Numere reale
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 8

Numere reale PowerPoint PPT Presentation


  • 208 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Numere reale. INTERVALE. Rădulescu Andreea Iancu Narcisa Măriuța Cosmin Stroe Elvis Budulan Georgiana. Cât de bogată este mulțimea numerelor reale? Ce sunt intervalele?. Teoremă: Oricărui numĂr real îi corespunde un punct de pe o dreaptă (axa numerelor ).

Download Presentation

Numere reale

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Numere reale

Numere reale

INTERVALE

  • Rădulescu Andreea

  • Iancu Narcisa

  • Măriuța Cosmin

  • Stroe Elvis

  • Budulan Georgiana

Cât de bogată este mulțimea numerelor reale?

Ce sunt intervalele?


Numere reale

Teoremă:Oricărui numĂr real îi

corespunde un punct de pe o dreaptă

(axa numerelor)

OBS! Teorema este valabilă pentru orice mulțime de numere învățate.

5

Numerelor reale -3; 2; ;5,3 li se asociază

2

punctele geometrice A,B,C,D situate pe axa numerelor.

5

‒3

0

2

5,3

2

A

B

C

u

D


Numere reale

Reciprocă: Oricărui punct de pe axa îi

corespunde un număr real.

OBS!Reciproca nu este adevarată pentru nici o altă mulțime de numere învățată! (ℕ,ℤ,ℚ)

Contraexemplu: punctului geometric M aflat la mijlocul primului segment unitate îi corespunde numărul 0,5 care nu este natural, deci lui M nu îi corespunde un număr natural.

M

u

0

0,5

1

Concluzie:

Teorema si reciproca ne demostrează faptul că în R există atâtea numere câte puncte geometrice are o dreapta. De aici rezultă bogația numerelor aflate în R.


Numere reale

Obs!!!Între două puncte de pe o dreaptă (oricât de apropiate ar fi) există numere REALE!

Pentru a demonstra este suficient să considerăm una din mediile cunoscute, de exemplu media aritmetică:

Dacă 𝑎<𝑏 sunt cele două numere se știe că:

𝑎 <

< 𝑏

Aplicație: Scrieți două numere reale între

și

5)

3)

O altă soluție:

1

16

17

1

<

;

<

6)

3)

6

90

90

5


Numere reale

Intervale

1) Intervalele mărginite:

Definiția 1:

Fie 𝑎și 𝑏 două numere reale, cu 𝑎<𝑏.

Mulțimea [𝑎;𝑏] ≝ {𝑥∈ℝ/ 𝑎≤ 𝑥 ≤𝑏}se numește interval închis de capete 𝑎 și 𝑏

Dacă a și b sunt abscisele punctelor A, respectiv B, atunci intervalului închis [a,b] îi corespunde pe axă mulțimea punctelor segmentului [AB]

A

M

B

𝑥 ∈ [𝑎 ; 𝑏] ⇔ M ∈ [AB]

[

]

𝑎

x

𝑏

Numerele a și b se numesc capetele

intervalului [a;b] și se află în interval.


Numere reale

Definiția 2:

Fie 𝑎și 𝑏 două numere reale, cu 𝑎<𝑏.

Mulțimea (𝑎;𝑏)≝ {𝑥∈ℝ/ 𝑎< 𝑥 <𝑏}se

numește interval deschis de capete 𝑎 și 𝑏.

Analog, interpretarea geometrică a intervalului deschis este un segment deschis.

A

M

B

𝑥 ∈ (𝑎 ; 𝑏) ⇔ M ∈ (AB)

(

)

𝑎

x

𝑏

Obs: 1. Capetele intervalului deschis nu se află în interval

𝑎,𝑏 ∉ (𝑎;𝑏) deoarece propozițiile 𝑎<𝑎<𝑏 și 𝑎<𝑏<𝑏

sunt false.

2. (𝑎;𝑏) ∪ {𝑎;𝑏} = [𝑎;𝑏]


Numere reale

Folosind diferite semne de inegalitate în definiția intervalului obținem și altfel de intervale mărginite:

Definiția 2:

Fie 𝑎și 𝑏 două numere reale, cu 𝑎<𝑏.

Mulțimea [𝑎;𝑏) ≝ {𝑥∈ℝ/ 𝑎≤ 𝑥 <𝑏}se numește interval închis la stânga și deschis la dreapta de capete 𝑎 și 𝑏

[

𝑎

𝑏

Definiția 3:

Fie 𝑎și 𝑏 două numere reale, cu 𝑎<𝑏.

Mulțimea (𝑎;𝑏]≝ {𝑥∈ℝ/ 𝑎< 𝑥 ≤𝑏}se numește interval deschis la stânga și închis la dreapta de capete 𝑎 și 𝑏

]

𝑎

𝑏


Numere reale

2) Intervalele nemărginite:

Definiția 3:

Fie 𝑎 un număr real, cu 𝑎<𝑏.Mulțimile

(‒∞;𝑎] ≝ {𝑥∈ℝ/ 𝑥 ≤𝑎};(‒∞;𝑎) ≝ {𝑥∈ℝ/ 𝑥 <𝑎}

(𝑎 ; ∞]≝ {𝑥∈ℝ/ 𝑥 ≥ 𝑎} ;(𝑎 ; ∞) ≝ {𝑥∈ℝ/ 𝑥 >𝑎}

se numesc intervale nemărginite

Interpretarea geometrică:

un astfel de interval este o semidreaptă

𝑎

(‒∞;𝑎 ]

-∞

(𝑎 ; ∞]

Obs: Cu ajutorul noțiunii introduse se poate scrie ℝ sub formă de interval:

ℝ = (‒∞ ; ∞ )


  • Login