Margita Vajsáblová

1. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 131 Margita Vajsáblová Stredové premietanie 1. časť - polohové úlohy

2. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 131 Rozšírený Euklidovský priestor • V Euklidovskom priestore množinu všetkých navzájom rovnobežných priamok nazývame smer a množinu všetkých navzájom rovnobežných rovín nazývame polohou. • Smer je určený jednou priamkou, poloha je určená jednou rovinou. • Teda všetky navzájom rovnobežné priamky sú priamkami toho istého smeru, ktorý je niekedy výhodné nazývať nevlastný bod (označenie U, V, ...). Potom pre každé dve rôzne priamky v rovine môžeme povedať, že majú spoločný práve jeden bod (ak sú tieto priamky rovnobežné, majú spoločný nevlastný bod). • Dve rovnobežné roviny majú spoločnú polohu, ktorú je niekedy výhodné nazývať nevlastná priamka (označenie  u,  v, ...). Potom pre každé dve rôzne roviny môžeme povedať, že majú spoločnú práve jednu priamku (ak sú roviny rovnobežné, majú spoločnú nevlastnú priamku). • Euklidovský priestor doplnený o všetky nevlastné body a nevlastné priamky nazývame rozšírený Euklidovský priestor(označenie ). • Niekedy je výhodné rozlišovať body a priamky, ktoré nie sú nevlastné a nazývať ich vlastné body, resp. vlastné priamky.  ´    U a´´   U  u  u a´   U a 

3. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 132 Stredové premietanie – základné pojmy Definícia: Majme bod S a vlastnú rovinu v , S. Zobrazenie, ktoré každému bodu A priradí usporiadanú dvojicu [A1,AS] , kde A1 je kolmý priemet bodu A do a AS je stredový priemet bodu A do  cez stred S, voláme stredové premietanie na priemetňu . Základné pojmy: •  –priemetňa, • S–stred premietania, d d S H H • H – hlavný bod – kolmý priemet bodu S do , • d = |S,  |– dištancia, . d . |A,| A1 A1 |A,| (S) . A . • Stredové premietanie je určené: (H, d) – prvky vnútornej orientácie • d = [H, r = d]– dištančná kružnica, pre jednoduchosť ju tiež budeme označovať d. (A) AS AS Obraz bodu: A[A1, AS], HA1 AS  Vzdialenosť bodu A od priemetne : • V sklopení premietacej roviny priamky SA do priemetne  : • H(S)= d, • (A)(S)AS, |A,|=|(A)A1|.

4. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 133 • Ak bod P   potom P1 PS . Stredové premietanie – obraz bodu d b B S B1 BS(b)  H H P1PS V1 V VS VS ’  P1PS • Ak bod B HS, potom B1 BS  H a obraz bodu musí byť daný aj b=|B, |. • Nech bod V ´, kde  ´: S ´, ´ , potomVV1,VS]. d HB1BS(b) H VS V1 d

5. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 134 Stredové premietanie – obraz priamky Stopník priamky a: a   =Pa, platí P1aPsa. Smerová priamka a´priamky a : S a´, a´a. Úbežník priamky a jeUSa: akUa je nevlastný bod priamkya, , potomUSa =a´, kdeS a´, a´ a. USa  a’ USa a1’ aS H S d aS  Ua d H P1aPSa P1aPSa  a1 a a1’  Ua  a1

6. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 135 Uholpriamky s priemetňou V stredovom premietaní sa uhol priamky s priemetňou rovná uhlu jej smerovej priamky s priemetňou: (a, )=(a’, ) teda v sklopení:(a, )=((a’),a1’) USa  USa (, ) aS S d aS H (S) (, )  a1’ Ua (a’) . H P1aPSa d a1’ P1aPSa  (, ) a a1 Ua a1 

7. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 136 • Akpriamkaprechádza bodomS a, potom aS USa  P1a  Stredové premietanie – obraz priamky S H d H a1 a a1 aSUSa Pa aSUSa Pa • Ak priamka b , potomUSb H a  b1  P1b • Ak priamka h ||  potom h1 || hS . H USb S b’ d d bS hS H HUSb b Pbb1 || h1 bS || b1Pb 

8. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 137 Stredové premietanie – obraz roviny Stopa roviny :    = p, platíp1ps.  Smerová rovina´roviny  : S ´, ´. Úbežnicaroviny  jeuS:akuje nevlastná rovina roviny , , potom uS= ´, kde S ´, ´. uS Platí:uSp H S d ’  uS  p H d   u p 

9. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 138 Stredové premietanie – obraz roviny Hlavné priamky roviny : h, platíhpuS  Spádové priamky roviny : s  h (p) s1  p, USssS , kde USs= s’uS ,Ss’, s’s’ USs– hlavný úbežník roviny . USs . uS s’ s1’ H S d sS uS  USs  . H . d p sS hS h  p .  s  s1’ s1 s1

10. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 139 Uhol roviny s priemetňou sa rovná uhlu jej spádovej priamky s priemetňou: (, )=(s, ) Uhol roviny s priemetňou  V stredovom premietaní platí: (s, )=(s’, ), USs teda v sklopení:(, )=((s’), s1) uS (, ) s’ . H S d uS sS USs  s1’  (, ) (S) H sS . (s’ ) p s1’ (, ) d s p .   s1 s1

11. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 140 Stredové premietanie – obraz roviny • Ak bodSleží vrovine , S , potom S uS  p S uS  p d S S uS  p H H   • Ak rovina   , potom H uS d H USs ’ S uS H USs uS p  p 

12. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 141 Vzájomná poloha 2 priamok v stredovom premietaní 1. Rovnobežné priamkya b, potom platíUSa Usb. Pre ich smerové priamky platí a´  b´. USa USb USa USb  a’ b’ bS bS aS aS H S d d H  UaUb Pb  Pa Pa b b1 Pb  a1’ b1’ Ub a1  a b1  a1  Ua

13. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 142 Vzájomná poloha 2 priamok v stredovom premietaní 2. Rôznobežné priamkya Xb, potom platíPaPb  USaUsb. Existuje rovina  ( a,b), p= PaPb ,uS= USaUsb.  uS USb  USa USb uS  RS USa b’  d a’ S H H  ’ p Pb p   Pa Pa Pb aS bS  a  b 

14. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 143 Vzájomná poloha 2 priamok v stredovom premietaní 3. Mimobežné priamkya, b– neplatia pravidlá pre rovnobežné a rôznobežné priamky. USa H USb d Pa Pb aS bS

15. Vzájomná poloha 2 rovín v stredovom premietaní Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 144 1. Rovnobežné roviny , potom platíuS uS .  Smerové roviny sú totožné´ ´. uS uS uSuS  ’ ´ S H d H  d p  p  p  p   

16. Vzájomná poloha 2 rovín v stredovom premietaní Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 145 2. Rôznobežné roviny   = m, potomPm = p p, USm= uS uS (ak m nie je rovnobežné s ). uS uS USm  H  d mS p  p Pm 

17. Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 146 Vzájomná poloha priamky a roviny v stredovom premietaní • Priamkaa je rovnobežná s rovinou  potomUSa  uS . • Priamkaa leží v rovine , potomPap, USa  uS . uS uS USa USa aS aS p p Pa Pa • Priamkaa je rôznobežná s rovinou , teda a   = R: d uS Riešenie v stredovom premietaní a  :  H USa • Ľubovoľná rovina(p, uS ),a  :Pap, USa  uS uS  USm aS •     m: Pm=p p, USm= uS  uS , mS= PmUSm mS RS p   p Pm • aS mS =RS R = a   Pa