İSTATİSTİK (STATİSTİCS) NEDİR?

1. İSTATİSTİK (STATİSTİCS) NEDİR? • Herhangi bir konuyu incelemek için gerekli verilerin toplanması, toplanan verilerin değerlendirilmesi ve bilgi haline dönüşmesini sağlayan bilim dalıdır. • İstatistik, tüm evreni (populasyonu) incelemek yerine evrenden seçilen örneği inceleyerek evren hakkında tahminde bulunmayı sağlamaktadır. Çünkü tüm evreni incelemek maddi olarak çok zor olduğu gibi, büyük zaman kayıplarına da neden olmaktadır. O nedenle örnekleme yapılarak, para- zaman- araç-gereç ve personelden tasarruf sağlanmış olur. • Ayrıca uzun yıllar gerektiren bir çalışmada örnek yerine tüm evrene ait verilerin toplanması yoluna gidilirse, yıllar sonra toplanmış olan verilerin güncelliğini kaybetme riski de ortaya çıkacaktır. Dolayısıyla yapılan tüm harcama ve geçen zamanın güncel olarak bir değeri olmayacaktır.

2. İstatistik konu olaraktanımlayıcı istatistik ve çıkarımsal istatistikolmak üzere iki ana gruba ayrılır. Tanımlayıcı istatistik:Elde edilen verilerin sınıflandırılması, ortalama ve yaygınlık ölçülerinin hesaplanması,tablo ve grafiklerle sunulmasını içerir. Çıkarımsal istatistik: Örneklemden elde edilen bulgular yardımıyla evren hakkında kestirimde bulunma, hipotezleri test etme ve karara varma gibi konuları içerir.

3. Biyoloji, tıp ve diğer sağlık bilimlerinde araştırma düzeninin oluşturulması, verilerin elde edilmesi ve değerlendirilmesi ile uğraşan bilim dalıdır. BİYOİSTATİSTİK

4. TANIMLAR EVREN (=POPULASYON – ANA KÜTLE) Belirli bir özelliğe sahip bireylerin tümünün oluşturduğu topluluk olarak tanımlanabilir. Örneğin veteriner fakültesi öğrencileri yada veteriner fakültesinin 1. sınıf öğrencileri gibi. Evren büyük – küçük; sonsuz – sınırlı olabilir. PARAMETRE Evreni tanımlamak için kullanılan ölçülere parametre denir. ÖRNEKLEM(E) Evreni temsil ettiği düşünülen bir grubun oluşturduğu topluluğa Örneklemdenir. Örneklemi seçmek için yapılan işlemlere de Örnekleme denir. TAM SAYIM Bir araştırmanın populasyonu oluşturan bütün bireylere uygulanmasıdır.

5. DEĞİŞKEN (VARIABLE) Canlıların ve çevrenin her bir özelliğidir. İncelenen parametre, ölçü, veri veya değerdir. Adından da anlaşılacağı üzere incelenecek olan parametre anlık veya dönemsel olarak değişim göstermektedir. Aynı özelliği gösterenlerin oluşturduğu gruptur. (Ör: cinsiyet, ırk, günlük 20 lt.’nin üzerinde süt veren inekler vs.). Değişkenler kantitatif (rakamsal =quantitative) olabildiği gibi, kalitatif (grup, kategori, =qualitative) de olabilir. Ör: Türkiye’deki 10 milyon sığırın 2 milyonu(%20) Simental’dir, 3 milyonu (%30) Holstein’dır. VERİ (DATA) Bir olayı aydınlatmak veya gerçeği ortaya çıkarmak için toplanan rakamlar, sayısal bilgilerdir.İstatistikçilerin üzerinde çalıştığı materyallerdir. Ölçüm, sayım ve gözlem kayıtlarıdır. (Ör: İşletmemizde bulunan ineklerin günlük süt verimleri)

6. Araştırma Nedir?

7. Bilinmeyen bir olayı ortaya çıkarmak, bilinenleri geliştirmek, herhangi bir konuyu aydınlatmak, sorunları ortaya çıkarmak ya da sorunlara çözüm yolları aramak için yapılan planlı ve bilimsel bir çalışmadır. Araştırma

8. Araştırmanın Uygulanması ve Değerlendirilmesi Araştırmanın uygulanması için araştırma kapsamına giren birimler belirlenmelidir. Araştırma birimi, araştırma konusuna göre değişir. Örneğin bir bölgede hane halkı ile ilgili bir araştırma düzenlendiğinde, araştırma birimi hanelerdir.

9. Araştırma konusunu içeren sorular, araştırma birimlerine uygulanır. Araştırma sonunda toplanan veriler istatistiksel yöntemler kullanılarak değerlendirilir.

10. 1. Tanımlayıcı Araştırmalar 2. Analitik Araştırmalar 1- Vaka-Kontrol Araştırmaları2-Kohort Araştırmaları3-Kesitsel Araştırmalar Araştırmaların Temel Amaç ve Yöntemlerine Göre SınıflandırılmasıI. Gözlemsel Araştırmalar

11. II. Deneysel AraştırmalarDeneysel araştırmalar genellikle klinikte ve laboratuvarlarda yapılır. III. Metodolojik Araştırmalar

12. ARAŞTIRMALARDA DİKKAT EDİLMESİ GEREKEN NOKTALAR Araştırmanın konusu ve amacı belirgin, sınırlı ve güncel olmalı, Araştırıcının yeterli bilgisi olmalı ya da konu ile ilgili uzmanlarla çalışmalı, Kullanılacak analiz metodu doğru seçilmeli, Elde edilen sonuçların bilime ya da uygulama alanlarına katkısı olmalı, Araştırıcının yeterli zamanı, elemanı, techizatı ve maddi kaynağı olmalı, Çalışacak elemanlar iyi eğitilmeli, personelin istenildiği ve öğretildiği gibi çalışıp çalışmadığı kontrol edilmeli, Araştırmada kullanılacak özellikler ve ölçüm hassasiyeti önceden belirlenmeli, amaca uygun ölçüler kullanılmalı, Toplanan bilgiler iyi korunmalıdır. Araştırma devam ederken sık sık değerlendirme yapılmalı ve Deneklerin uygulamaya olan tepkileri kontrol edilmelidir.

13. Deneme hatasını en aza indirilmesi için; Homojen materyal seçimi ve alt gruplara homojen dağıtılması için uygun örnekleme metotları kullanılmalı, Tekrar sayısı veya araştırmada kullanılan denek sayısı artırılmalı, Araştırma özelliğini etkileyen faktörler mümkün olduğu kadar araştırmaya dahil edilmeli, dahil edilemeyen faktörler ise bütün gruplara eşit uygulanmalı, Mekan ve çevre faktörlerinden kaynaklanan farklı etkilerin araştırma materyali üzerine homojen dağılması sağlanmalı ve Zaman faktörünün etkisi de dikkate alınmalıdır.

14. İncelenen konuya açıklık getirmek amacıyla toplanan bilgiler, belgeler, ölçümler, ... vb. VERİ Veri tipleri 1- Ölçümle Belirtilen Sürekli (Nicel) Veriler 2- Sayısal Olarak Belirtilen Kesikli Veriler 3- Nitelik (İsim) Olarak Belirtilen Veriler

15. VERİ TİPLERİ 1- Ölçümle Belirtilen Sürekli (Nicel) Veriler Kandaki kolesterol düzeyi, hayvanların günlük yem tüketimi, yaşı, kilosu gibi. Bu veriler süreklidir ve iki aralıkta değer alabilirler. 120-130 mg/ml veya 10-15 kg/gün gibi. Ölçüm veya tartımla elde edilirler. 2- Sayısal Olarak Belirtilen Kesikli Veriler Ölen hayvan sayısı, iyileşen hayvan sayısı, gebe kalma oranı, nüfus gibi. Bu veriler sürekli ve aralıklı değildir. Yani net bir rakamdır. Sayımla elde edilirler. 3- Nitelik (İsim) Olarak Belirtilen Veriler İyileşti- iyileşmedi, gebe kaldı- kalmadı şeklinde olabildiği gibi, çok iyi-iyi-az iyi-iyi değil gibi sıralanabilen verilerdir. Erkek-dişi gibi, saç rengi göz rengi gibi nitelik belirten ve rakamla ifade edilmeyen verilerdir. 1 ve 2. tip veriler kantitatif, 3. tip veriler ise kalitatif niteliktedir.

16. VERİLERİN ELDE EDİLMESİ • Temel olarak verileri 5 farklı yaklaşımla elde edebiliriz. • ARŞİV TARAMASI • GÖZLEM YOLUYLA • DENEME DÜZENLENEREK • ANKET DÜZENLENEREK • YAPAY (SİMULASYON) YOLLARLA

17. Verilerin elde edilmesinde dikkat edilmesi gereken hususlar; Araştırma sonuçlarını etkilemeyecek şekilde, en düşük maliyetle veri elde etmeye çalışılır. İstatistikte her ne kadar %100 doğruluk payı olmasa da verilerin doğruluğu ve güvenilirliği çok önemlidir. O nedenle, bizzat araştırıcı tarafından toplanan verilerin güvenirliği, eski kayıt ve belgelerden toplanan verilerin güvenirliğinden daha fazla olacaktır. Bilimsel araştırmalarda genellikle %95 güven aralığı yeterli olarak kabul edilmektedir. Verilerin en kısa sürede elde edilmesi, sonuçların geçerliliğini yitirmemesi açısından önemli bir kriterdir. Deneysel olarak elde edilecek veriler dışında veriler genellikle anket yoluyla toplanmaktadır. O nedenle düzenlenecek olan anket konunun uzman(lar)ı tarafından hazırlanmalı ve sorular açık, kısa ve mantıklı olmalıdır.

18. Verileri Sınıflandırılması, Tablo ve Grafiklerle Gösterilmesi Veriler elde edildikten sonra bilgi haline dönüştürebilmek ve daha kolay anlaşılmasına yardımcı olmak için sınıflandırılması gerekmektedir. Sınıf sınırı (Alt sınır-üst sınır); örneğin biyometri dersinden 60-70 arası not alanlar denildiğinde alt sınır 60, üst sınır 70’dir. Sınıf aralığı; ard arda gelen iki sınıfın alt ve üst sınırları arasındaki farktır. Örneğin dersten 10-14 arası alanlarla, 15-19 arası alanlar arasındaki sınıf aralığı 5’dir. Sınıf sayısı; 50-60 alanlar, 61-70 alanlar, 71-80 alanlar şeklinde sınıflandırma yapıldığında sınıf sayısı 3’tür. Sınıf sayısının 8 ile 15 arasında olması tercih edilir.

19. Örnek: 20 adet öğrencinin biyometri dersinden aldığı notlar sırasıyla aşağıdaki gibi olsun; 10-12-18-23-24-35-40-44-46-48-55-57-64-70-75-78-81-83-89-90 Dağılım aralığı bulunurken en büyükle en küçük değerin farkı alınır (90-10=80). Bulunan fark önce 8’e (80/8=10) sonra 15’e (80/15=5,3) bölünür. Elde edilen 5,3 ile 10 arasında bir değer sınıf aralığı olarak seçilebilir. Eğer sınıf aralığını 8 alırsak (80/8=10) 10 adet sınıfımız olur. 9 olarak alırsak (80/9=8,8) 9 adet sınıfımız olur. Sınıf aralığını 9 olarak aldığımızı kabul edersek; Sınıflar 10-18; 19-27; 28-36; 37-45; 46-54; 55-63; 64-72; 73-81; 82-90; şeklinde oluşur ve tüm değerler bu sınıfların içerisinde yer alır.

20. Frekans (sıklık); sınıflar tespit edildikten sonra her bir değerin hangi sınıfa gireceğine bakılır. Sınıf SayısıSınıflarFrekans 1 10-18 3 2 19-27 2 3 28-36 1 4 37-45 2 5 46-54 2 6 55-63 2 7 64-72 2 8 73-81 3 9 82-90 3

21. Tablo Nedir? Tablo Düzenlenirken Nelere Dikkat Edilmelidir? Tablo, verilerin satır ve sütunlar halinde sistemli bir şekilde bir arada sunulmasıdır. Tablo düzenlerken dikkat edilmesi gereken noktalar; - Her tablonun mutlaka bir başlığı ve sıra numarası olmalıdır. Bu başlık, tablonun içeriğine uygun olmalı ve fazla uzun olmamalıdır. - Tablodaki birimlerin ölçü birimleri verilmelidir. Eğer tablodaki tüm ölçü birimleri aynı ise o zaman bu ölçü birimi tablo başlığının altına yazılabilir. - Tablodaki satır ve sütunların neyi ifade ettiği başta yazılmalıdır. - Tablolar fazla geniş ve uzun olmamalıdır. Gerekirse tablo 2’ye 3’e bölünmelidir. - Tabloda kullanılan kısaltma varsa tablonun altında belirtilmelidir. Tabloda kullanılan veriler başka bir kaynaktan alınmışsa alınan kaynağa atıf yapılmalıdır. - Tabloda kullanılan veriler açık ve tam olarak yazılmalıdır.

22. TABLO ÇEŞİTLERİ • 1. MARJİNAL TABLO: Deneklerin incelenen herhangi bir değişkenin sınıflarına nasıl dağıldığını gösteren tablodur. Örn: 1. sınıf öğrencilerinin Anatomi, Histoloji, Biyoistatistik dersinden aldıkları not ortalamaları • 2. ÇAPRAZ TABLO: İki yada daha çok değişkenin birlikte incelenmesidir.

23. Örnek:Türkiye ve Avrupa Birliği’nde yıllar itibariyle hayvansal ürünlerde verim miktarlarına ait rakamlar Tablo. 1’de verilmiştir (3, 6, 7, 8, 9, 10). Tablo 1.Türkiye’de ve AB’de Elde Edilen Verimler(2001-2003)

24. Grafik Nedir? Grafik Yapımında Nelere Dikkat Edilmelidir? Grafik, bulguların şekillerle ifade edilerek açık ve kolay anlaşılır bir şekilde okuyucuya sunulmasını sağlayan bir araçtır. Grafiklerin en önemli özelliği göze hitap etmesidir. Grafiklerin de tablolar gibi kısa ve açıklayıcı bir başlığı ile numarası olmalı, eksenlerin neyi ifade ettiği belirtilmeli ve kısaltma kullanılmışsa açıklaması yapılmalıdır.

25. Grafik yapımında dikkat edilmesi gereken noktalar; - Her grafiğin mutlaka bir başlığı olmalıdır. Bu başlık, grafiğin içeriğine uygun olmalı ve fazla uzun olmamalıdır. - Eksenlerin neyi ifade ettiği belirtilmelidir. - Grafikte kullanılan ölçekler ve işaretler hakkında açıklayıcı bilgi konulmalıdır. - Grafik karışık olmamalıdır.

26. GRAFİK TÜRLERİ 1- Çubuk Grafik: Frekansların ve yüzdelerin bir çubukla gösterilmesidir. Çubuğun yüksekliği frekansı ve yüzdeyi ifade eder. Grafik 2. Süt sağımında eğitim düzeyine göre eldiven kullanım durumu

27. Grafik 5. Süt sağımında eğitim düzeyine göre eldiven kullanım durumu

28. 2-Çizgi Grafik: Genellikle bir değişkenin belirli bir süre içinde gösterdiği değişiklikleri incelemek için çizilen grafik türüdür. Grafik 1. İMKB’de İşlem Gören İki Farklı Hisse Senedi Fiyatları

29. 3-Daire Grafikleri: Daha çok gelir, harcama, persenol, vb. dağılımlarda başvurulan bir grafik türüdür. Örn: Hayvancılık İşletmesinde Giderlerin Dağılımı Yem gideri : %70 360x70/100= 252 derece İşçilik gideri : %15 360x15/100= 54 derece Veteriner gideri: %5 360x 5/100= 18 derece Diğer giderler: %10 360x10/100= 36 derece

30. Grafik 11. Hayvancılık İşletmesinde Giderlerin Dağılımı

31. 4-Histogram Sürekli değişknler için çizilir. Sürekli değişknlerde sınıflar birbirine geçişli olduğu için çubuklar bitişiktir.Veri setinin frekans dağılımıdır.

32. Örnek: Veteriner Fakültesi Çiftliğinde bulunan 80 koyunun yapağı verimleri 1000 gr ile 1800 gr arasında değişsin. 5 koyun 1000-1100 gr, 7 koyun 1101-1200, 10 koyun 1201-1300 gr, 15 koyun 1301-1400 gr, 19 koyun da 1401-1500 gr 10 koyun 1501-1600 gr, 8 koyun 1601-1700 gr ve 4 koyun da 1701-1800 gr yapağı verirse histogramı nasıl çizilir?

33. 5- Dağılım Poligoni: Histogramda çubukların orta noktalarından geçecek şekilde çizgiler çizilirse elde edilecek şekil dağılım poligonu adını alır.

34. Örnek:Veteriner Fakültesi 1.sınıfta öğrenim gören 65 öğrencinin boy uzunluğunu tahmin edebilmek için seçilen 20 öğrencinin boy uzunluğu ölçülmüş ve 1.60-1.80 cm arasında olduğu tespit edilmiştir. Evren (Popülasyon)? Örnek sayısı kaçtır? İncelenen değişken nedir? Boy uzunluğu nasıl bir veridir?

35. FREKANS DAĞILIMLARINI TANIMLAYICI ÖLÇÜTLER • YER GÖSTEREN ÖLÇÜTLER • Merkez ölçütleri: Ortalamalar • Çeyrek ve yüzdelikler • 2. YAYGINLIK ÖLÇÜTLERİ • a. Standart sapma • b. Varyans • c. Varyasyon katsayısı • d. Standart hata

36. ORTALAMALAR • Tanım:Ortalama, sayısal veriler topluluğunun orta noktasını bir kalemde özetleyen veya belirten tipik bir değerdir. Ortalama, merkezde toplanma eğiliminin ölçüsüdür, şeklinde de tanımlanabilir. Ortalama, dağılışları özetleyen tipik bir merkezi eğilim ölçüsüdür. • FAYDALARI • Ortalamalar, seride bulunan bütün değerleri hatırda tutma zahmetinden kurtarır. Bunlar, sayısal veriler topluluğunun kolay bir şekilde anlaşılmasına yardımcı olurlar.

37. Ortalamalar, rastgele nedenlerin etkilerine daha az maruz kalırlar. Bunlar, olaylardaki normal durumu daha iyi yansıtırlar. Ortalama, normal durumun bir ölçüsü olarak kabul edilir. Örneğin, her hangi bir öğrencinin bilgi düzeyini, tek dersten almış olduğu not değil, okumuş olduğu ve sınavım verdiği tüm derslerden aldığı notların ortalaması gösterir. • Ortalamalar, genel örneğe, alışılmışa, kurala aykırı olan durumların bir ölçüsüdür. Olaylardaki bu anormal durumlar, ortalamalar ile çoğu kez açıklığa kavuşturulur. Örneğin, Van şehir merkezinde, 1984-85 Kış mevsiminde, bir yıl öncesine oranla daha soğuk geçtiğini, 1984-85 yılı Kış aylarında ölçülen sıcaklık dereceleri ortalamasının, 1983-84 Kış mevsimi ısı derecesi ortalaması ile karşılaştırılması sonucu söylenebilir. • Ortalamalar, kıyaslama vasıtalarıdır. Mevcut iki serinin birbirleriyle mukayesesi, ancak, bunların ortalama değerlerinin karşılaştırılması ile mümkündür.

38. Ortalamaların sakıncaları • Sayısal verilerin azlığında ortalamalar her hangi bir anlam taşımaz. Örneğin bir portakal yiyenle hiç portakal yemeyen iki kişiyi, yarım portakal yemiş gibi göstermek oldukça hatalıdır. • Ortalamalar, sayısal bilgiler arasındaki farkları bazen ortadan kaldırabilirler. Örneğin istatistikten 2, Almanca’dan l0 numara almış olan bir öğrencinin not ortalaması 6'dır. • Bu ortalama değer, öğrencinin istatistik ve almanca derslerine karşı yeteneğinin orta olduğunu, oysa bu öğrencinin istatistik dersine karşı yetenekli olmadığı, zayıf olduğu, Almanca’ya karşı ise yetenekli olduğu ve bu yeteneğinin pekiyi dereceyle ifade edildiği görülür. • Ortalamalar, bazen gerçeği tam olarak yansıtmazlar; gerçeğe aykırı bilgi verirler. Örneğin 500 kişilik bir köyde, kişi başına düşen geliri hesaplamak istiyoruz. Bu kişilerin yıllık gelirleri 50 milyon ile 100 milyon arasında olsun ve bu köye yıllık geliri 500 milyon olan başka birisinin taşındığını varsayalım. Bu örnekte, köyün birey nüfusa düşen yıllık gelir ortalaması hesaplanmak istense, bu değerin, köyde yaşayan kişilerin gerçek gelirini yansıtmadığı görülür.

39. Ortalamaların bu sakıncalarından kaçınmak için, şu noktalara dikkat etmek gerekir: • Ortalama, sayısal verilerin fazla olduğu durumlarda hesaplanır. Çünkü, sayısal verilerin azlığında, ortalama rastgele ortaya çıkan bazı nedenlerin etkisi altında kalabilir ve normal durumu yansıtmayabilir. • Seriyi meydana getiren değerler farklı olmamalıdır. Örneğin Japon ve İngiliz çocuklarının devam ettiği İlkokulun her hangi bir sınıfındaki öğrencilerin boylarının ortalamasını hesaplamak istesek, seriyi oluşturan gruplarda farklılık olduğu, yani, Japon ırkının genelde boylarının kısa, İngilizlerin ise uzun olduğu için, her iki öğrenci grubunu temsil edecek olan ortalama, gerçek değerden ayrı bir noktada olacaktır. • Anormal değerleri ihtiva eden serilerin ortalaması alınmamalıdır; yahut da bu mahsuru ortadan kaldıracak başka metotlar uygulanmalıdır.

40. Ortalama Türleri:İstatistikte çok değişik ortalama tipleri vardır. Bunlardan en fazla kullanılanları, • Aritmetik Ortalama, • Geometrik Ortalama, • Harmonik Ortalama, • Karesel Ortalama (Kadratik Ortalama), • Medyan (Ortanca), • Mod (Tepe Noktası)’dur.

41. ARİTMETİK ORTALAMA Uzun süreden beri kullanılan, ortalamalar içinde en iyi bilinen ve en yaygın olan bir ortalama çeşididir. Ortalama denildiğinde, genelde akla aritmetik ortalama gelir. Deneklerin aldıkları değerlerin toplanıp denek saysınına bölünmesi ile elde edilen matematiksel gerçel bir değerdir. Bu nedenle Aşırı dğerlerden etkilenir. Örnekten hesaplanan aritmetik ortalama, X sembolü ile gösterilir. Hesaplanması kolay ve serinin şekline göre değişir.

42. n tane deneğin aldıkları değerlerin toplanacağı gösterir i. Deneğin aldığı değer l- Aritmetik Ortalamayı Hesaplama Metotları a) Sınıflandırılmamış verilerde aritmetik ortalamanın hesaplanması Burada; deneklerin aldıkları değerler (Xı, X2, X3 ......... Xn) tek tek toplanır, bulunan toplam,denek sayısına bölünür. Formül; Aritmetik ortalama Denek sayısı

43. ÖRNEK: E.Ü. Veteriner Fakültesi birinci sınıf öğrencilerinden rastgele seçilen 20 Öğrencinin 2006 yılında yapılan üniversite giriş sınavında almış oldukları sayısal puanlarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Öğrencilerin almış oldukları fen puanlarının aritmetik ortalaması nedir? 6483/20=324,15'dir 43

44. b) Sınıflanmış verilerde aritmetik ortalamanın hesaplanması Eğer, sayısal veriler fazla ise, bu değerlerin aritmetik ortalamasını bulmak zorlaşır. Çünkü, sayısal veriler çoğaldıkça, basit bir toplama işlemi bile fazla zaman alır ve hata yapma ihtimali artar. Örneğin 20-30 bin kadar bir gözlemin, sayısal verinin aritmetik ortalamasını yukarıdaki formülün yardımıyla bulmak, hesap makinası ile bile, bir hayli zordur ve de oldukça uzun zaman alır. İşte bu nedenle, fazla sayıdaki verilerin aritmetik ortalamasını bulmak için, veriler, önce bir frekans dağılımı şeklinde gruplandırılır. Bu gruplandırma işlemi tamamlandıktan sonra, ancak gruplandırılmış verilerden aritmetik ortalama hesap edilir.

45. Hesaplama Metodu • Frekansları ile birlikte Sınıflar yazılır, • Sınıf değerleri (SD) bulunur ve her sınıfın karşısına yazılır. Sınıf değeri sınıfın ortalamasıdır. • Çalışma birimi “b” kolonu oluşturulur. Yukarı doğru “-” aşağı doğru “+” olacak şekilde 1 artırarak yazılır. • Frekansla çalışma birimleri çarpımları (f*b) alınarak her sınıfın karşısına yazılır. İşaretleri dikkate alınarak toplanır. • Değerler formüle yerleştirilir.

46. Formül; B kolonunda karşısına 0 konulan sınıfın sınıf değeri f* b toplamı Sınıf Aralığı Aritmetik ortalama Denek sayısı

47. Örnek: Bir çiftlikte 1 - 3 kg arasında yapağı veren 300 baş koyunun yıllık yapağı verimleri şöyledir. Bu dağılımın aritmetik ortalaması nedir?

48. 2068

49. TARTILI VEYA AĞIRLIKLI ARİTMETİK ORTALAMA Bazı durumlarda serilerdeki terimler arasında önem dereceleri bakımından farklılıklar bulunabilir. Eğer ortalamanın hesaplanmasında bu farkların dikkate alınması gerekiyorsa ve de istenmiş ise, her terime veya değere, önem derecesi ile orantılı olmak üzere bir katsayı veya ağırlık verilmesi şarttır. Böyle dağılımlarda ortalama hesap edilirken, ortaya katılacak ferdi değerlerin nispi önemlerinin dikkate alınmaması, bizi, yanıltıcı sonuçlara götürebilir.Ağırlıklı veya tartılı aritmetik ortalama, ancak birimlerin her birinin değerine verilen önemin farklı olması durumlarında kullanılır.

50. Örnek: Fakültemizdeki bir öğrencinin birinci sınıfta okuduğu çeşitli derslerden aldığı notlar ve bu derslere ilişkin kredi saatleri veya haftalık ders saatleri aşağıdaki verilmiştir. Bu dağılımın ağırlıklı aritmetik ortalamasını bulunuz. Ağırlıklı Aritmetik Ortalama = 1.365/19 = 71,84'dür. Oysa, cetveldeki değerlere göre çeşitli derslerden alınan notların tartısız ortalaması; 450/6= 75’dir.