Asszimptotikus viszonyok

1. Asszimptotikus viszonyok

2. Asszimptotikus viszonyok számításánál felhasználható ismeretek: • Az asszimptotikus viszonyok reláció-tulajdonságai: A következő állítások egyenesen következnek a definíciókból. F={a vizsgált függvények halmaza} Állítás: a FF ekvivalenciareláció, azaz 1. fFff (reflexivitás) 2. f,gF:fggf (szimmetria) 3. f,g,hF:fgghfh (tranzitivitás) Állítás: ha most a függvények között -t tekintjük egyenlőségnek, az O és  relációk részbenrendezések, azaz: 1. fFfOf, illetve ff (reflexivitás) 2. f,gF:fOggOffg, illetve f,gF:fggffg („-antiszimmetria”) 3. f,g,hF:fOggOhfOh, illetve f,g,hF:fgghfh (tranzitivitás)

3. További fontos tulajdonság az O és , illetve az  és  között fennálló következő tulajdonság: fOggf, illetve fggf Állítás: A fennti megkötés mellett  a ,  pedig a  részbenrendezé- sekhez tartozó szigorú részbenrendezések, azaz f,gF: fgfgfOg, illetve fgfgfg Mj.:  és  irreflexívek, szigorúan -antiszimmetrikusak és tranzitívak Megjegyzés: A fennti jelölésekben a viszonyokat mint relációkat tekin- tettük, így természetesen például az fg ekvivalens f=(g)-vel. Megje- gyezzük továbbá, hogy a (g) halmaz tulajdonképpen a g-nek -reláció szerint vett inverzkép-halmaza.

4. 2. Határértékkel kapcsolatos ismeretek: • Ha lim f(n)/g(n)=c\{0}, akkor f=(g) • Ha lim f(n)/g(n)=0, akkor f=(g) • Ha lim f(n)/g(n)=, akkor f=(g) • Ha lim f(n)/g(n)=c, akkor f=O(g) • Ha lim f(n)/g(n)=c\{0}{}, akkor f=(g) • A fennti határértékek kiszámítására alkalmazhatjuk az analízisből • már ismert tételeket, mint például a L’Hospital-szabályt vagy az is- • mert tétel a p(n)/q(n) típusú polinomhányados határértékének kiszá- • mítására.

5. Konkrét példa Most lássuk konkrét példaként a következő függvények rendezését: 5n0.01+100 2n+1 ln(n2) 2n+1-200 (n+1)log2(n) n0.02-10 0.1n1.01-5 log2(n) A feladat megoldásában a tranzitivitást és a határértékekre vonatkozó állításokat fogjuk felhasználni.

6. A logaritmusok rendezése ln(n2), (n+1)log2(n), log2(n) ln(n2) log2(n) 2ln(n)  2ln2 konstans = = 2ln2 ln(n)/ln2 n Köv.: ln (n2)=(log2(n)) (n+1)log2(n) log2(n) = n+1   n Köv.: log2(n)=o((n+1)log2(n)) Azaz: log2(n)~ln(n2)<<(n+1)log2(n)

7. N- és kettőhatványok 2n+1-200 2*2n+2-202 202  2 konstans 2 - = = 2n+1 2n+1 2n+1 n Köv.: 2n+1-200=(2n+1) 5n0.01+100  0 konstans, mivel a számláló kitevője kisebb (analízis) 0.1n1.01-5 n Köv.: 5n0.01+100=o(0.1n1.01-5) 0.1n1.01-5  , mivel a számláló kitevője nagyobb (analízis) n0.02-10 n Köv.: n0.02-10=o(0.1n1.01-5) 5n0.01+100  0 konstans, mivel a számláló kitevője kisebb (analízis) n0.02-10 n Köv.: 5n0.01+100 =o(n0.02-10) Tehát: 5n0.01+100<< n0.02-10<< 0.1n1.01-5

8. Végül hasonlítsuk össze a különböző kategóriákat és a tranzitivitást felhasználva adjuk meg a végső rendezést. Ehhez előbb el kell vé- geznünk néhány határérték számítást. Annyi egyszerűsítést azért megengedünk magunknak, hogy feltesszük a következő egyszerű állításokat, amik analóg módon bizonyíthatóak az eddigiek alapján: (n+1)log2(n)=(nln(n)), a*nb+c=(nb), 2n+1=(2n) nln(n) ln(n)+1 1/n lim  0 konstans lim lim = = 2n ln2*2n (ln2)2*2n n L’Hospital-szabály L’Hospital-szabály nln(n) ln(n)+1 n-1 n-0.01 lim  0 lim lim lim = = = n1.01 1.01n0.01 cn-0.99 c n L’Hospital-szabály L’Hospital-szabály nln(n) ln(n)+1 n-1 1 lim   lim lim lim = = = n0.02 0.02n-0.98 cn-1.98 cn-0.98 n L’Hospital-szabály L’Hospital-szabály

9. ln(n) n-1 n-0.01 lim lim lim = =  0 konstans n0.01 0.01n-0.99 0.01 n L’Hospital-szabály Eredmény: ln(n2) ~ log2(n) << 5n0.01+100 << n0.02-10 << (n+1)log2(n) << << 0.1n1.01-5 << 2n+1 ~ 2n+1-200 ■ Készítette: Alagi Gábor <ALGLAAT.ELTE>, 2005.02.26.