1 / 42

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE. Ivana Grgić, Ljerka Košak, Sanja Miler, Sonja Karlovčec, Tanja Liber. Sličnost trokuta. Za likove koji imaju isti oblik ali se razlikuju po veličini, kaže se da su slični. A 2. A 1. B 1. C 1. C 2. B 2. Sličnost trokuta.

lawrence
Download Presentation

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE Ivana Grgić, Ljerka Košak, Sanja Miler, Sonja Karlovčec, Tanja Liber

  2. Sličnost trokuta Za likove koji imaju isti oblik ali se razlikuju po veličini, kaže se da su slični.

  3. A2 A1 B1 C1 C2 B2 Sličnost trokuta • Nacrtajmo dva trokuta različitih veličina koji imaju unutarnje kutove jednake 30°, 60° i 90°. • Unutrašnji kutovi trokuta A2B2C2 sukladni su unutrašnjim kutovima trokuta A1B1C1

  4. Sličnost trokuta • Usporedimo li duljine onih dviju stranica nacrtanih trokuta koje su nasuprot sukladnim kutovima, dobivamo:

  5. , , Sličnost trokuta • Omjeri duljina stranica koje su nasuprot sukladnim kutovima nacrtanih trokuta isti su i jednaki 2. Tada možemo pisati ovako: • Trokuti na slici očito su slični (istog oblika) pa ćemo na isti način i općenito odrediti slične trokute.

  6. Sličnost trokuta Dva su trokuta slična ako su kutovi jednog trokuta sukladni s kutovima drugog trokuta i ako su im omjeri odgovarajućih stranica trokuta jednaki. • Da su trokuti slični kraće pišemo • A2B2C2 ~ A1B1C1

  7. Kutevi Kut je uređen par (p,q) dviju zraka koje imaju isti početak V. p V q Mjera kuta pVq je neki broj iz skupa {θ + k 360°, k ЄZ}

  8. θ rad = θ rad = Radijani Radijanska mjera kuta određuje se kao omjer duljine luka prema polumjeru luka. Pretvaranje radijana u stupnjeve:

  9. Brojevna kružnica Svakom broju t brojevnog pravca pridružena je točka T na brojevnoj kružnici. E(t) = T To pridruživanje nazivamo eksponencijalno preslikavanje!

  10. TRIGONOMETRIJA PRAVOKUTNOG TROKUTA Grčki trigonon = trokut metrein = mjera

  11. Trigonometrijske funkcije šiljastog trokuta c’ c a’ a b b’ B' B β β α C' A C

  12. B nasuprotna kateta A α C priležeća kateta Pravokutni trokut • Prema položaju stranica a i b u odnosu na kut α, stranicu a nazivamo NASUPROTNA KATETA, a stranicu bPRILEŽEĆA KATETA.

  13. sinus kosinus tangens kotangens Omjeri kateta i hipotenuze u pravokutnom trokutu

  14. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija A1 B1 C1 • Za svaki šiljasti kut α uvijek vrijedi: 0 < sin α < 1 0 < cos α < 1 jer su u pravokutnom trokutu katete manje od hipotenuze. • Vrijednosti funkcija tg α i ctg α mogu biti po volji odabrani pozitivni brojevi, jer takvi mogu biti omjeri kateta.

  15. Sinus i kosinus T=E(t)=(cost, sint) x sin(t) y t O P=(cost, 0) cos(t)

  16. Sinus i kosinus po volji odabranog kuta • Neka je t po volji odabran realni broj, T = E(t) njemu odgovarajuća točka na brojevnoj kružnici. Tada je T = (cos t, sin t) • Vrijednost funkcije kosinus (cos t) je apscisa, a vrijednost funkcije sinus (sin t) je ordinata točke T = E(t).

  17. Temeljni identitet • Za svaki realni broj t vrijedi

  18. Tangens • Vrijednost funkcije tangens (tg t) je ordinata točke u kojoj pravac OP siječe tangentu p. T=(1, tgt) P tg(t) t A(1, 0) O p

  19. Kotangens • Vrijednost funkcije kotangens (ctg t) je apscisa točke u kojoj pravac OP siječe tangentu q. ctg(t) Q=(ctgt, 1) q C=(0, 1) P O

  20. ctg x T sin x tg x cos x (1,0) (-1,0) (0,-1) Predznaci trigonometrijskih funkcija • Koordinate točaka na brojevnoj kružnici mijenjaju predznak pri prijelazu u novi kvadrant. • Sinus i kosinus će mijenjati svoj predznak kad točka T obiđe brojevnu kružnicu. (0,1)

  21. Predznaci trigonometrijskih funkcija KVADRANT KVADRANT KVADRANT KVADRANT I II III IV + + – – + – – + sin x cos x + – + – ü tg x ý þ ctg x Kako vrijedi: to će tg i ctg biti pozitivni tamo gdje su sinus i kosinus istog predznaka: u I i III kvadrantu.

  22. Parnost i neparnost • Funkcija f je parna ako za svaki t iz njene domene vrijedi f (-t)= f (t). • Ona je neparna ako za svaki t iz njene domene vrijedi f (-t)= -f (t). Jesu li trigonometrijske funkcije parne ili neparne funkcije?

  23. cos (-t) = cos (t) , sin (-t) = -sin (t) tЄR tg (-t) = -tg (t) , ctg (-t) = -ctg (t) tЄR , sinus je neparna, a kosinus parna funkcija. tangens i kotangens su neparne funkcije Parnost i neparnost • Točke E(t) i E(-t) simetrične su s obzirom na os Ox. Zato se njihove apscise podudaraju, a ordinate razlikuju u predznaku:

  24. f (t) = f (t + P) Periodične funkcije • Za funkciju f kažemo da je periodična ako postoji pozitivan realni broj P takav da za svaki t iz domene funkcije f vrijedi • Broj P zove se period funkcije f. Najmanji takav pozitivni broj (ako postoji) zove se temeljni period funkcije f.

  25. Periodičnost funkcija sinus i kosinus Brojevima t i t + 2π odgovara ista točka T na brojevnoj kružnici. Zato vrijedi za svaki realni broj t sin (t+2π) = sin t , cos (t+2π) = cos t Ovo se svojstvo naziva periodičnost funkcije sinus,odnosno kosinus.

  26. Periodičnost funkcija sinus i kosinus sin (t+2kπ) = sin t , cos (t+2kπ) = cos t Sinus i kosinus su periodičke funkcije s periodom 2π. Da bismo odredili vrijednosti trigonometrijskih funkcija sinus i kosinus, dovoljno je poznavati njihove vrijednosti unutar intervala [0,2π].

  27. Periodičnost funkcija tangens i kotangens • tg (t+π) = tg t , ctg (t+π) = ctg t • tg (t+kπ) = tg t , ctg (t+kπ) = ctg t . Tangens i kotangens su periodičke funkcije s periodom π.

  28. GRAFOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

  29. y 1 x       –2 – 0 2 3 4 -1 Graf funkcije sinus

  30. Graf funkcije sinus

  31. x π 3π/2 0 π/2 2π sin (x) 0 1 0 -1 0 Ponašanje funkcije sinus Funkcija f(x)= sin(x) ima sljedeća svojstva: • Nultočke funkcije su brojevi kπ, kЄZ. • Maksimum funkcije je 1, a poprima se za x=π/2 +2kπ, kЄZ. • 3. Minimum funkcije je -1, a poprima se za x=3π/2 +2kπ, kЄZ. • 4. Na intervalu [0,2π] tijek funkcije je: 5. Funkcija je periodična s periodom 2π.

  32. y 1 x      –2 –  0 2 3 4 -1 Graf funkcije kosinus

  33. Graf funkcije kosinus

  34. x π π/2 0 3π/2 2π cos (x) 1 0 -1 0 1 Ponašanje funkcije kosinus 5. Funkcija je periodična s periodom 2π Funkcija f(x)= cos (x) ima sljedeća svojstva: 1. Nultočke funkcije su brojevi π/2+kπ, kЄZ. 2. Maksimum funkcije je 1, a poprima se za x=2kπ, kЄZ. 3. Minimum funkcije je -1, a poprima se za x=(2k+1)π, kЄZ. 4. Na intervalu [0,2π] tijek funkcije je:

  35. Graf funkcije sinus i kosinus

  36. y 1  –2  –  0  2 x 5  3    3  5  – – – 2 2 2 2 2 2 –1 Graf funkcije tangens

  37. Graf funkcije tangens

  38. π x 0 π/2 tg (x) 0 0 Ponašanje funkcije tangens 4. Funkcija je periodična s periodom π. Funkcija f(x)= tg (x) ima sljedeća svojstva: 1. Nultočke funkcije su kπ, kЄZ. 2 Vertikalne asimptote funkcije su pravci x = π/2 + kπ, kЄZ. 3. Na intervalu [0,π] tijek funkcije je:

  39. y 1 3    3  – – 2 2 2 2 x  –2 –  0  2  –1 Graf funkcije kotangens

  40. Graf funkcije kotangens

  41. x 0 π/2 π ctg (x) 0 Ponašanje funkcije kotangens 4. Funkcija je periodična s periodom π. Funkcija f(x)= ctg (x) ima sljedeća svojstva: 1. Nultočke funkcije su π/2 + kπ, kЄZ. 2 Vertikalne asimptote funkcije su pravci x = kπ, kЄZ. 3. Na intervalu [0,π] tijek funkcije je:

More Related