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Funções. 1. Interpretação de Gráficos. O gráfico representa a viagem da Joana num dia em que resolveu visitar uns amigos. Distância ( Km). Tempo (horas). Voltar. Ana Arromba - Instituto de Almalaguês Manuela Pedro - Instituto de Almalaguês

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fun es

Funções

1. Interpretação de Gráficos

O gráfico representa a viagem da Joana num dia em que resolveu visitar uns amigos

Distância

( Km)

Tempo (horas)

Voltar

slide2

Ana Arromba - Instituto de Almalaguês

Manuela Pedro - Instituto de Almalaguês

Paula Curto - Escola Básica 2,3/Secundária de Condeixa-a-Nova

Circulo de Estudos

Desenvolvimento do Programa de 10º ano de Matemática B para o Ensino Secundário

Janeiro e Maio 2002

Escola Secundária Martinho Árias

slide3

Funções

1. Interpretação de Gráficos

  •  A que distância de casa estava a Joana quando efectuou a primeira paragem?

A Joana estava a 10m de casa.

  •  Durante a viagem, qual foi a distância máxima que a separou de casa?

A distância máxima que a separou de casa foi 15m.

  •  Quanto tempo demorou a viagem?

A viagem demorou 3h30m.

  •  Quanto tempo esteve parada a Joana?

A Joana esteve parada 1h30m.

  •  A que horas chegou a Joana a casa?

Voltar

A Joana chegou ás 3h30m.

slide4

Funções

1.Noção de Função

Considera os seguintes conjuntos A e B

f

B

A

C

 5

 6

7

8

9

1 

2 

3 

4 

Definição de Função:

Dados dois conjuntos A e B, se f é uma correspondência entre A e B e se a cada elemento de A corresponde um e um só elemento de B, então f é uma função ou aplicação de A para B.

Voltar

slide5

Funções

1.Noção de Função

  • A esta correspondência chama-se _________.
  • Ao conjunto A chamamos conjunto de partida ou _________________ e representa-se por ______. Df = { }
  • A todo o elemento de A chamamos _____________.
  • Ao conjunto B chamamos _______________________ da função.
  • Conjunto de chegada de f = { }
  • A todo o elemento de B ao qual corresponde um elemento de A chamamos ___________.
  • Estabelece o conjunto C formado pelas imagens dos elementos de A
  • Ao conjunto C chamamos ______________ da função e representa-se
  • por D’f = { }

função

Domínio

1, 2, 3, 4

Df

Objectos

Conjunto de Chegada

5, 6, 7, 8, 9

imagem

contradomínio

D’f

5, 6, 7

Voltar

slide6

Funções

1. Noção de Função

Simboliza-se do seguinte modo:

f:

A

B

x

y=f(x)

  • x é variável independente e y a variável dependente
  • Ao conjunto A chamamos Domínio e representa-se por Df
  • Ao conjunto Bchamamos Conjunto de Chegada
  • Ao conjunto das imagens chama-se Contradomínio da função e representa-se por D‘f
  • A cada objecto x corresponde uma e uma só imagem y=f(x);
slide7

Funções

1. Interpretação de diagramas

Exemplo 1:

A correspondência não é uma função porque o objecto 1 tem duas imagens, 4 e 5, logo mais do que uma imagem.

Exemplo 2:

A correspondência não é uma função porque o objecto 2 não tem imagens.

slide8

Funções

2. Representação gráfica de uma Função

Num determinado dia registaram-se as temperaturas de ar na cidade de Aveiro, de hora a hora e, a partir delas, elaborou-se o gráfico das temperaturas em função da hora do dia.

Temperatura

º C

Horas

  • Indique:
  • o domínio;
  • o contradomínio;
  • os intervalos de tempo onde a temperatura: - é positiva; - é negativa;

4

1

0;24]

  • os intervalos onde a temperatura: -aumenta; -aumenta e é positiva; - diminui; - diminui e é positiva; - é constante;

2

-3;6]

5

  • as horas do dia em que se registou a temperatura 0ºC

3

slide9

Funções

2. Representação gráfica de uma Função

  • Como averiguar se se trata de uma função

Um gráfico de uma função só pode ser intersectado no máximo uma vez por uma qualquer recta vertical.

Não se trata de uma representação de uma função

Trata-se de uma representação de uma função

slide10

Funções

Interpretação gráfica do domínio

Domínio

O domínio de uma função obtém-se projectando o seu gráfico sobre o eixo dos xx

Voltar

slide11

Funções

Interpretação gráfica do Contradomínio

Contradomínio

O Contradomínio de uma função obtém-se projectando o seu gráfico sobre o eixo dos yy

Voltar

slide12

Funções

3. Noções gerais de uma função

  • Zeros de uma função
  • Definição: Zero de uma função é todo o objecto que tem imagem nula.
  • DDeterminação dos zeros de uma função:
  • Graficamente
  • Averiguar as abcissas dos pontos do gráfico para
  • os quais o gráfico da função intersecta o
  • eixo das abcissas ( xx )
  • Analiticamente
  • Determinar os valores de x para os quais f(x)=0
  • isto é, x: f (x)=0

zeros

Voltar

slide13

Funções

3. Noções gerais de uma função

  • Sinal de uma função
  • Definição :Seja f uma função de domínio D, dizemos que :
  • - f é positivaem I (I D) se e só se f(x) > 0, para todo o xI.
  • - f é negativaem I (I D) se e só se f(x) < 0, para todo o xI.
  • DDeterminação do sinal de uma função:
  • Graficamente
  • A função é positivapara todos os valores de x cujas
  • imagens estão acima do eixo das abcissas.
  • A função é negativa para todos os valores de x
  • cujas imagens estão abaixo do eixo das abcissas.

f(x) >0

f(x) < 0

Voltar

slide14

Funções

f(b)

g(b)

g

f(b)

g(b)

g

f

f

g(a)

f(a)

f(a)

g(a)

O

a

b

O

a

b

a

b

a

b

Noções gerais de uma função

  • Monotonia de uma função

A função f écrescente

num intervalo E.

A função g édecrescente

num intervalo E.

A função f éestritamente crescentenum intervalo E.

A função g éestritamente decrescentenum intervalo E.

Definição : Diz-se que f é crescente/estritamente crescente em EDf se para todos os números reais a e b pertencentes a E, se a < b, então f(a)f(b)/se a < b, então f(a)< f(b).

Definição : Diz-se que g é decrescente/estritamente decrescenteem EDf se para todos os números reais a e b pertencentes a E, se a < b então g(a)  g(b)/se a < b, então g(a)>g(b).

Definição : Uma função crescenteou decrescente diz-se monótona.

Observação:Umafunção constanteé considerada crescente e decrescente.

Voltar

slide15

Funções

Noções gerais de uma função

  • Monotonia de uma função

Definição : Seja f uma função de domínio D.

f(a) é um máximo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(a)  f(x)

f(b) é um mínimo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(b) f(x)

Definição : Seja f uma função de domínio D.

f(a) é um máximo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal que f(a)  f(x),qualquer que seja ox  E  D

f(b) é um mínimo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal que f(b) f(x),qualquer que seja ox  E  D

Definição : Aos valores do domínio a que correspondem os máximos/ mínimos relativos da função chamam-se maximizantes/ minimizantes

Voltar

slide16

Funções

Noções gerais de uma função

  • Injectividade de uma função
  • FDefinição : Uma função f é injectivanum intervalo EDf se para dois valores quaisquer de E, x1 e x2, se x1  x2 então f(x1) f(x2).

Definição : Uma função f é nãoinjectiva num intervalo EDf se existem pelo menos dois objectos distintos com a mesma imagem.

Voltar

slide17

Funções

Noções gerais de uma função

  • Injectividade de uma função
  • Graficamente
  • Vê-se que uma função é não injectiva se existir pelo menos uma recta
  • horizontal que intersecte o gráfico da função em mais do que um ponto.

f é função injectiva

f é função não injectiva

slide18

Funções

Noções gerais de uma função

  • Sobrejectividade de uma função
  • FDefinição : Uma função g é sobrejectiva se o seu contradomínio coincide com o conjunto de chegada.

g é sobrejectiva

f é não sobrejectiva

slide19

Funções

t.v.m. =

[a, b]

Noções gerais de uma função

  • Taxa de Variação Média

A taxa de variação média (t.v.m) entre a e b traduz a rapidez de variação da função e obtém-se dividindo a variação da função pela amplitude do intervalo, isto é:

f(b)

f

f(b)-f(a)

f(a)

b-a

f(b) - f(a)

a

b

b - a

slide20

Funções

Noções gerais de uma função

  • Observações
  • se a função é crescente a taxa de variação média é positiva nesse intervalo
  • se a função é decrescente num dado intervalo então a taxa de variação média é negativa nesse intervalo.
  • se a função é constante num dado intervalo então a taxa de variação média é zero nesse intervalo
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