Ostyganie sześcianu Współrzędne kartezjańskie – rozdzielenie zmiennych

1. Ostyganie sześcianuWspółrzędne kartezjańskie – rozdzielenie zmiennych Piotr Ciszewski WFiIS 26.01.2009

2. 1 2 3 4 5 6 7

3. 1 Mamy sześcian o długości boku l: W chwili t=0 podgrzewamy go do pewnej temperatury i obserwujemy proces jego schładzania. Aby przeanalizować ten proces należy rozwiązać równanie przewodnictwa cieplnego. l l l

4. 2 Ogólny zapis równania przewodnictwa: Zakładamy że nasza funkcja u jest funkcją położenia i czasu u(x,y,z,t) , a współczynnik zależy od wewnętrznej struktury, pojemności cieplnej, kształtu oraz fizycznej wielkości układu:

5. 3 Zakładamy warunki brzegowe: Na ściankach w trakcie ostygania temperatura jest równa 0. W chwili t = 0 temperatura sześcianu wynosi T0

6. 4 Funkcja u zależy od położenia i od czasu, więc dokonujemy separacji zmiennych: Po podstawieniu do równania przewodnictwa otrzymujemy: i przyrównujemy do

7. 4 Przyjmujemy, że: Więc : Z powyższych warunków możemy zapisać równania różniczkowe:

8. 4 Po rozwiązaniu otrzymujemy funkcje: Gdzie to stałe. Korzystając z warunków początkowych podanych wcześniej wyliczamy wartości parametrów .

9. 4 Dla funkcji A(x) obliczamy parametr w następujący sposób: Stąd ostatecznie:

10. 4 Analogicznie wyliczamy parametry dla funkcji B(y) i C(z) i otrzymujemy: Teraz funkcje A(x) B(y) C(z) przyjmują postać:

11. 4 Postać szczególna rozwiązania równania przewodnictwa: Postać ogólna rozwiązania równania przewodnictwa:

12. 5 Szereg Fouriera przypomnienie:

13. 6 Teraz wyliczymy współczynnik V stosując wzór na szereg Fouriera oraz korzystając z warunków początkowych. Wiemy że: Więc:

14. 7 Sześcian ostyga najwolniej gdy wykładnik funkcji eksponencjalnej jest najmniejszy: Pamiętamy, że : Podstawiając wyliczone wcześniej wartości na

15. 7 Wartość λ jest minimalna gdy: wtedy

16. . Dziękuję