Nazwa szkoły: GIMNAZJUM NR 2 IM. POWSTAŃCÓW WIELKOPOLSKICH W WOLSZTYNIE

2. DANE INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • GIMNAZJUM NR 2 IM. POWSTAŃCÓW WIELKOPOLSKICH W WOLSZTYNIE • ID grupy: • 98/4_MF_G2 • Kompetencja: • MATEMATYCZNO-FIZYCZNA • Temat projektowy: • ŚREDNIE LICZB DODATNICH • Semestr/rok szkolny: • VISEMESTR 2011/2012

3. REALIZATORZY PROJEKTU COMBIDATA Poland Sp. z o.o. Uniwersytet Szczeciński

4. PATRONI PROJEKTU ZachodniopomorskiKurator Oświaty Wielkopolski Kurator Oświaty Lubuski Kurator Oświaty

5. AGENDA 1. Dane informacyjne. 2. Średnia arytmetyczna. 3. Średnia geometryczna. 4. Średnia harmoniczna. 5. Nierówność Cauchy’ego. 6. Inne średnie.

6. ŚREDNIE LICZB

7. ŚREDNIA ARYTMETYCZNA

8. DEFINICJA Średnia arytmetyczna n liczb- to suma tych liczb podzielona przez ilość n liczb.

9. WZÓR

10. PRZYKŁAD Wybieramy liczby: 5, 3, 4, 4, 5, 5, 4, 3, 4, 4 i obliczamy ich średnią arytmetyczną. Obliczenia: (5+3+4+4+5+5+4+3+4+4): 10= 4,1 Średnia arytmetyczna tych liczb to 4,1.

11. DEFINICJA GEOMETRYCZNA ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, to długość odcinka przechodzącego przez punkty C i D, które są środkami ramion trapezu jest średnią arytmetyczną długości podstaw.

12. ZASTOSOWANIE ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Średnia arytmetyczna jest najbardziej intuicyjną miarą oceny populacji stosowaną w codziennym życiu. Możemy mówić o średniej ocen z przedmiotu, średniej płacy w firmie, średnim wzroście pewnej grupy ludzi itd.

13. PRACA W EXCELU

14. PRZYKŁADOWE ZADANIA Zadanie 1. Na lekcji matematyki nauczycielka oddała klasówki. Średnia arytmetyczna punktów uzyskanych przez klasę z tego sprawdzianu wynosiła 3,6. Dwóch uczniów otrzymało po 2 pkt., siedmiu po 3 pkt., ośmiu po 4 pkt. Pozostali uczniowie dostali po 5 pkt. Ilu uczniów pisało klasówkę?

15. ROZWIĄZANIE Odp. : Klasówkę pisało 20 uczniów.

16. Zadanie 2. W prywatnej hurtowni artykułów „Stalowych i Żeliwnych” łącznie z dyrektorem pracuje 13 osób . Jest ośmiu pracowników fizycznych, dwóch kasjerów, jeden księgowy i jeden zaopatrzeniowiec. Pracownicy fizyczni otrzymują po 1700 zł wynagrodzenia miesięcznie, kasjerzy po 1900zł, księgowy i zaopatrzeniowiec po 3200 zł, a dyrektor tyle co dwóch kasjerów. Oblicz jaka jest średnia miesięczna płaca w tej firmie. PRZYKŁADOWE ZADANIA

17. ROZWIĄZANIE Odp. : Średnie wynagrodzenie miesięczne wynosi 2123 zł.

18. ODPOWIEDNIK WAŻONY ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Czasem przy obliczaniu średniej niektóre z danych wejściowych mają większe znaczenie (większą wagę) niż inne. Tu z pomocą przychodzi średnia ważona.

19. PRZYKŁAD NA ŚREDNIĄ WAŻONĄ 2,9 Zadanie 1. Oceny: sprawdziany 2, 5; kartkówki 4, 1, 2; zadanie domowe 3. Sprawdziany mają wagę 3, kartkówki wagę 2, zadania domowe 1. Średnia ważona ocen wynosi 2,9.

20. PRZYKŁAD NA ŚREDNIĄ WAŻONĄ Odp. : Średnia ważona wynosi 18,375. Zadanie 2. Oblicz średnią ważoną liczb 3,8,8,8,32,34,35 jeżeli liczby parzyste mają wagę 0,4 a nieparzyste 0,6.

21. ŚREDNIA GEOMETRYCZNA

22. DEFINICJA Gdy wartości zmiennej występują z różną częstością, wówczas stosuje się wzór ważony na średnią geometryczną: Średnia geometryczna jest pierwiastkiem n-tego stopnia z iloczynu n wartości zmiennej:

23. MÓWIĄC PROŚCIEJ…

24. DEFINICJA GEOMETRYCZNA ŚREDNIEJ GEOMETRYCZNEJ Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach ai b, to długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i dzielący trapez na dwa trapezy podobne jest równa średniej geometrycznej.

25. Za pomocą średniej geometrycznej można wyliczyć oprocentowanie odsetek. Średnia geometryczna znajduje również zastosowanie przy badaniu średniego tempa zmian zjawisk, których rozwój przedstawiony jest w postaci szeregów dynamicznych. ZASTOSOWANIE

26. ZADANIE Podczas sezonowej pracy na plantacji truskawek Kasia zebrała 40 kobiałek, Tomek 72 kobiałki, a Zosia 75 kobiałek truskawek. Dziwnym trafem średnia liczba kobiałek truskawek zebranych przez pozostałe osoby stanowiła średnią geometryczną liczb kobiałek Kasi, Tomka i Zosi. Oblicz, ile wszystkich osób pracowało na tej plantacji, wiedząc, że średnia liczba zebranych przez nich kobiałek truskawek była równa 61.

27. ROZWIĄZANIE

28. ZADANIA W EXCELU Zadanie polega na obliczeniu średniej geometrycznej z liczb: 1,2,7,5,4. Wpisujemy je w pierwszej kolumnie w arkuszu Excela.

29. JAKIE KROKI KOLEJNO ROBIMY W komórce C1 wpisujemy formułę:=ŚREDNIA.GEOMETRYCZNA(A1:A5) i naciskamy Enter. Spowoduje to obliczenie odpowiedniejśredniej.

30. WYNIK MAMY JUŻ GOTOWY

31. ŚREDNIA HARMONICZNA

32. Średnia harmoniczna Średnią harmoniczną (dla liczb różnych od zera) nazywamy odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności tych liczb.

33. Średnia harmoniczna Mówiąc prościej … Średnia harmoniczna jest to iloraz ilości pomiarów "n", dla których liczymy średnią przez sumę odwrotności tych liczb.

34. Wzór

35. Zadanie Oblicz średnią harmoniczną dla liczb: 9, 4 Obliczenia: Odp. : Średnia harmoniczna wynosi .

36. Definicja geometrycznej średniej harmonicznej Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, to długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu jest równa średniej harmonicznej.

37. Za pomocą średniej harmonicznej można obliczyć np. : prędkość pojazdu gęstość zaludnienia ZASTOSOWANIE

38. Przykładowe zadanie Turysta jechał rowerem przez 2 godziny z prędkością 15 km/h, a przez następne 4 godziny z prędkością 9 km/h. Oblicz średnią prędkość jazdy za pomocą średniej harmonicznej.

39. Rozwiązanie Odp.: Średnia prędkość rowerzysty to 11 km/h.

40. ZADANIA W EXCELU Załóżmy, że chcemy obliczyć średnią harmoniczną następujących liczb: 5,4,5,3,7. Wypełniamy arkusz w Excelu w następujący sposób: 

41. Następnie w komórce C1 wpisujemy następującą formułę: =ŚREDNIA.HARMONICZNA(A1:A5)  Spowoduje to, że Excel obliczy nam średnią harmoniczną z wpisanych danych: 

42. Obliczanie średniej prędkości za pomocą średniej harmonicznej Drogę z A do B samochód przebył z prędkością  a z B do A z prędkością  . Jaka jest średniaprędkość na trasie A – B – A?

43. ROZWIĄZANIE • Oznaczmy przez s odległość od Ado B: • czas jazdy z Ado B, • czas jazdy z B do A. Czas jazdy w obie strony wynosi: Prędkość średnia równa jest: 

44. Zadanie Średnia harmoniczna dwóch kolejnych liczb nieparzystych wynosi 9,9. Znajdź te liczby.

45. Rozwiązanie 2n+ 1 ; 1 liczba nieparzysta 2n+3 ; 2 liczba nieparzysta

46. Ponieważ nie potrafimy obliczyć tego równania zastosowaliśmy metodę prób i błędów. Podstawiamy dowolne liczby (te które wydają się nam najbliższe wynikowi) aż do oczekiwanego skutku Doszliśmy do wniosku, że tymi liczbami są 9 i 11.

47. Sprawdzenie

48. Zadanie Średnia harmoniczna dwóch liczb jest równa 60. Wiedząc, że jedną z liczb jest 40, oblicz drugą liczbę.

49. Rozwiązanie Wzór : 2 = 2 = 2- x= 120

50. Odpowiednik ważony średniej harmonicznej • Średnia ważona harmoniczna obliczana jest jak niżej: • Gdy wszystkie wagi są równe, wówczas średnia ważona harmonicznarówna się średniej harmonicznej. • Definicja średniej ważonej odgrywa ważną rolę w statystyce opisowej oraz pojawia się w innych formach w innych obszarach matematyki.