Linguagem Orientada a Matrizes COB 727

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# Linguagem Orientada a Matrizes COB 727 - PowerPoint PPT Presentation

Linguagem Orientada a Matrizes COB 727. Maurício Cagy. Bibliografia. Hahn, B., Valentine, D., Essential Matlab for Engineers and Scientists, 4th Ed., Oxford: Academic Press, 2010. Gilat, A., Matlab: An Introduction with Applications, John Wiley &amp; Sons, 2004.

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Presentation Transcript

### Linguagem Orientada a MatrizesCOB 727

Maurício Cagy

Bibliografia
• Hahn, B., Valentine, D., Essential Matlab for Engineers and Scientists, 4th Ed., Oxford: Academic Press, 2010.
• Gilat, A., Matlab: An Introduction with Applications, John Wiley & Sons, 2004.
• Cagy, M., Fundamentos de Matlab, apostila, 1997.
• SciLab;
• Octave;
• FreeMat;
• JMathLib;
• Matlab.
Álgebra de Escalares
• Puramente Reais ou Complexos...

Produto / Divisão

a0 = 0

a1 = a

a(b+c) = ab+ac

a(bc) = (ab)c

ab = ba

a/b= 1/b a

Soma / Diferença

a+0 = a

a+(b+c) = (a+b)+c

a+b = b+a

a-b = a+(-b)

Álgebra Vetorial
• “Ênuplas” Reais: (x1, x2, ..., xN)
• Aplicação em geometria, cálculo vetorial...
• u=(xu, yu, zu);
• v=(xv, yv, zv);
• 0=(0, 0, 0).

Produto por Escalar

au = (axu, ayu, azu);

Produto Escalar

uv = xuxv + yuyv + zuzv

u0 = 0

uv = vu

Soma / Diferença

u+v = (xu+xv, yu+yv, zu+zv)

u+0 = u

u+(v+w) = (u+v)+w

u+v = v+u

-v = (-xv, -yv, -zv);

u-v = u+(-v)

Produto Vetorial

u  v  Definido apenas em 3D

Álgebra Linear
• Vetores:
• Agrupamento de valores quaisquer (reais ou complexas);
• u=[u1, u2, u3]; v=[v1, v2, v3] s= (vetor-coluna)
• w=[w1, w2, w3];
• 0=(0, 0, 0) (vetores-linha).

Produto por Escalar

au = (au1, au2, au3);

Soma / Diferença

u+v = [u1+v1, u2+v2, u3+v3]

u+0 = u

u+(v+w) = (u+v)+w

u+v = v+u

-v = [-v1, -v2, -v3];

u-v = u+(-v)

ut = vetor-coluna (transposição)

Produto

uv = !!

us =u1s1 + u2s2 + u3s3

0s = 0

(u+v)s = us + vs

Álgebra Linear
• Exemplo:
• Cada cesta de maçãs tem 8 maçãs; cada saco delaranja tem 10 laranjas; cada caixa de mangastem 6 mangas...
• Fulano tem 3 cestas de maçãs, 1 saco de laranjae 2 caixas de mangas: u = [3, 1, 2];
• Quantas frutas ele tem?
• Beltrano tem 4 cestas de maçãs, 2 saco de laranjae 1 caixas de mangas: v = [4, 2, 1];
• Quantas frutas ele tem?
• Agrupando as 2 operações...
Álgebra Linear
• Exemplo das frutas e recipientes...

Matriz Vetor-coluna Vetor-coluna

23 31 21

• Requisito de dimensões para o Produto Matricial:
• [mp]  [pn] = [mn]
Álgebra Linear
• Se não conhecêssemos o vetor f...
• Isto se traduz num sistema de equações:
Álgebra Linear
• Se soubéssemos que Sicrano tem 2 cestas de maçãs, 3 sacos de laranja e nenhuma caixa de mangas:

w = [2, 3, 0], e, portanto, 46 frutas...

• Que compõe um sistema de equações consistente, ou uma Equação Matricial:
• A f = b
• Analogamente a uma equação linear: a f = b  f = b/a = a-1b
• f = A-1  b, caso A seja inversível.
Produto Interno  Produto Externo
• u = [u1, u2, ... , un];
• s =
• Produto Interno: us =u1s1 + u2s2 + ... + unsn (n=m!)
• Produto Externo:
Exemplo: Transformada de Fourier como Produto Matricial...
• Transformada Discreta de Fourier (DFT):

, para k = 0, 1, ..., N-1

onde:

Os Coeficientes de um Polinômio como um Vetor...
• Seja o polinômio:

aNxN + aN-1xN-1 + ... + a0

• ele pode ser representado pelo vetor:

a = [aN, aN-1, ..., a0]

• Desafio:
• Encontrar o polinômio de ordem N cujo gráfico passa por N+1 pontos conhecidos...

Sejam as matrizes A e B tais que as operações abaixo são viáveis:

Transposição

(At)t = A

(A + B)t = At+ Bt

(A - B)t = At - Bt

(A  B)t = Bt At

Inversão

(A-1)-1 = A

(A  B)-1 = B-1 A-1

Projeção;

Reflexão;

Rotação.

Exemplo - Operador Rotação em 2D:

Rotação em torno de um eixo u:

Rotação + Translação

A Translação não é um Operador Linear!

ft(x1+x2) = x1+x2+t  ft(x1)+ ft(x2) = x1+t+x2+t

Associação usual de rotação e translação:

y = R x + t

Álgebra homogênea:

y = RT x

Mudança de Base

Dados n vetores linearmente independentes de um espaço n-dimensional, qualquer ponto neste espaço pode ser representado por uma combinação linear destes n vetores. Para n = 3: t = au+bv+cw

portanto, dizemos que u, v e w formam uma base () do espaço tridimensional, e a tríade [a, b, c]t representa as coordenadas do ponto t nesta base, e

a = U-1t

é o processo de mudança de base a partir da base canônica para a base .

Mudança de Base

Ilustração no espaço bidimensional (bases ortonormais):

Autovalores e Autovetores

Seja A uma matriz quadrada, diz-se que ela possui um ponto fixox se:

Ax = x

De maneira mais geral, define-se um autovalor de A, , como um escalar tal que:

Ax = x

situação em que o vetor x é chamado de autovetor de A associado a .

Problema:

Estabelecer os autovalores  de uma matriz A;

Autovalores e Autovetores

Seja A uma matriz nn; se Ax = x, então:

como x é não-nulo, então det (I - A) = 0;

det (I - A) = 0 é chamada equação característica de A.

Exemplo:

Autovalores e Autovetores

Para 1 = -1:

Para 2 = 4

Autovalores e Autovetores

Se não houver autovalor nulo, det(A)  0, logo A é inversível;

O número de autovalores não-nulos (contabilizando as multiplicidades maiores que 1) é o posto de A;

O conjunto de autovetores associados a todos autovalores não-nulos de A compõe o autoespaço de A;

Decomposição em Autovalores

y = Ax;

se montarmos uma matriz P cujas colunas são autovetores de A:

z = P-1x representa a mudança de base de x da base canônica para o autoespaço de A, de modo que:

Az = Dz

onde D é uma matriz diagonal com os autovalores ordenados de A...

Decomposição em Autovalores

Assim:

w = Dz =DP-1x representa a aplicação do operador A sobre a notação de x no autoespaço de A;

Logo, para se obter y, basta voltar para a base canônica: y = Pw = PDP-1x.

Ou seja:

A = PDP-1

Que é a chamada Decomposição em Autovalores (EVD) de A.

Diagonalização Ortogonal

Caso a matriz A seja simétrica:

A = PDPt

onde P é uma matriz ortonormal formada pelos autovetores de A, de modo que P-1=Pt.

Diz-se que P diagonaliza ortogonalmente A.

Variância e Covariância
• Para um sinal x[n] ergódico:

onde E{...} refere-se à esperança matemática.

Analogamente, a covariância entre 2 sinais x[n] e y[n] 0 é definida por:

Matriz de Covariância
• Sejam k sinais ergódicos x1[n] a xk[n]:
• Se os sinais são todos reais, C é uma matriz simétrica, que pode ser dada por:

onde X é uma matriz (Nk) cujas colunas são os sinais subtraídos de suas respectivas médias.

Análise de Componentes Principais (PCA)
• Sejam k sinais ergódicos x1[n] a xk[n] correlacionados entre si (não ortogonais):
• sua matriz de covariância C não é diagonal.
• Existe um conjunto de k outros sinais descorrelacionados entre si (ortogonais e de média nula), s1[n] a sk[n] (componentes principais), tais que:
• Problema: achar A e S...
Análise de Componentes Principais (PCA)
• Multiplicando-se ambos os lados por X:
• mas os sinais si[n] são ortogonais por pressuposição, de modo que StS é uma matriz diagonal. Dividindo-se ambos os lados por N1, tem-se que:

o que evidencia que A é a matriz que diagonaliza ortogonalmente C:

• decomposição por auto-valores e auto-vetores de C.
Decomposição em Valores Singulares (SVD)

Uma matriz A de tamanho m n (supondo m  n, por simplicidade), com posto k, pode ser fatorada por:

A = USVt

S é uma matriz diagonal (m n) cujos elementos (si) são dados pela raiz quadrada dos autovalores de B=AtA (i, usualmente, ordenados de forma decrescente); note que B é uma matriz quadrada, simétrica e positiva semi-definida (seus autovalores são não-negativos);

V é a matriz (n n) cujas colunas são os autovetores vi normalizados da matriz B=AtA;

U é a matriz (m m) cujas k primeiras colunas são dadas por ui=Avi/i, e os demais são vetores que completam uma base ortonormal de m.

Decomposição em Valores Singulares Reduzida

Devido às porções nulas da matriz S, a SVD pode ser reduzida por:

A = U1S1V1t

S é uma matriz diagonal (k k);

V tem tamanho (k n);

U tem tamanho (m k).