Бинарные отношения

1. Бинарные отношения

2. Транзитивное замыкание • Для произвольного отношения A можно найти минимальное транзитивное отношение a такое, чтоa⊆b. • Минимальность отношения понимается в том смысле, что для любого транзитивного отношения g из a ⊆ g следует b ⊆ g. Таким отношением является транзитивное замыкание отношения a. • Если X — это множество аэропортов, а xRy эквивалентно «существует рейс из x в y», и транзитивное замыкание R равно P, то xPy эквивалентно «можно долететь из x в y самолётом» (хотя иногда придётся лететь с пересадками).

3. Транзитивное замыкание • Транзитивным замыканиемотношения R называетсябинарноеотношение R’ такое, что x R’ y тогда и только тогда, когда существует такая цепочка элементов изX: • z0 = x, z1, z2, ..., zn = y, • что между соседями в этой цепочке выполнено отношение R: • z0Rz1, z1Rz2, ..., zn-1Rzn.

4. Нетранзитивное отношение • Отношение R, определенное на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х, у, z этого множества из xRy и yRz не следует xRz. • Пример нетранзитивного отношения: • «x отец y» • Нетранзитивным является отношение "". Пусть x=2, y=3, z=2, тогда справедливо xy и yz, но x=z, т.е. (x, z)R.

5. Транзитивность • Отношение R1 называется транзитивным относительно отношения R2, если: • из (x, y) R1 и (y, x) R2 следует, что (x, z) R1; • из (x, y) R2 и (y, x) R1 следует, что (x, z) R1.

6. Негатранзитивность отношений • (x,y) ∉ R и (y, z) ∉ R → (x, z) ∉ R • В графе негатранзитивного отношения отсутствие связи (кольца или дуги) между двумя вершинами влечет отсутствие петель в обоих вершинах. • Отношения R1 - ">" и  R2 - " " негатранзитивны, так как отношенияR1доп - "",R2доп - "=" транзитивны. Возможно одновременное выполнение свойств транзитивности и негатранзитивности. Например, отношение R1 одновременно транзитивно и негатранзитивно, а R2, как известно, транзитивным не является.

7. Свойства бинарных отношений • Полнота • ∀(x, y) ∈X либо xRy либо yRx, либо и то и другое одновременно – полносвязное или связное отношение • Ацикличность • Отношение R называется ацикличным, если из наличия какого-либо пути между вершинами соответствующего графа следует отсутствие обратной дуги (обратного пути) между этими вершинами (в графе отсутствуют любые циклы ). • ∀n x1Rx2∧x2Rx3∧x3Rx4∧… ∧xn-1Rxn но не наоборот.

8. Свойства операций над отношениями •  Rk-1=( Rk-1 •  Rk-1=( Rk-1 • (R1 o R2) -1 = R1-1o R2-1. • (R1 o R2 )oR3 = R1o(R2 o R3). • (R1 R2 )oR3 = (R1 oR3 )( R2o R3 ).

9. Свойства операций над отношениями • (R1 R2 )oR3 (R1 oR3 )( R2o R3 ). • если R1 R2 то R1o R3R2o R3; • если R1 R2 то R1-1 R2-1; • если R1 R2то R3oR1 R3oR2. • (R1 R2)d = R1dR2d; • (R1 R2)d = R1dR2d; • (Rd)d = R.

10. Связи между бинарными отношениями • Отношение R симметрично тогда и только тогда, когда R = R-1. • Если R рефлексивно, то Rd антирефлексивно, если R антирефлексивно, то Rd рефлексивно. • Отношение R слабо полно тогда и только тогда, когда Rd антисимметрично. • Отношение R асимметрично тогда и только тогда, когда Rdполно.

11. Отношения эквивалентности (подобия, равносильности) • Отношение R на множестве A2 называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами: • рефлексивность • (симметричность • транзитивность \ • Обозначается =, ≈, ~, ≡

12. Отношение эквивалентности • Условия 1-3 в таких обозначениях выглядят более естественно: • x=x для всех x∈A(рефлексивность) • Если x=y, то y=x (симметричность) • Если x=y и y=z, то x=z (транзитивность)

13. Примеры • отношение тождества IX = {(a, a)|a∈X} на непустом множестве X; • отношение параллельности на множестве прямых плоскости; • отношение подобия на множестве фигур плоскости; • отношение равносильности на множестве уравнений; • отношение "иметь одинаковые остатки при делении на фиксированное натуральное число m" на множестве целых чисел. Это отношение в математике называют отношением сравнимости по модулю m и обозначают a≡b (mod m); • отношение "принадлежать одному виду" на множестве животных; • отношение "быть родственниками" на множестве людей; • отношение "быть одного роста" на множестве людей; • отношение "жить в одном доме" на множестве людей.

14. Классы экввалентности • Система непустых подмножеств {M1, M2, …} • множества M называется разбиением этого множества, если M = M1∪M2∪ … • иприi≠j Mi∩Mj =Ø. • Сами множества M1, M2, … называются при этом классами данного разбиения.

15. Примеры • Разложение всех многоугольников на группы по числу вершин - треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д.; • Разбиение всех треугольников по свойствам углов (остроугольные, прямоугольные, тупоугольные); • Разбиение всех треугольников по свойствам сторон (разносторонние, равнобедренные, равносторонние); • Разбиение всех треугольников на классы подобных треугольников; • Разбиение множества всех учащихся данной школы по классам.

16. Пример 1

17. Пример 2 • А и B равны по модулю n, если их остатки при делении на n равны. • Например по модулю 5 равны 2, 7, 12 … • [0] = {0, n, 2n, …} • [1] = {1, n+1, 2n+1, …} • … • [n-1] = {n-1, n+n-1, 2n+n-1, …}

18. Класс эквивалентности • Классом эквивалентностиC(a) элемента a называется подмножество элементов, эквивалентных a. Из вышеприведённого определения немедленно следует, что, если и b∈C(a), то C(a) = C(b). • Теорема: отношение эквивалентности, заданное между элементами базового множества х, определяет разбиение множества х на непересекающиеся классы эквивалентности базового множества (в каждый из классов входят взаимно эквивалентные отношения).

19. Фактор-множество • Получающееся при этом множество классов называется фактор-множеством {ck}.или X / ˜.

20. Отношение порядка • Бинарное отношение a на множестве X называется отношением порядка, если оно • Транзитивно • ∀ x,y,z ∈ A xRy ∧ yRz → xRz • и антисимметрично • ∀ x,y ∈ A xRy ∧ yRx → x=y • Множество X с определенным на нем отношением порядка a называется упорядоченныммножеством и обозначается <X; a>.

21. Отношение строгого порядка • Отношение порядка R называется отношением строгогопорядка на множестве X, если a антирефлексивно • ∀x∈X ¬(xRx) • Отношение строгого порядка обозначается символом < или Pуп • Пусть f и g - функции с одинаковыми областями определения. Определим отношение > следующим образом: f > g, если для любого x из области определения функции f(x) > g(x). Очевидно, что данное отношение является отношением строгого порядка.

22. Пример f > g. Пары функций f и h, а также g и h несравнимы.

23. Отношение толерантности • Отношение безразличия является отношением симметрии и рефлексивности. • x Iуп y <=> ( x Pуп у и yPуп x ). • Так как (x, y) и (y, x) не принадлежат Pуп, то нельзя сказать, что x лучше y, или x лучше y.

24. Основные свойства • Pуп Pdуп = Pdуп; • PупPdуп = Pуп; • I =PупPdуп . • Rуп = Pdуп; Pуп = Rdуп , т.е. Pуп и Rуп образуют двойственную пару. • P∪P-1∪I=Х × Х – все декартово произведение

25. Отношение нестрогого порядка • На базе введенных отношений строгого упорядочения и безразличия можно построить новое отношение Rуп = PупIуп, • которое называется нестрогим упорядочением. • Отношение нестрогого упорядочивания (x≥y) это полное и рефлексивное отношение.

26. Отношение безразличия • Пусть мы имеет некоторое произвольное отношение R, причем R ∩ R-1=Rs • – симметричная часть R. • Если R было рефлексивным, то Rs можно считать отношением безразличия.

27. Теорема • R\R-1=Rs=I, R\Rs=P, азначит, R=P∪U • Любое полное отношение R с R\R-1=Rs=I, R\Rs=P • индуцирует отношения строгого упорядочения P и безразличия I. • I – симметричная часть R, P – асимметричная часть.

28. Отношение слабого порядка • Асимметричное, негатранзитивное отношение Pсл назовем слабым порядком. • x>y (слабый порядок, т.к. ассиметрично и его дополнение x≤y, транзитивно, а значит и негатранзитивно). • Кроме того, по аналогии с Iуп введем отношение Iсл • xIслy <=> ((x, y) Pсл и (y, x) Pсл) • или • xIслy <=> ((y, x)Pсл и (x, y)Pсл). • Назовем его отношением эквивалентности.

29. Отношение нестрогого слабого порядка • Введем также отношение • Rсл = PслIсл, • называемое нестрогим слабым порядком. Из определения следует, что Pсл Pуп. Так как Pуп только асимметрично, а Pсл асимметрично и негатранзитивно, то из (x, y)Pсл всегда следует (x, y)Pуп. • В качестве примера Rсл можно привести отношение "".

30. Свойства слабого порядка • Rсл = Pdсл , Rdсл = Pсл. • Iсл = Rsсл , Pсл = Rdсл. • Для любых x,yA выполняется одно и только одно из соотношений: xPслy, yPслx, xIслy. • Отношение Pсл транзитивно. • Отношение Iсл рефлексивно, симметрично, транзитивно. • Отношение Rсл транзитивно и полно.

31. Отношение качественного порядка • Дополним отношение строгого упорядочения Pуп свойством транзитивности. Назовем полученное отношение качественным порядком Pкач.. • Пусть х, у - вещественные числа. Введем качественный порядок: • хРкачу <=> x > у +1. • Очевидно, что в данном случае отношение Ркач асимметрично и транзитивно, но оно не является негатранзитивным. • Дополнение к введенному отношению определим как • х Ркач у   <=>    х  у +1 • Положим у = 0; х = 0.9; z = -0.9. Тогда, очевидно, выполняются отношения • (х, y) Ркач ; (y, z) Ркач ; (х, z)  Ркач. • Т.е. условие негатранзитивности не выполняется.

32. Отношение Парето • Введем на множестве точек n-мерного евклидова пространства следующее отношение Par, называемое отношением Парето: • х, уРаr <=>   i : хiyi и   j : хj> уj. • Отношение Парето называется также безусловным критерием предпочтения (БКП).

33. x  y   y  x  y  x Пример а) x1 < y1 б) x1 > y1 в) x1 < y1 x2 > y2 x2 = y2 x2 < y2 нет отношения Раr; есть отношение Раr, есть отношение Раr,   x лучше y; y лучше x.

34. Производные отношения • Iкач - отношение качественного безразличия хIкачу  <=> ( xРкач у) и (уРкач х ); • Rкач - нестрогий качественный порядок Rкач = Рdкач.

35. Качественный порядок – это ассиметричные и транзитивные отношения. • Так как асимметрия+негатранзитивность=транзитивность, • значит слабый порядок качественный, но не наоборот.

36. Другие отношение • Отношение Rчаст называется нестрогим частичным порядком, если оно рефлексивно, транзитивно и антисимметрично. Нестрогий частичный порядок можно определить по формуле Rчаст = PкачI . • Рефлексивное и транзитивное бинарное отношение называется предпорядком. • Симметричный предпорядок является отношением эквивалентности, антисимметричный предпорядок - нестрогим частичным порядком.