1 sat rada drugog stroja i 2 sata rada trećeg stroja. Za proizvodnju jedinice drugog proizvoda potrebna su 3 sata rada prvog stroja, 1 sat rada drugog stroja i 1 sat rada trećeg stroja. Procijenjena dobit jedinice prvog proizvoda je 12 novčanih jedinica , a drugog 18. Odredite optimalnu razinu proizvodnje dva proizvoda . • Formulirajte matematički model i riješite ga . Formulirajte dual, odredite optimalno rješenje duala, interpretirajte ga. Interpretirajte princip oslabljene komplementarnosti.