1 / 20

Restricciones de desigualdad

Restricciones de desigualdad. Prob. con restricciones de desigualdad: min x f ( x ) s.a c ( x )  0 Condiciones necesarias: c ( x )  0  f ( x ) +  c ( x ) T  = 0   0  T c ( x ) =0. 1. Restricciones de desigualdad. Dificultad:

lefty
Download Presentation

Restricciones de desigualdad

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Restricciones de desigualdad • Prob. con restricciones de desigualdad: minxf (x) s.a c (x)  0 • Condiciones necesarias: c (x) 0 f (x) + c (x)T = 0   0 Tc (x) =0 1

  2. Restricciones de desigualdad • Dificultad: • algunas condiciones son desigualdades • no podemos reducir el problema a un sistema de ecuaciones • Solución: • construir problemas aproximados con restricciones de igualdad 2

  3. Restricciones de desigualdad • Construcción de problemas aproximados: • funciones de barrera: términos en la función objetivo que se comportan como restricción • impiden tomar valores fuera de la región factible, y • no afectan a los valores en la región factible 3

  4. 16 14 12 x 1 10 8 x2 - log(x - 1) 6 4 2 f (x ) = x2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Restricciones de desigualdad • Ejemplo: minx x 2 s.a x 1 4

  5. Restricciones de desigualdad • Paso 1. Convertir restricciones: minxf (x) minx,sf (x) s.a c (x)  0  s.a c (x) - s= 0 s  0 • Paso 2. Llevar restricciones a la función objetivo minxf (x) -  ilog si s.a c (x) - s= 0 5

  6. Restricciones de desigualdad • Resultado teórico: • Sea x* () la solución del problema minxf (x) -  ilog si s.a c (x) - s= 0 , se cumple que lim0x* () = x*, donde x* es la solución de minxf (x) s.a c (x)  0 6

  7. Restricciones de desigualdad • Solución del problema modificado: • Paso 1. Seleccionar un valor inicial para , por ejemplo, 1 = 1 • Paso 2. Tomando como valor inicial x0 = x* (s-1) , resolver el problema minxf (x ) - s ilog si s.a c (x ) - s= 0 7

  8. Restricciones de desigualdad • Paso 3. Reducir el valor de , por ejemplo, s+1 = 0.1s y volver al paso 2. • El proceso se repite hasta que  es del orden del error deseado en la solución • Por ejemplo,  = 10-5 8

  9. Restricciones de desigualdad • Precauciones con la función objetivo • La función objetivo solo está definida para valores positivos de las variables si • El punto inicial ha de tener s estrictamente positivo • La longitud de paso debe asegurar que todos los puntos tengan las si positivas 9

  10. Restricciones de desigualdad • Cálculo de la longitud de paso • Queremos que el nuevo punto siga siendo positivo S(k+1) = s(k) + k pk > 0  mini {(s(k))i + k (pk)i} > 0 • Condición equivalente: k <   min{ si /(-pi )  pi < 0 } k = min{ 1 , 0.99 } • En caso de tener la restricción x 0, también se aplica esto a las xi 10

  11. Restricciones de desigualdad • Ejemplo: optimización de cartera minxxTRx s.a mTx 3.5 eTx = 1 x  0 • Datos: 1 1.64 25.9 55.6 e = , m = , R = 1 4.60 55.6 248 11

  12. Restricciones de desigualdad • Problema modificado: • Problema en forma estándar minx,sxTR x s.a mTx - s = 3.5 eTx = 1 x , s  0 • Problema con restricciones de desigualdad minx,sxTR x -  (i log xi + log s ) s.a mTx - s = 3.5 eTx = 1 12

  13. Restricciones de desigualdad • Paso 0. Sean x0 = [0.5 0.5]T , 0 = [0 0]T • Tomamos 0 = 0.1 • ¿Valor de s0? Positivo Por ejemplo, s0 = 0.5 > 0 • Paso 1.1. ¿Es solución? c (x0) = [-0.88 0]T f (x0) + c (x0)T0 = [81.3 303.4 -0.2]T 13

  14. Restricciones de desigualdad • Paso 1.2. Dirección de movimiento 2L (x0,0) c (x0)Td0 f (x0) - c (x0)T0 = - c (x0) 0 0c (x0) 52.2 111.2 0 1.64 1 81.3 111.2 496.4 0 4.6 1 d0 303.4 0 0 -0.2 -1 0 = — -0.2 1.64 4.6 -1 0 0 0 -0.88 1 1 0 0 0 0 d0 = [0.6687 -0.6687 -2.8593]T , 0 = [-1.3437 -39.6443]T 14

  15. Restricciones de desigualdad • Paso 1.3. Cálculo de la longitud de paso m (x ) = f (x ) +  c (x) , m (x0) = 105.2829 m (x0) = f (x0) + c (x0)Tc (x0) / c (x0) • = [64.9 257.4 9.8] ’(0) = m (x0)Td0 = -156.7414 < 0 • Si probamos con  = 1, x0 +  d0 = [1.1687 -0.1687 -2.3593]T La función objetivo no está definida 15

  16. Restricciones de desigualdad • Paso 1.3. Cálculo de la longitud de paso • Mayor paso admisible:  = min{xi /(-pi )| pi < 0} = min{0.5/0.6687 , 0.5/2.8593} = 0.1749  = min{1 , 0.995}  0.1731 • Comprobación de la condición: m (x0 ) = 105.2829 , m (x0 + p0) = 80.6952 m (x0 ) + m (x0 )Tp0 = 102.5694 > m (x0 + p0) • Aceptamos el paso 16

  17. Restricciones de desigualdad • Paso 1.4. Nuevo punto: x1 = x0 + p0 = [0.6158 0.3842 0.0050]T 1 = 0 + 0 = [-0.2326 -6.8632]T • Paso 2.1. ¿Es solución? c (x1) = [-0.7277 0]T f (x1) + c (x1)T1 = [67.2166 250.9592 -19.7674]T 17

  18. Restricciones de desigualdad • Programación lineal: minxcTx s.a Ax= b x  0 • Transformar el problema: minxcTx - s ilog xi s.a Ax= b • Aplicar el método de Newton • Actualizar s 18

  19. EJERCICIO • Ejercicio optimización con restricciones. x1 • Problema: min f (x )   (1+x12)(1+x22) s.a x12 + x22 <= 0.8 x >= 0 • Punto inicial: x0 = [ -0.6 -0.3 ]T , 0 = 0

  20. Resultados: ite f || c || || L(x, )|| 0 0.4656 0.2200 0.4859 1 0.4776 0.2180 0.4785 2 0.4922 0.2163 0.4726 3 0.4966 0.2158 0.4717 4 …. La convergencia es lenta.

More Related