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  數學評量 國立臺南師範學院數學教育系 謝  堅

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  數學評量 國立臺南師範學院數學教育系 謝  堅 - PowerPoint PPT Presentation


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  數學評量 國立臺南師範學院數學教育系 謝  堅. 為什麼學校考試的試題,絕大多數都是我們 ( 或學童 ) 熟悉的題目? 為什麼老師們不喜歡出沒有見過 ( 或不常見到 ) 的題目 ? 沒有見過的題目,漂亮的題目, 是怎麼冒出來的?. 困難,但是算過的題目 。 簡單 ,但是沒有看過的題目 。 簡單 ,但是文字描述很長的題目 。 那些是學童無法得分的題目 ? 為什麼學童害怕這些簡單的題目 ?. 如果要你命一份紙筆測驗 ,你會注意那些事項 ? 你如何命一份紙筆測驗 ?.

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Presentation Transcript
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  數學評量
  • 國立臺南師範學院數學教育系
  • 謝  堅
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為什麼學校考試的試題,絕大多數都是我們(或學童)熟悉的題目?為什麼學校考試的試題,絕大多數都是我們(或學童)熟悉的題目?
  • 為什麼老師們不喜歡出沒有見過(或不常見到)的題目?
  • 沒有見過的題目,漂亮的題目, 是怎麼冒出來的?
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困難,但是算過的題目。
  • 簡單,但是沒有看過的題目。
  • 簡單,但是文字描述很長的題目。
  • 那些是學童無法得分的題目?
  • 為什麼學童害怕這些簡單的題目?
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如果要你命一份紙筆測驗,你會注意那些事項?如果要你命一份紙筆測驗,你會注意那些事項?
  • 你如何命一份紙筆測驗?
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參考課本、 習作、參考書的例題及習題,或參考書局光碟的題庫、 考古題等題目,再透過改數字,改情境, 轉化題型(填充題 改成選擇題)等方式命題。
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不參考任何試題(或者只是純參考, 但是不使用),依據考試範圍的教學目標、重要的數學概念、上課時學童混淆的教材以及重點教材,憑空想題目。
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為什麼以前高中或大學聯考數學科的考題,讓部份大學數學系的教授在規定的時間內,無法答完所有的考題?為什麼以前高中或大學聯考數學科的考題,讓部份大學數學系的教授在規定的時間內,無法答完所有的考題?
  • 為什麼現在國中升高中的基本學力測驗數學科的考題,所有大學數學系的教授都能在規定的時間內答完所有的考題,而且多數問題不必計算就能夠看到答案?
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基本學力測驗的命題方式,和以前聯考的命題方式,有那些改變?基本學力測驗的命題方式,和以前聯考的命題方式,有那些改變?
  • 準備數學基本學力測驗與準備以前數學科聯考:
  • 學童讀書的方式是否要改變?
  • 教師教學的方式是否要改變?
  • 評量命題的方式是否要改變?
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課本給一些例子,幫助學童抽象
  • 數學概念。
  • 課本給一些例題,幫助學童澄清
  • 數學概念。  
  • 課本給一些習題,檢查學童是否
  • 掌握該數學概念。  
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參考書給一些例題,延伸課本的
  • 數學概念。  
  • 參考書給一些習題,檢查該學童
  • 是否掌握延伸的數學概念。
  • 以前聯考數學試題,常由課本或參考書的例題或習題為出發點命題。
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現在基本學測數學科的試題:
  • 只要題目和參考書的題目雷同,一定不會變成學測的試題。
  • 由概念或生活情境直接命題。
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如果試題以參考書的例題或習題為出發點,一路走來的學生,很容易抓到命題的脈動,不必回溯至原始的數學概念,就可以成功解題。如果試題以參考書的例題或習題為出發點,一路走來的學生,很容易抓到命題的脈動,不必回溯至原始的數學概念,就可以成功解題。
  • 沒有一路走來的教授,必須由原始的概念出發,思考如何解題,因此必須花較多的思考時間,才能夠解題成功。
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算很多題目,對考試是否有幫助?
  • 小範圍的考試 (例如月考)
  • vs
  • 大範圍的考試(例如基本學測)
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由概念出發的考題
  • vs
  • 由課本或參考書轉化的考題
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全國統一的教科書
  • vs
  • 一綱多本的教科書
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如何命一個沒有見過的新題目?
  • 由數學概念開始思考:
  • 由日常生活情境開始尋找:
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由數學概念開始思考:
  • 嘗試創造與生活情境無關,但是可以澄清或延伸數學概念的考題。
  • 嘗試尋找生活情境中有那些現象或問題,可以透過數學概念解題。
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由日常生活情境開始尋找:
  • 嘗試在日常生活中尋找有趣或有規律的現象,判斷這些現象可以評量那些數學概念,並將這些現象轉換成考題。
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面對問題「一瓶水4/5公升,3/11 瓶水有多少公升?」時,我們可以透過「分子乘以分子,分母乘以分母」的方式算出答案。
  • 請問下面那些人的說法正確?
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甲說:分母乘以分母,是將1瓶水 平分成55等份的意思。
  • 乙說:分母乘以分母,是將1公升平分成55等份的意思。
  • 丙說:分子乘以分子,是算有12個1/55瓶水的意思。
  • 丁說:分子乘以分子,是算有12個1/55公升的水的意思。
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(1)甲、丙的說法正確。
  • (2)甲、丁的說法正確。
  • (3)乙、丙的說法正確。
  • (4)乙、丁的說法正確。
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某特製腳踏車前輪半徑是20公分,在腳踏車前輪上(半徑外緣)加裝一個燈泡,讓腳踏車往前行走時燈泡會發光,請將這個燈泡移動的軌跡畫下來。某特製腳踏車前輪半徑是20公分,在腳踏車前輪上(半徑外緣)加裝一個燈泡,讓腳踏車往前行走時燈泡會發光,請將這個燈泡移動的軌跡畫下來。
  • 也可以改成選擇題。
  • 此題是日常生活中可能存在的情境。
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球的直徑比10公分長,球的體積是1000立方公分。球的直徑比10公分長,球的體積是1000立方公分。
  • 球的直徑比10公分長,但是球的體積不是1000立方公分。
  • 球的直徑比10公分短,球的體積是1000立方公分。
  • 球的直徑比10公分短,但是球的體積不是1000立方公分。
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有一棵神木,二十個大人手牽著手剛好可以圍繞神木一圈,請問神木的直徑大約是幾公分?有一棵神木,二十個大人手牽著手剛好可以圍繞神木一圈,請問神木的直徑大約是幾公分?
  • 100公分。
  • 500公分。
  • 1000公分。
  • 2000公分。
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上體育課或休閒時,你在籃球場打過籃球嗎?估算看看,籃球場的面積大約是這張考卷的多少倍?上體育課或休閒時,你在籃球場打過籃球嗎?估算看看,籃球場的面積大約是這張考卷的多少倍?
  • 也可以考教室的面積是這張考卷的多少倍(學童可以同時看到教室與考卷)。
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數學是為了解決日常生活問題而產生的學問。
  • 但是數學公式或數學模型無法解決日常生活中所有的問題,它們只能解決在某些限制下(透過定義或約定俗成)所形成的問題。
  • 數學概念清楚,才能解決日常生活中的問題。
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將7塊蔥油餅平分給4個人,全部分完,每個人可以分到多少蔥油餅?將7塊蔥油餅平分給4個人,全部分完,每個人可以分到多少蔥油餅?
  • 7/4
  • 1+3/4
  • 1+1/2+1/4
  • 那一個答案比較合理?
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當全國使用同一套數學課本時, 數學問題的題意不清,不會引起太大的困擾,因為大家很容易形成解題的共識。
  • 當全國使用多種數學課本時,學測的命題者必須出一些大家沒有見過的數學問題,為了將問題的情境描述清楚,題目會變的很長。
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選擇題命題時應注意事項:
  • 選項的個數:
  • 如果涉及統計(量的研究)作業,選項個數最好一致)。
  • 能產生多少個良好的誘答項,是決定選項個數的重要因素。
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選項答案出現頻率:
  • 採隨機亂數編寫選項
  • 選項出現的頻率儘量相同
  • 為了閱卷方便,形成有規律或容易記憶的答案。
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如何製作合理的誘答項:
  • 教師應思考多數學童可能出現錯誤的答案,讓最多數的學童都有答案可以選。
slide33
以71-25=?為例
  • 學童可能出現那些答案?
  • 標準答案:46
  • 錯誤答案:56,54,51,50,95,44….
  • 那些是學童最發生錯誤機率最大的答案?
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『以上皆非』,『以上皆是』, 適合當做選項嗎?
  • 『以上皆是』最好不要出現。
  • 『以上皆非』應考慮出現的時機。
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題組:
  • 併聯型的題組(每個問題都是獨立的,前面的問題不會,不影響後面問題的作答)。
  • 串聯型的題組(前面的問題不會或答錯,影響後面問題的作答)。
  • 儘量命併聯型的題組。
  • 什麼情境適合命串聯型的題組?
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時針一小時轉1大格,分針一小時轉1圈,秒針一秒鐘轉1小格。時針一小時轉1大格,分針一小時轉1圈,秒針一秒鐘轉1小格。
  • 分針330秒鐘轉( )小格?
  • 時針150分鐘轉( )大格?
  • 秒針1小時轉( )圈?
  • (如果答案不是整數,可以使用小數表示,也可以使用分數表示)
slide38
(1)a=56、b=48
  • (2)a=56、b=67
  • (3)a=57、b=66
  • (4)a=57、b=47
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一些例子:
  • 兩個長方形(任兩邊都不重疊)最多有a個交點,兩個圓(不同圓心)最多有b個交點,a+b=?
  • (1)6
  • (2)8
  • (3)10
  • (4)12
slide40
有一個五邊形,其中四個邊的長度分別是5、9、12、29公分,第五個邊的長度是a公分。有一個五邊形,其中四個邊的長度分別是5、9、12、29公分,第五個邊的長度是a公分。
  • 甲說:a可以是2公分。
  • 乙說:a可以是50公分。
  • 丙說:a可以是70公分。
  • 請問有多少個人的說法正確?
  • (1)0   (2)1   (3)2    (4)3
slide41
台灣的面積是36000平方公里。在一個比例尺為50萬分之一的地圖上,台灣的面積是(  )平方公尺?台灣的面積是36000平方公里。在一個比例尺為50萬分之一的地圖上,台灣的面積是(  )平方公尺?
slide42
111111111110÷8547 =13000012 ....8546
  • 13000013×6=78000078。
  • 請問78000078×8547=( )?
slide44
甲工廠現有鋁錠1047公斤、連接劑85公升、鐵線210公尺。甲工廠現有鋁錠1047公斤、連接劑85公升、鐵線210公尺。
  • 甲工廠要完成一件成品需要用掉鋁錠23公斤、連接劑2公升、鐵線5公尺。如果甲工廠要盡量把成品做完,最多可以做甲件成品,剩下鋁錠a公斤、連接劑b公升、鐵線c公尺。請問甲=(  )?
  • a+b+c=(  )?
slide45
小明以1公尺為單位,使用四捨五入法量四條繩子的長度。小明以1公尺為單位,使用四捨五入法量四條繩子的長度。
  • 小明量出甲繩長20公尺,乙繩長30公尺,丙繩長40公尺,丙繩長50公尺。
  • 如果將這4條繩子接起來,再用四捨五入法量一次,繩長可能是幾 公尺?(請寫出所有可能的答案)
slide46
整數甲除以86的商數是8.4(四捨五入法取概數到小數第一位),請問甲數可能是多少?整數甲除以86的商數是8.4(四捨五入法取概數到小數第一位),請問甲數可能是多少?
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甲÷37=467……7。
  • 甲÷37=( ) (使用四捨五入法,商數算到小數第二位)。
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3點8分時,分針與時針兩針的夾角是多少度?
  • (1)38度 (2)42度
  • (3)46度 (4)50度
  • 4點到5點,時針與分針兩針何時成直角?
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a、b、c是任意正整數,請問下列敘述何者正確?a、b、c是任意正整數,請問下列敘述何者正確?
  • a÷b×c=a÷(b×c)。
  • a÷b÷c=a÷(b÷c)。
  • a×b÷c=a×(b÷c)。
  • a×b÷c=a÷b×c。
slide50
甲:乙=10:1,
  • 乙:丙=10:1,
  • 丙:丁=10:1,
  • 丁:戊=10:1,
  • 戊:己=10:1,
  • 己:庚=10:1,
  • 庚:辛=10:1,
  • 辛:任=10:1,
  • 任:葵=10:1。
slide51
請問:「甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、任、葵」這十個數的「平均數」大約是「甲」的多少倍?(請選一個最接近的答案)請問:「甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、任、葵」這十個數的「平均數」大約是「甲」的多少倍?(請選一個最接近的答案)
  • (1)100倍 (2)10倍 
  • (3)0.1倍  (4)0.01倍
slide52
接上題,「甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、任、葵」這十個數的「總和」大約是「丁」的多少倍?(請選一個最接近的答案)接上題,「甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、任、葵」這十個數的「總和」大約是「丁」的多少倍?(請選一個最接近的答案)
  • (1)10倍 
  • (2)100倍
  • (3)1000倍 
  • (4)10000倍
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數列2、5、8、11、14、….38(數列中共有13個數字,後面的數都比前面的數多3),在這個數列中任選6個數(不可以重複)。數列2、5、8、11、14、….38(數列中共有13個數字,後面的數都比前面的數多3),在這個數列中任選6個數(不可以重複)。
  • (1) 這6個數字的和可能是138。
  • (2) 這6個數字的和可能是188。
  • (3) 這6個數字的和一定是3的倍數。
  • (4) 這6個數字的和一定不會是11的倍
  • 數。
slide54
某年(閏年)的元旦是星期六, 若該年有a個月有五個星期天, a=?
  • (1)1  (2)2
  • (3)4  (4)5
slide55
a,b都是兩位正整數,甲、乙兩人同時計算「a×b」的乘積。a,b都是兩位正整數,甲、乙兩人同時計算「a×b」的乘積。
  • 甲抄錯a的十位數字,算出的答案是984;乙抄錯a的個位數字,算出的答案是1599。
  • 請問a+b=?
  • (1)70 (2)75
  • (3)84 (4)133
slide56
有甲、乙、丙、丁四個三角形,這四個三角形有兩個邊的邊長都相等,相等兩邊長分別是5、6公分。有甲、乙、丙、丁四個三角形,這四個三角形有兩個邊的邊長都相等,相等兩邊長分別是5、6公分。
  • 甲、乙是銳角三角形,甲三角形第三邊長6公分,乙三角形第三邊長 7公分;
  • 丙、丁是鈍角三角形,丙三角形第三邊長9公分,丁三角形第三邊長10公分。
slide57
(1) 甲三角形的面積比乙三角形的
  • 面積大。
  • (2) 甲三角形的面積比乙三角形的
  • 面積小。
  • (3) 丙三角形的面積比丁三角形的
  • 面積大。
  • (4) 丙三角形的面積比丁三角形的
  • 面積小。
slide58
「3333333333×9999999999」的積數是一個二十位數的數字,若這個二十位數的二十個數字碼中,有a個偶數,請問a=?「3333333333×9999999999」的積數是一個二十位數的數字,若這個二十位數的二十個數字碼中,有a個偶數,請問a=?
  • (1)1   (2)9  (3)10  (4)11
slide59
下列哪一個分數,可以化為有限小數? (1)一百二十八分之十三   (2)七十五分之二 (3)六百分之一       (4)二十四分之十三
slide60
小明早上以相同的速度在路邊散步,他從第1根電線桿走到第12根電線桿用了12分鐘,請問小明第24分鐘時走到那裡?(電線桿間的距離都相等)小明早上以相同的速度在路邊散步,他從第1根電線桿走到第12根電線桿用了12分鐘,請問小明第24分鐘時走到那裡?(電線桿間的距離都相等)
slide61
(1)第23根電線桿。
  • (2)第23根電線桿與第24根電線
  • 桿之間。
  • (3)第24根電線桿。
  • (4)第25根電線桿。
slide62
任意五條線段,一定能圍成一個五邊形。
  • 等邊五邊形一定是等角五邊形,等角五邊形不一定是等邊五邊形。
  • 等邊五邊形不一定是等角五邊形,等角五邊形一定是等邊五邊形。
  • 長度是1,2,4,8,..,1024的線段,一定能圍成一個多邊形。
slide63
在空間,相異兩條線同時和一個平面垂直,這兩條線一定互相平行。在空間,相異兩條線同時和一個平面垂直,這兩條線一定互相平行。
  • 在空間,相異兩條線同時和第三條線垂直,這兩條線一定互相平行。
  • 相異兩個平面同時和一條直線垂直,這兩個平面一定互相平行。
  • 相異兩個平面同時和第三個平面垂直,這兩個平面一定互相平行。
slide64
假設「9000×9000=a,18+17=b,18×17=c」。假設「9000×9000=a,18+17=b,18×17=c」。
  • 請問「9018×9017」=?
  • (1)a+c
  • (2)a+b×9000+c
  • (3)a+b×2000+c
  • (4)a+b×18000+c
slide65
「甲」是一個三位數字,
  • 甲=a5b(假設a=3,b=7,甲=357),將「甲」的三個數字頭尾對調,會得到另一個三位數字「乙」,也就是說,乙=b5a。
  • 如果「甲+乙=丙」,請問下列敘述何者「不」成立?
slide66
(1)「丙-100」一定是101
  • 的倍數。
  • (2)「丙-100」一定是(a+b)
  • 的倍數。
  • (3)「丙-(a+b)」一定是
  • 100的倍數。
  • (4)「丙+(a+b)」一定是
  • 101的倍數。
slide67
15顆紅球和12顆藍球合起來重60公斤(每顆紅球都一樣重,每顆藍球都一樣重),如果10顆紅球和8顆藍球合起來重「甲」公斤,40顆紅球和32顆藍球合起來重「乙」公斤,請問甲+乙=?15顆紅球和12顆藍球合起來重60公斤(每顆紅球都一樣重,每顆藍球都一樣重),如果10顆紅球和8顆藍球合起來重「甲」公斤,40顆紅球和32顆藍球合起來重「乙」公斤,請問甲+乙=?
slide68
15顆紅球和12顆藍球重60公斤(每顆紅球都一樣重,每顆藍球都一樣重),15顆紅球和12顆藍球重60公斤(每顆紅球都一樣重,每顆藍球都一樣重),
  • 60顆紅球和48顆藍球重幾公斤?
  • 10顆紅球和8顆藍球重幾公斤?
slide69
甲、乙、丙是三個相異的正整數,甲×乙×丙=2520,如果甲+乙+丙=a,請問a的最小值是多少?甲、乙、丙是三個相異的正整數,甲×乙×丙=2520,如果甲+乙+丙=a,請問a的最小值是多少?
slide70
數學上常使用「!」來記錄連續整數的乘積,例如
  • 6!=6×5×4×3×2×1,
  • 10!=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1。
  • 如果「甲!」一定是360的倍數,請問「甲」最小是多少?
slide71
將「3,4,4,5,5,5,5,6,7」這九個數字由小到大依序排列,最中間的那一個數字是「5」,我們稱「5」是這九個數字的中位數。小明由「3,4,5,6,7,8,9」這七個數字中選了21個數字(數字可以重複的選,但是每個數字最少要選一次),結果發現這21個數字的算術平均數,眾數(眾數只有一個)及中位數都是「7」。請問小明最多可以選多少個「8」?將「3,4,4,5,5,5,5,6,7」這九個數字由小到大依序排列,最中間的那一個數字是「5」,我們稱「5」是這九個數字的中位數。小明由「3,4,5,6,7,8,9」這七個數字中選了21個數字(數字可以重複的選,但是每個數字最少要選一次),結果發現這21個數字的算術平均數,眾數(眾數只有一個)及中位數都是「7」。請問小明最多可以選多少個「8」?
slide72
甲每天存76元,76天後存了「甲」元。 乙每天存39元,152天後存了「乙」元。
  • 丙每天存39元,156天後存了「丙」元。 丁每天存78元,76天後存了「丁」元。
  • 戊每天存78元,78天後存了「戊」元。 己每天存38元,152天後存了「己」元。
  • 已知「乙」比「甲」多a元,
  • 「丙」比「乙」多b元,
  • 「戊」比「己」多c元。
slide73
請問下列敘述何者成立?
  • (1)c>b>a
  • (2)c>a>b
  • (3)b>c>a
  • (4)以上皆非
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已知「222×33=7326,6×11=66」。
  • 計算「7326÷66」的結果會和下列那一個算式計算的結果相同?
  • (1)〔(222×33)×11〕÷6
  • (2)〔(222×33)÷11〕×6
  • (3)(222÷6)×(33÷11)
  • (4)(222÷6)+(33÷11)
slide75
計算「84000÷120」的結果會和下列那一個算式計算的結果相同?計算「84000÷120」的結果會和下列那一個算式計算的結果相同?
  • (1)84000÷100+84000÷20
  • (2)(84000÷100)÷20
  • (3)60000÷100+24000÷20
  • (4)60000÷120+24000÷120
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超級市場「雞蛋10個裝成一盒,豆腐3塊裝成一包」,雞蛋只能整盒的買,豆腐只能整包的買,都不能夠零買。超級市場「雞蛋10個裝成一盒,豆腐3塊裝成一包」,雞蛋只能整盒的買,豆腐只能整包的買,都不能夠零買。
  • 超級市場促銷大拍賣,「雞蛋1盒20元,特價3盒50元」,「豆腐一包38元,特價3包100元」。
  • 甲校營養午餐至少要買500盒雞蛋,370塊豆腐,請問甲校最少要付多少元?
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水果行買了很多蘋果,如果將279個蘋果裝成一箱,一共可以裝成378箱,還剩下113個蘋果,如果將93個蘋果裝成一箱,儘量裝完,可以裝成「甲」箱,剩下「乙」個蘋果,請問甲+乙=?水果行買了很多蘋果,如果將279個蘋果裝成一箱,一共可以裝成378箱,還剩下113個蘋果,如果將93個蘋果裝成一箱,儘量裝完,可以裝成「甲」箱,剩下「乙」個蘋果,請問甲+乙=?
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桌上平放著一個時鐘,這個時鐘的分針剛好指向東北方,請問最少經過幾分鐘之後,分針會剛好指向西方? 桌上平放著一個時鐘,這個時鐘的分針剛好指向東北方,請問最少經過幾分鐘之後,分針會剛好指向西方? 
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一枝原子筆賣25元,小明買了24枝(2打)原子筆花了600元。一枝原子筆賣25元,小明買了24枝(2打)原子筆花了600元。
  • (1)小花想買22枝一樣的原子筆,
  • 請問小花要付多少錢?
  • (2)大花想買36枝(3打)一樣的原
  • 子筆,請問大花要付多少錢?
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「127830÷6=21305」剛好可以整除。127834÷6=?
  • (使用四捨五入法取概數,商數算到小數第2位)
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1+3=2×2
  • 1+3+5=3×3
  • 1+3+5+7=4×4
  • 1+3+5+....+111=?
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鐵鍊7公尺長重3公斤,甲、乙、丙三家商店都有賣這種鐵鍊。鐵鍊7公尺長重3公斤,甲、乙、丙三家商店都有賣這種鐵鍊。
  • 甲商店3台尺賣100元,乙商店12英吋賣50元,丙店1公斤賣200元。
  • 請問那一間商店賣的最便宜?
  • (1台尺=30公分,1英吋=2.54公分)
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甲、乙、丙三人各有若干枚一元硬幣,甲將7個硬幣放成一堆時,會剩下5個硬幣,乙將14個硬幣放成一堆時,會剩下11個硬幣,丙將21個硬幣放成一堆時,會剩下16個硬幣,如果將三個人的硬幣合起來,每7個硬幣放成一堆,儘甲、乙、丙三人各有若干枚一元硬幣,甲將7個硬幣放成一堆時,會剩下5個硬幣,乙將14個硬幣放成一堆時,會剩下11個硬幣,丙將21個硬幣放成一堆時,會剩下16個硬幣,如果將三個人的硬幣合起來,每7個硬幣放成一堆,儘
  • 量放完,會剩下( )個硬幣?
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一籠小籠包有7個,班親會買了24籠,吃了137個,請問還剩下( )籠( )個?一籠小籠包有7個,班親會買了24籠,吃了137個,請問還剩下( )籠( )個?
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