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九年级数学 ( 上 ) 第三章 证明 ( 三 ) PowerPoint PPT Presentation


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退出. 九年级数学 ( 上 ) 第三章 证明 ( 三 ). 3.2 特殊的平行四边形 (2) 菱形 , 正方形的性质及判定. 有一个角 是直角. 有一个角 是直角. 矩形. 平行四边形. 有一组 邻边相等. 有一组 邻边相等. 两组对边分别平行. 菱形. 四边形. 等腰梯形. 一组对边平行另一组对边不平行. 正方形. 梯形. 直角梯形. 两腰相等. 腰与底垂直. 四边形之间的关系. 四边形之间有何关系?. 特殊的平行四边形之间呢?. 还记得它们与平行四边形的关系吗 ?. 能用一张图来表示它们之间的关系吗 ?. A. A.

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九年级数学 ( 上 ) 第三章 证明 ( 三 )

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Presentation Transcript


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九年级数学(上)第三章 证明(三)

3.2 特殊的平行四边形(2)

菱形,正方形的性质及判定


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有一个角

是直角

有一个角

是直角

矩形

平行四边形

有一组

邻边相等

有一组

邻边相等

两组对边分别平行

菱形

四边形

等腰梯形

一组对边平行另一组对边不平行

正方形

梯形

直角梯形

两腰相等

腰与底垂直

四边形之间的关系

  • 四边形之间有何关系?

  • 特殊的平行四边形之间呢?

  • 还记得它们与平行四边形的关系吗?

  • 能用一张图来表示它们之间的关系吗?


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A

A

D

D

B

B

C

C

A

D

回顾 思考

B

C

驶向胜利的彼岸

矩形的性质,推论

  • 定理:矩形的四个角都是直角.

  • ∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=∠B=∠C=∠D=900.

  • 定理:矩形的两条对角线相等.

  • ∵AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.

∴AC=BD.

推论(直角三角形性质):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

在△ABC中,∠ACB=900,

∵AD=BD,


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A

A

D

D

B

B

C

C

A

D

回顾 思考

B

C

驶向胜利的彼岸

矩形的判定,直角三角形的判定

  • 定理:有三个角是直角的四边形是矩形.

  • ∵∠A=∠B=∠C=900,

∴四边形ABCD是矩形.

  • 定理:对角线相等的平行四边形是矩形.

  • ∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AC=DB.

∴四边形ABCD是矩形.

  • 定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.

在△ABC中,

∵AD=BD=CD,

∴ ∠ACB=900.


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D

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我思,我进步

A

C

B

驶向胜利的彼岸

菱形的性质

  • 定理:菱形的四条边都相等.

已知:如图,四边形ABCD是菱形.

求证:AB=BC=CD=DA.

  • 分析:由菱形的定义,利用平行四边形性质可使问题得证.

证明:

∵ 四边形ABCD是菱形,

∴AB=AD,四边形ABCD是平行四边形.

∴AB=CD,AD=BC.

∴ AB=BC=CD=AD.


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我思,我进步

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D

O

A

C

B

驶向胜利的彼岸

菱形的性质

  • 定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.

已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O.

求证: (1).AC⊥BD;

(2).AC平分∠BAD和∠BCD,

BD平分∠ADC和∠ABC.

  • 分析:根据平行四边形对角线互相平分和等腰三角形“三线合一”来证明.

证明:(1)

∵ 四边形ABCD是菱形,

∴AD=CD,AO=CO.

∵DO=DO,

∴△AOD≌△COD(SSS).

∴∠AOD=∠COD=900.

∴AC⊥BD.

(2)∵AD=AB,DA=DC,AC⊥BD;

∴AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.


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例题欣赏

A

E

B

D

C

菱形性质的应用

  • 已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.

求:(1).对角线AC的长度;

(2).菱形ABCD的面积.

解:(1)

∵四边形ABCD是菱形,

∴∠AED=900,

∴AC=2AE=2×12=24(cm).

(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积

=2×△ABD的面积


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我思,我进步

A

C

B

驶向胜利的彼岸

菱形的判定

  • 定理:四条边都相等的四边形是菱形.

已知:如图,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA..

求证:四边形ABCD是菱形.

  • 分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可使问题得证.

证明:

∵AB=BC=CD=DA,

∴AB=CD,BC=DA.

∴四边形ABCD是平行四边形..

∵AB=AD,

∴四边形ABCD是菱形.


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我思,我进步

D

O

A

C

B

驶向胜利的彼岸

菱形的判定

  • 定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD.

求证:四边形ABCD是菱形.

  • 分析:要证明□ABCD是菱形,就要证明有一组邻边相等即可.

  • 证明:

∵四边形ABCD是平行四边形.

∴AO=CO.

∵AC⊥BD,

∴ DA=DC.

∴四边形ABCD是菱形.


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我思,我进步

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A

D

B

C

驶向胜利的彼岸

正方形的性质

  • 定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.

  • 已知:四边形ABCD是正方形.

  • 求证:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=900.

  • (2)AB=BC=CD=DA.

  • 分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.

  • 证明:

∵四边形ABCD是正方形,

∴四边形ABCD是矩形,也是菱形.

∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,

AB=BC=CD=DA.


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我思,我进步

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A

D

O

B

C

正方形的性质

  • 定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.

  • 已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线.

  • 求证:(1).AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO;

    (2).AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.

  • 分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.

  • 证明:

∵四边形ABCD是正方形,

∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.

∴AO=CO,BO=DO;

AC=BD;

AC⊥BD;

AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.


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我思,我进步

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A

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B

C

驶向胜利的彼岸

正方形的判定

  • 定理:有一个角是直角的菱形是正方形.

  • 已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900.

  • 求证:四边形ABCD是正方形.

  • 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形即可.

  • 证明:

∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,

∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.

∴∠A=∠B=∠C=900.

∴四边形ABCD是矩形.

∵AB=BC,

∴四边形ABCD是正方形.


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我思,我进步

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A

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O

B

C

驶向胜利的彼岸

正方形的判定

  • 定理:对角线相等的菱形是正方形.

  • 已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD.

  • 求证:四边形ABCD是正方形.

  • 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形(或有一个角是直角的菱形)即可.

  • 证明:

∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.

∵AC=BD,

∴四边形ABCD是矩形.

∵AB=BC,

∴四边形ABCD是正方形.


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我思,我进步

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A

D

O

B

C

正方形的判定

  • 定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.

已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD.

  • 求证:四边形ABCD是正方形.

  • 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或对角线相等的菱形)即可.

  • 证明:

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.

∵AC⊥BD,

∴四边形ABCD是菱形.

∵∠ABC=900.

∴四边形ABCD是正方形.


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例题欣赏

如图,菱形ABCD中,E是AD的中点,EF⊥AC交AB于M,交CB于的延长线于F,

求证:AB、EF互相平分。

  • 思路点拨:连接AF、BE、BD,欲证AB、EF互相平分,只要证四边形AFBE为平行四边形即可,为此,只要证AE=BF即可。

证明:连接AF、BE、BD

∵四边形ABCD是菱形

∴AC⊥BD

又∵EF⊥AC

∴EF//BD ∴ED=AE

又∵ED//FB ∴FB=AE

∴四边形FBDE是平行四边形 又∵FB//AE

∴FD=ED ∴四边形AFBE是平行四边形

又∵E是AD的中点 ∴AB、EF互相平分


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A

C

D

B

O

A

C

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回顾 思考

驶向胜利的彼岸

菱形的性质

  • 定理:菱形的四条边都相等.

  • ∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=BC=CD=AD.

  • 定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.

  • ∵AC,BD是菱形ABCD的两条对角线.

∴AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.


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A

C

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A

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回顾 思考

驶向胜利的彼岸

菱形的判定

  • 定理:四条边都相等的四边形是菱形.

  • 在四边形ABCD中,

  • ∵AB=BC=CD=AD,

∴四边形ABCD是菱形.

  • 定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

  • ∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,AC⊥BD.

∴四边形ABCD是菱形.


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A

A

D

D

O

B

B

C

C

回顾 思考

驶向胜利的彼岸

正方形的性质

  • 定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.

  • ∵四边形ABCD是正方形,

∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA.

  • 定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.

  • ∵四边形ABCD是正方形,

∴AC=BD;AC⊥BD;AO=CO,BO=DO;AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.


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A

A

D

D

O

B

B

C

C

回顾 思考

驶向胜利的彼岸

正方形的判定

  • 定理:有一个角是直角的菱形是正方形.

  • ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,

∴四边形ABCD是正方形.

  • 定理:对角线相等的菱形是正方形.

  • ∵四边形ABCD是菱形,AC=DB.

∴四边形ABCD是正方形.

  • 定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.

  • ∵四边形ABCD是矩形,AC⊥BD,

∴四边形ABCD是正方形.


P 90 3 5 2 3

D

O

A

C

P

A

D

B

独立

作业

Q

B

C

P90习题3.5 2、3题

2.菱形的面积等于其

对角线乘积的一半.

3、已知,如图,A,B,C,D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上.仓库P和Q分别位于AD和DC上,且PD=QC.证明:两条直路BP=AQ,且BP⊥AQ.


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下课了!

再 见

结束寄语

  • 严格性之于数学家,犹如道德之于人.

  • 条理清晰,因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.


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