Vektorterek
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 18

-1- PowerPoint PPT Presentation


  • 82 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Vektorterek. Definíció. Legyen V Abel-csoport, F test, továbbá.  : F  V  V egy külső művelet művelet , ahol. (a, v)  melletti képe av. V vektortér F felett , ha teljesülnek a következők:. (1) a (v+w) = av+aw , a  F és v,w  V.

Download Presentation

-1-

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


1

Vektorterek

Definíció.

Legyen V Abel-csoport, F test, továbbá

 : F  V  V egy külső művelet művelet , ahol

(a, v)  melletti képe av .

V vektortér F felett, ha teljesülnek a következők:

(1) a(v+w) = av+aw ,a  F és v,w  V.

(2) (a+b) v = av+bv ,a,b  F és v V.

(3) (ab) v = a(bv) ,a,b  F és v V.

(4) 1 v = v , minden v V.

-1-


1

V elemei : vektorok.

F elemei : skalárok.

 : F  V  V : skalár szorzás.

(1) –nél mindkét + V –beli.

(2) –nél az első + F –beli , a második V –beli.

A két 0 elemet nem különböztetjük meg.

V

F

skalárok

vektorok

-2-


1

T.1.tétel (vektortér tulajdonságai)

Legyen V vektortér F felett, a, b  F és u, w  V, ekkor :

(1) a 0 = 0 v = 0 .

(2) (–a ) v = –(a  v) = a(–v ).

(3) (–a )(– v) = a  v .

(4) (–1) v = – v .

(5) a(v – w) = av –aw .

(6) (a –b) v = av –bv .

(7) av = 0  a = 0 vagy v = 0 .

-3-


1

Bizonyítás.

(1)a0 = a(0 + 0) = a0 +a0

V –beli + reguláris a0 = 0.

Hasonlóan: 0v = (0 + 0)v = 0v +0v  0v = 0 .

(2) (a + (–a )) v = 0v = 0 = av + (–a)v .

 –(av) = (–a)v .

Hasonlóan: –(av) = a(–v) .

(3) (2)  (–a) (–v) = –(a (–v)) = –(–(a v)) = av .

(4)(–1) v = –(1 v) = –v .

-4-


1

(5)a(v – w) = a(v +(– w)) = av + a(–w) =

= av + (–(aw)) = av – aw .

(6) Hasonlóan, mint (5) .

(7) Ha av = 0 és a  0 

a-1 (av ) = (a-1a)v = 1  v = v = 0.

(1)  Ha a = 0 vagy v = 0

 av = 0 .

-5-


1

Definíció.

Legyen V vektortér F felett továbbá S V .

Ha a vektor összeadás megszorításával S– re és skalár szorzás megszorításával F  S –re

S vektorteret alkot F felett, akkor

S altere V –nek .

V vektortér triviális alterei: V és { 0 } .

Észrevétel.

S altere V –nek

S zárt a vektor összeadásra és skalár szorzásra nézve .

-6-


1

Következmény.

Egy Vvektortér tetszőleges altereinek „metszete” is altere V –nek .

Ezek szerint képezhetjük az összes S –et tartalmazó altér metszetét

létezik a legszűkebb altér, mely tartalmazza S –t,

S által generált altér.

Definíció.

Egy vektortér végesen generált, ha véges halmaz által generált.

-7-


1

Ha S = { v } , ahol v  V , akkor

Fv = { av  a  F}

az S által generált altér.

Ha V1 , ..., Vnalterei V –nek , akkor a legszűkebb V –beli altér, amely tartalmazz őket:

V1 + ...+ Vn= { v1 + ...+ vn vi  Vi } .

Ha S = { v1 , ..., vn} , akkor az S által generált altér:

Fv1 + ...+ Fvn

-8-


1

Példa.

1. Az Abel-csoport (V ; +) :

V = Rn

+ : (a1, ..., an ) + (b1, ..., bn ) = (a1 + b1, ..., an + bn )

2. A test :

F = R

3. A skalárszorzás (művelet F V  V ):

a  (a1, ..., an ) = (aa1, ..., aan )

Rn végesen generált, hiszen

Rn = R(1, 0, 0, ..., 0 ) + R(0, 1, 0, ..., 0 ) + ... + + R(0, 0, 0, ..., 1 )

-9-


1

Bizonyítható :

 V  { 0 } vektortérhez  v1 , ..., vn  V :

V eleme egyértelműen írható fel ilyen alakban:

a1v1 + ...+ anvn

V vektortér { v1 , ..., vn } nemüres részhalmaza lineárisan független, ha

-10-


1

Definíció.

V vektortér nemüres { v1 , ..., vn } részhalmaza a V bázisa , halineárisan független és generálja V –t .

A példában bázis:

{ (1, 0, 0, ..., 0 ), (0, 1, 0, ..., 0 ), ...,(0, 0, 0, ..., 1 ) }

T.2. tétel(vektortér bázisa)

Tetszőleges végesen generált V  { 0 }vektortérnek létezik bázisa és

V bármely bázisának ugyanannyi eleme van.

Definíció.

Egy végesen generált V  { 0 }vektortér valamely bázisának elemszáma V dimenziója (dim(V)) .

Továbbá dim( { 0 } ) = 0 .

-11-


1

Testbővítések

Definíció.

Legyen F tetszőleges test. K az F részteste, ha

K  F és K maga is testet alkot az F műveleteivel.

Jelölés F : K

Ekkor F a K test bővítése.

Ha K  F , akkor K valódi részteste F –nek , illetve

F valódi bővítése K –nak .

-12-


1

T.3. tétel (test karakterisztikája)

Legyen F test és K részteste F –nek, ekkor F és K karakterisztikája megegyezik. Véges test karakterisztikája prímszám.

Bizonyítás.

Triviális, hiszen a testek legalább kételemű gyűrűk.

Definíció.

Egy test prímtest, ha nincs valódi részteste.

Résztestek metszete résztest 

F test összes résztestének metszete résztest F –ben

 a legszűkebb résztest F –ben

 nincs valódi részteste

 prímtest .

-13-


1

Definíció.

Ha K az F –nek a legszűkebb részteste, akkor K az F

prím részteste (prímteste).

jelölés K = Fp

Észrevételek.

– Test prím részteste prímtest.

– Ha F a K test bővítése, akkor

prím résztesteik megegyeznek .

-14-


1

T.4. tétel (prím résztestek)

Tetszőleges F test prím részteste izomorf

Zp –vel, ha char(F) = p

Q –val, ha char(F) = 0 .

Bizonyítás.

p prímszám  Zp prímtest.

0, e  Fp .

char(F) = p :

(Fp, +) elemei : en alakúak, azaz

Fp = { 0 = e0, e1, ..., ep-1 } .

izomorfizmus

Zp = { 0 = 10, 11, ..., 1p-1 } .

-15-


1

char(F) = 0 :

Legyen

ahol ke = e + e + ... + e .

Tudjuk

IzomorfizmusQés R között.

R is test  R résztest F –ben.

Továbbá : e  Fp  R elemei Fp –ben vannak.

 R  Fp .

Fp a legszűkebb résztest F –ben 

Fp = R

 Fp is izomorf Q –val .

-16-


1

Megjegyzés.

Az előző tétel értelmében minden p karakterisztikájú test Zp bővítése, és

minden nullkarakterisztikájú test Q bővítése.

T.5. tétel (testbővítés vektortér)

Ha K részteste F –nek, akkor FK feletti vektortér.

Bizonyítás.

Most K elemei egyúttal F elemei is, tehát a skalár szorzás az F –beli multiplikatív művelet.

 igazak a következő összefüggések :

(1)a(v+w) = av+aw ,a  K és v,w  F.

(2)(a+b) v = av+bv ,a,b  K és v F.

(3)(ab) v = a(bv) ,a,b  K és v F.

(4)1 v = v , minden v F.

-17-


1

Definíció.

Legyen egy K részteste, M egy részhalmaza F –nek .

K(M)a K test M halmazzal való bővítése,

ha F –nek a legszűkebb részteste, mely tartalmazza K –t és M –et is.

Ha M = { α } alakú, valamely α F –re , akkor

K(α)egyszerű bővítés az α bővítő elemmel.

Definíció.

Legyen egy K részteste F –nek, és α F.

Ha α gyöke egy nem nulla K feletti polinomnak, akkor α algebrai elem K felett .

Falgebrai bővítéseK –nak, ha F minden eleme algebrai K felett.

-18-


  • Login