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Unidade I. Introdução à Matemática Computacional. Professora: Ana Cristina G. e Silva Natal-RN. Índice. Vetores no R 2 , R 3 , R n Espaço Vetorial Combinação linear Vetores LI e LD Base Resolução de sistemas lineares Determinação da Inversa de uma matriz. Vetores no R 2.

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Presentation Transcript
Unidade i

Unidade I

Introdução à Matemática Computacional

Professora: Ana Cristina G. e Silva

Natal-RN


Índice

Vetores no R2, R3, Rn

Espaço Vetorial

Combinação linear

Vetores LI e LD

Base

Resolução de sistemas lineares

Determinação da Inversa de uma matriz


Vetores no R2

Representação:


(2, 4, 3)

Vetores no R3

Representação:


Vetores no Rn

Representação:

Operações

e

Adição:

Multiplicação por escalar:


E devem satisfazer, para quaisquer

e

5)

1)

As seguintes propriedades:

6)

2)

7)

3)

Existe tal que

8)

4)

Existe tal que

Espaço Vetorial

Definição:

Espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, no qual estão definidas duas operações

Soma:

Mult. por escalar:


Combinação Linear

Definição:

Sejam V um espaço vetorial real (ou complexo),

e

reais (ou complexos). Então,

é um elemento de V ao que chamamos de combinação linear de

Ex:


Dependência e Independência Linear

Definição:

Sejam V um espaço vetorial e

. Dizemos que o conjunto

é Linearmente Independente (L.I.), ou que os vetores são L.I,

se a equação

. Caso exista algum

dizemos que

Implica que

é Linearmente dependente (L.D.), ou que os vetores são L.D.

Exemplo

O conjunto

é LD ou LI ?


De ( II ) vem que

Substituindo o valor de a em ( I ) ficamos com

e

Fazendo, por exemplo,

obtemos

Encontramos a seguinte combinação linear

Logo, o conjunto é LD.

é LD ou LI ?

Solução:

O sistema admite infinitas soluções. Façamos c a variável livre.


Base

( i )

é LI, e

( ii )

Exemplo:

é uma base de ?

Solução:

Temos que verificar se

( i )

é LI, e

( ii )

( i )

Logo,

é LI

Definição:

será uma base de V (um espaço vetorial qualquer), se:

Substituindo ( I ) em ( II ) encontramos


Base

Portanto,

Logo,

é uma base de .

Exemplo:


Resolu o de sistemas lineares
Resolução de sistemas lineares

Seqüência de

operações elementares

Matriz ampliada

do sistema

Forma escada reduzida por linha

Portanto, o sistema é possível e determinado com solução única

Ex.:


Resolu o de sistemas lineares1
Resolução de sistemas lineares

Seqüência de

operações elementares

Matriz ampliada

do sistema

Ex.:


Como o número de variáveis é igual ao número de equações. O sistema é possível e determinado, ou seja, tem solução única.

Neste caso, o número de variáveis é maior que o número de equações. O sistema é possível e indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções. Isso significa que uma das variáveis , a variável livre, receberá um valor arbitrário.

Neste caso a última equação do sistema é sempre falsa, então o sistema é impossível e S =.

Soluções do sistema (método do escalonamento)

Ex.:


Determinação da Inversa de uma matriz equações. O sistema

A

I

Exemplo: Encontrar a inversa da matriz A.


I equações. O sistema

A-1

Portanto,


A equações. O sistema

I

 I

Quando A não admite inversa.

Exemplo:

Como a forma escada não é a identidade, a matriz Anão tem inversa.


Bibliografia equações. O sistema

- BOLDRINE, José L. – Álgebra linear – 3º edição Harbra LTDA


Ex.: equações. O sistema

Ex.:

Operações elementares

1)

(permutar duas linhas)

Ex.:

2)

e

3)

voltar


Forma Escada equações. O sistema

Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se

(1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.

(2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero.

(3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.

(4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da coluna j+1 em diante.

Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?

  (1) V

  (1) F

  (1) V

  (1) F


Forma Escada equações. O sistema

Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se

(1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.

(2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero.

(3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.

(4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da coluna j+1 em diante.

Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?

  (1) V

  (1) F

  (1) V

  (1) F

  (2) V

  (2) F


Forma Escada equações. O sistema

Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se

(1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.

(2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero.

(3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.

(4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da coluna j+1 em diante.

Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?

  (1) V

  (1) F

  (1) V

  (1) F

  (2) V

  (2) F

  (3) V


Forma Escada equações. O sistema

Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se

(1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.

(2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero.

(3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.

(4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da coluna j+1 em diante.

Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?

  (1) V

  (1) F

  (1) V

  (1) F

  (2) V

  (2) F

  (3) V

  (4) V


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