Campi conservativi
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sempre. Sia una funzione scalare (x,y,z) . funzione del punto data da grad (x,y,z) . non sempre. Campi Conservativi. sempre. dove. si parla di campi conservativi. sempre. è un campo conservativo. quindi. Es. sommando. Sia. campo vettoriale .

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Campi Conservativi

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Presentation Transcript


Campi conservativi

sempre

Sia una funzione scalare (x,y,z)

funzione del punto data da grad (x,y,z)

non sempre

Campi Conservativi

sempre

dove

si parla di campi conservativi

sempre

è un campo conservativo

quindi

Es.

sommando


Flusso di un vettore attraverso una superficie

Sia

campo vettoriale

Flusso di un vettore attraverso una superficie

superficie dello spazio per la quale è definito il campo

Es.

Se con indico la velocità di un fluido

è con la sua densità


Divergenza di un vettore

la seguente grandezza scalare

Indichiamo divergenza di un vettore

Divergenza di un vettore

funzione di (x,y,z)

Teorema della divergeza

del vettore

attraverso una superficie chiusa qualsiasi S

Il flusso


Campi solenoidali

Sia

in una regione dello spazio

campo vettoriale

Campi solenoidali

allora

è solenoidale in quella regione

Quindi

è sempre nullo


Campi conservativi e solenoidali

Se

è conservativo, ossia se

, si ha

Campi conservativi e solenoidali

secondo la definizione di divergenza, si ha

Se è anche solenoidale in una certa regione dello spazio

è sempre nullo in

quella regione


Circuitazione di un vettore

Consideriamo un campo vettoriale

proponiamoci di calcolare circuitazione

l

Circuitazione di un vettore

a

.

Definiamo un nuovo vettore, detto rotazione di

O anche

l

.

a

Per definizione è la componente lungo

del vettore che battezzo


Propriet del rotore

si ha

Ogni qual volta

Proprietà del rotore

ricordando che per qualunque campo conservativo

le tre componenti sono identicamente nulle.

quindi qualunque campo vettoriale che soddisfi

deve essere conservativo.

Viceversa se la rotazione di un vettore è nulla allora possiamo dire che

una funzione


Teorema della rotazione o teorema di stokes

l

La circuitazione del vettore

lungo una linea chiusa

Teorema della rotazione oteorema di Stokes

notiamo subito che

Infatti calcolando secondo la definizione di divergenza

Da ciò segue che il campo è sempre solenoidale


Campo vettoriale irrotazionale

Campo vettoriale irrotazionale

Le due espressioni matematiche

hanno lo stesso significato

Campo irrotazionale

Campoconservativo


Concetto di carica

Concetto di carica

Elettroscopio a foglie


Legge di coulomb

Legge di Coulomb

q1

q2

Costantedielettricadel vuoto

Introduciamo una nuova grandezza che prende il nome di Carica

L’unità di carica si misura in Coulomb

C = Coulomb


Il campo elettrico

q4

Il campo elettrico

q3

qo

q2

q1

qn

Per ottenre quindi una definizione indipendente

dalla carica considerate

Intensità del Campo elettrico

generato da una carica


Il potenziale elettrostatico

q4

q3

qo

P1

P2

q2

Il potenziale elettrostatico

q1

qn

È l’integrale indefinito

Potenziale elettrostatico


Energia potenziale

Energia potenziale

È l’energia potenziale della carica quando essa è posta nel punto

in cui il potenziale ha il valore

Quindi il campo elettrico si misura in


Flusso del campo elettrico

Flusso del campo elettrico

Il flusso è indipendente dalla forma e dalle

dimensioni della particolare superficie S

che si considera.

Sorgente interna alla superficie

Il flusso dato da una sorgente esterna

alla superficie è nullo

Sorgente esterna alla superficie


Flusso del campo elettrico teorema di gauss

Nel caso di più cariche

Teorema di Gauss

Flusso del campo elettricoteorema di Gauss

Se si ha una distribuzione continua

Ricordando il teorema della divergenza

Teorema di Gauss in forma differenziale


Equazioni fondamentali del campo elettrostatico

Equazioni fondamentali del campo elettrostatico

O anche

Eqazione di Poisson

Nei punti in cui

Eqazione di Laplace


Equazioni dell elettrostatica nei dielettrici

Equazioni dell’elettrostatica nei dielettrici

Introduciamo due vettori

Analogo a

Induzione dielettrica

Nel mezzo abbiamo

Intensità di

polarizzazione

Suscettività

dielettrica

Costante dielettrica

relativa


Costante dielettrica relativa di alcune sostanze

Costante dielettrica relativa di alcune sostanze


Legge di coulomb nei dielettrici

Legge di Coulomb nei dielettrici

q1

q2

Costantedielettricadel mezzo


Corrente elettrica stazionaria

Corrente elettrica stazionaria

Definiamo due nuove grandezze fisiche legata fra loro.

Intensità di corrente

Densità di corrente


Conservazione della carica equazione di continuit

conduttore

Conservazione della carica (equazione di continuità)

Intensità di corrente uscente entro

la superficie del volumetto

Densità di carica

Per il teorema della divergenza

Si può avere una corrente che esce dalla sua superficie solo

se ρdv contenuta dentro il cubetto diminuisce.

Equazione di continuità

della corrente elettrica

Quindi

Nel caso delle correnti

stazionarie si ha

Ossia è sempre solenoidale

Quindi


La legge di ohm

La legge di Ohm fissa la dipendenza fra il

potenziale e la corrente in un conduttore

La legge di Ohm

Legge di Ohm

Resistenza del conduttore

Resistività del materiale


La legge di joule

Quantità di carica

La legge di Joule

Lavoro svolto dal campo

Legge di Joule

Possiamo anche scrivere nei conduttori

metallici dove vale la legge di Ohm

O anche scrivendo


Le leggi di kirchhoff

Maglia

Nodo

Le leggi di Kirchhoff

Il flusso totale di uscente da tale

superficie deve essere nullo.

In ogni maglia la somma delle f.e.m. è

sempre uguale alla somma delle c.d.t.


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