一、复习图论的概念

1 2 3 一、复习图论的概念 • 简单图：没有环和多重边（关联同一对顶点的二条以上的边），则称为简单图。（一般指无向图） • 简单图中，任一回路的长度至少是3。 • 基础图：从图G中删去所有环，并使每一对相邻的顶点只留下一条边，即可得到G的一个生成子图，称为G的基础简单图 • 点的可达：u和v是有向图的两个顶点，若有一条从u到v的有向路，则称v是从u可达的，或者说u可达v • 完全图：图中每一对不同顶点都有一条边相连

二、连通性 • (1)如果有向图D的任意两个顶点都互相可达，则称D是强连通 • (2)如果有向图D的任何两个顶点至少由一个顶点到另一个顶点可达，则称为单向连通 • (3)若D的基础图Gd是单向连通，则称D为弱连通 • 显然，每一个强连通是单向连通的，而每一个单向连通是弱连通

1 2 1 2 1 2 5 5 5 4 3 4 3 4 3 (c)弱连通图 (b)单连通图 (a)强连通图

三、连通分量

A B C D E F G 一个连通分量 • 1、连通分量概念 • 无向图的极大连通子图成为一个连通分量。 • 2、求一个无向图的所有连通分量， • 可以使用标号法。 Var visited=array[1..n] of datatype; mark:integer; Procedure connect() Var i:integer; Begin fillchar(visited,sizeof(visited),0); mark:=1; for i:=1 to n do if visited[i]=0 then begin dfs(I, mark,visited[i]); inc(mark); End; End; Procedure dfs(k,mark:integer,var t:integer ); Var i:integer; Begin if visited[k]<>0 then exit; t:=mark; //置标识 for i:=1 to n do if a[k,i]<>0 then dfs(I,mark,visited[i]) End;

1 1 2 3 3 2 4 4 3、 2-连通分量 • 在一个无向连通图G中，如果任意去掉一个顶点i以及与i相连的所有边后所得到的图依然是连通的，则称该图为2-连通图。否则，如果去掉顶点i，得到两个或两个以上的连通分量，则该图不是2-连通的，顶点i被称为关键顶点。 (a)2-连通图 (b)非2-连通图

4、性质 • (1)在2-连通图中，任何一对顶点都至少存在两条路径可以相互到达。图的连通性不会受任何一个顶点的影响。 • (2)无向图的极大2-连通子图称为2-连通分量。 • A、一个无向图都具有1个或多个2-连通分量。如果无向图是一个2-连通图，那么它本身就是自己唯一的连通分量。 • B、一个无向图具有2个或2个以上的连通分量时，它的任意两个2-连通分量最多只可能有一个公共顶点。（请用反证法进行证明）

6 1 4 2 3 5 图1 图1是无向图，顶点3为图中关键顶点，可知图1不是2-连通图，包含2个2-连通子图(1,2,3),(3,4,5), 假设：在图1上有另外一个公共顶点6，就是说图1中两个2-连通子图之间有2个公共顶点。从用2-连通图的定义可知，图1就是一个2-连通图，整个图是一个连通分量，这与题中的2个2-连通分量相矛盾。因此，性质b是正确的 • C、同一条边不可能处在多个2-连通分量中 • 证明：任意一条边p连接顶点(a,b)，如果p属于两个2-连通分量中，则顶点a，b在两个连通分量中，与性质b矛盾。 • 因此，所有的2-连通分量事实上把整个无向图的边划分为互不相交的边子集。 • Menger定理：设G是简单图，则G是k-连通图的充分必要条件是G中任何两点之间有k条独立路（无公共点的路）

1 6 1 2 4 5 2 7 3 5 8 3 6 4 (a)无向图 (b)深度优先搜索生成树 7 8 • 5 找一个无向图G的所有2-连通分量的方法： • 深度优先搜索的生成树。 • 如图：注意： (b)图中两条虚线边，属于图G不属于生成树的边，称为回边（1）如果生成树的根是关键顶点，当且仅当它有多于一个子女。（2）如果生成树的非根节点是关键顶点，当且仅当它没有一个后代可以通过回边回到它的祖先反过来，如果有一个或多个后代有回边回到它的祖先，非根节点是关键节点是否成立？？

在dfs生成树中，一般还定义一个dfn(x)表示x在dfs中访问次序，例如dfn(x)=4，表示顶点x是第4个被访问的顶点。如果有dfs(i)<dfs(j)，则表示顶点i是优先于j访问的。在dfs生成树中，一般还定义一个dfn(x)表示x在dfs中访问次序，例如dfn(x)=4，表示顶点x是第4个被访问的顶点。如果有dfs(i)<dfs(j)，则表示顶点i是优先于j访问的。 • 为了方便知道一个顶点是不是关键顶点，对于每一个顶点定义一个值low，low[i]是从顶点i或i的后代出发通过回边所能到达的最低深度优先数。 • Low[i]:=min{dfn[i], • min{low[j]|j是i的子女}, • min{dfn[k]|(i,k)是一条回边} • }

Dfn:=1 Low:=1 Dfn:=2 Low:=2 1 Dfn:=3 Low:=3 Dfn:=5 Low:=5 2 Dfn:=6 Low:=6 Dfn:=4 Low:=1 3 Dfn:=7 Low:=7 5 6 Dfn:=8 Low:=5 4 (b)深度优先搜索生成树 7 8 从右图中，可以看出这里有两个2-连通分量。注意：红色的部分要在最后修改如果，（1，5）之间有一个回边，那么右图中dfn与low数组的变化情况会如何呢？下图从v3开始搜索：

6 1 6 1 4 5 4 5 2 7 2 7 3 8 8 3 (a)无向图 (b)无向图同一个连通分量成为块，块与块之间的路称为桥。深度优先搜索树本身只能求连通分量，但是可以通过标志，保存很多重要的信息， Dfn与low的标志为我们提供了求块，桥，以及关键顶点起到重要的作用。左图的关键顶点为：2 5 桥：e[2,5] 块 {1，2，3，4} {5，6，7，8} 右图的关键顶点为：？桥：？块？请画出dfs树

我们曾学习过求有向图强连通分量的三个算法：我们曾学习过求有向图强连通分量的三个算法： Tarjan算法、Kosaraju算法、Gabow算法都与深度优先搜索树有关系。要求掌握Tarjan算法，并且写出无向图的求连通分量的算法！！

一、复习 图论的概念