Linguagem orientada a matrizes cob 727
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Linguagem Orientada a Matrizes COB 727. Maurício Cagy. Bibliografia. Hahn, B., Valentine, D., Essential Matlab for Engineers and Scientists, 4th Ed., Oxford: Academic Press, 2010. Gilat, A., Matlab: An Introduction with Applications, John Wiley & Sons, 2004.

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Linguagem Orientada a Matrizes COB 727

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Linguagem orientada a matrizes cob 727

Linguagem Orientada a MatrizesCOB 727

Maurício Cagy


Bibliografia

Bibliografia

  • Hahn, B., Valentine, D., Essential Matlab for Engineers and Scientists, 4th Ed., Oxford: Academic Press, 2010.

  • Gilat, A., Matlab: An Introduction with Applications, John Wiley & Sons, 2004.

  • Cagy, M., Fundamentos de Matlab, apostila, 1997.


Linguagens orientadas a matrizes

Linguagens Orientadas a Matrizes

  • SciLab;

  • Octave;

  • FreeMat;

  • JMathLib;

  • Matlab.


Lgebra de escalares

Álgebra de Escalares

  • Puramente Reais ou Complexos...

  • Propriedades:

Produto / Divisão

a0 = 0

a1 = a

a(b+c) = ab+ac

a(bc) = (ab)c

ab = ba

a/b= 1/b a

Soma / Diferença

a+0 = a

a+(b+c) = (a+b)+c

a+b = b+a

a-b = a+(-b)


Lgebra vetorial

Álgebra Vetorial

  • “Ênuplas” Reais: (x1, x2, ..., xN)

    • Aplicação em geometria, cálculo vetorial...

  • Propriedades (ex. 3D):

    • u=(xu, yu, zu);

    • v=(xv, yv, zv);

    • 0=(0, 0, 0).

Produto por Escalar

au = (axu, ayu, azu);

Produto Escalar

uv = xuxv + yuyv + zuzv

u0 = 0

uu = |u|2 (quadrado do módulo)

uv = vu

Soma / Diferença

u+v = (xu+xv, yu+yv, zu+zv)

u+0 = u

u+(v+w) = (u+v)+w

u+v = v+u

-v = (-xv, -yv, -zv);

u-v = u+(-v)

Produto Vetorial

u  v  Definido apenas em 3D


Lgebra linear

Álgebra Linear

  • Vetores:

    • Agrupamento de valores quaisquer (reais ou complexas);

  • Propriedades:

    • u=[u1, u2, u3]; v=[v1, v2, v3] s= (vetor-coluna)

    • w=[w1, w2, w3];

    • 0=(0, 0, 0) (vetores-linha).

Produto por Escalar

au = (au1, au2, au3);

Soma / Diferença

u+v = [u1+v1, u2+v2, u3+v3]

u+0 = u

u+(v+w) = (u+v)+w

u+v = v+u

-v = [-v1, -v2, -v3];

u-v = u+(-v)

ut = vetor-coluna (transposição)

Produto

uv = !!

us =u1s1 + u2s2 + u3s3

0s = 0

uut= ||u||2(quadrado da norma)

(u+v)s = us + vs


Lgebra linear1

Álgebra Linear

  • Exemplo:

    • Cada cesta de maçãs tem 8 maçãs; cada saco delaranja tem 10 laranjas; cada caixa de mangastem 6 mangas...

    • Fulano tem 3 cestas de maçãs, 1 saco de laranjae 2 caixas de mangas: u = [3, 1, 2];

      • Quantas frutas ele tem?

    • Beltrano tem 4 cestas de maçãs, 2 saco de laranjae 1 caixas de mangas: v = [4, 2, 1];

      • Quantas frutas ele tem?

    • Agrupando as 2 operações...


Lgebra linear2

Álgebra Linear

  • Exemplo das frutas e recipientes...

    Matriz Vetor-coluna Vetor-coluna

    23 31 21

  • Requisito de dimensões para o Produto Matricial:

    • [mp]  [pn] = [mn]


Lgebra linear3

Álgebra Linear

  • Se não conhecêssemos o vetor f...

  • Isto se traduz num sistema de equações:

  • Sistema INDETERMINADO


Lgebra linear4

Álgebra Linear

  • Se soubéssemos que Sicrano tem 2 cestas de maçãs, 3 sacos de laranja e nenhuma caixa de mangas:

    w = [2, 3, 0], e, portanto, 46 frutas...

  • Que compõe um sistema de equações consistente, ou uma Equação Matricial:

    • A f = b

    • Analogamente a uma equação linear: a f = b  f = b/a = a-1b

    • f = A-1  b, caso A seja inversível.


Produto interno produto externo

Produto Interno  Produto Externo

  • u = [u1, u2, ... , un];

  • s =

  • Produto Interno: us =u1s1 + u2s2 + ... + unsn (n=m!)

  • Produto Externo:


Exemplo transformada de fourier como produto matricial

Exemplo: Transformada de Fourier como Produto Matricial...

  • Transformada Discreta de Fourier (DFT):

    , para k = 0, 1, ..., N-1

    onde:


Os coeficientes de um polin mio como um vetor

Os Coeficientes de um Polinômio como um Vetor...

  • Seja o polinômio:

    aNxN + aN-1xN-1 + ... + a0

  • ele pode ser representado pelo vetor:

    a = [aN, aN-1, ..., a0]

  • Desafio:

    • Encontrar o polinômio de ordem N cujo gráfico passa por N+1 pontos conhecidos...


Outras propriedades

Outras Propriedades

Sejam as matrizes A e B tais que as operações abaixo são viáveis:

Transposição

(At)t = A

(A + B)t = At+ Bt

(A - B)t = At - Bt

(A  B)t = Bt At

Inversão

(A-1)-1 = A

(A  B)-1 = B-1 A-1


Operadores lineares

Operadores Lineares

Dada uma matriz quadrada A (nn), dizemos que ela é um operador linear se consideramos y = f(x) = Ax...

Operadores lineares usuais:

Projeção;

Reflexão;

Rotação.

Exemplo - Operador Rotação em 2D:


Operadores lineares1

Operadores Lineares

Operador Rotação em 3D:

Rotação em torno de um eixo u:


Rota o transla o

Rotação + Translação

A Translação não é um Operador Linear!

ft(x1+x2) = x1+x2+t  ft(x1)+ ft(x2) = x1+t+x2+t

Associação usual de rotação e translação:

y = R x + t

Álgebra homogênea:

y = RT x


Mudan a de base

Mudança de Base

Dados n vetores linearmente independentes de um espaço n-dimensional, qualquer ponto neste espaço pode ser representado por uma combinação linear destes n vetores. Para n = 3: t = au+bv+cw

portanto, dizemos que u, v e w formam uma base () do espaço tridimensional, e a tríade [a, b, c]t representa as coordenadas do ponto t nesta base, e

a = U-1t

é o processo de mudança de base a partir da base canônica para a base .


Mudan a de base1

Mudança de Base

Ilustração no espaço bidimensional (bases ortonormais):


Autovalores e autovetores

Autovalores e Autovetores

Seja A uma matriz quadrada, diz-se que ela possui um ponto fixox se:

Ax = x

De maneira mais geral, define-se um autovalor de A, , como um escalar tal que:

Ax = x

situação em que o vetor x é chamado de autovetor de A associado a .

Problema:

Estabelecer os autovalores  de uma matriz A;

Estabelecer um autovetor não-nulo associado a cada autovalor .


Autovalores e autovetores1

Autovalores e Autovetores

Seja A uma matriz nn; se Ax = x, então:

como x é não-nulo, então det (I - A) = 0;

det (I - A) = 0 é chamada equação característica de A.

Exemplo:


Autovalores e autovetores2

Autovalores e Autovetores

Para 1 = -1:

Para 2 = 4


Autovalores e autovetores3

Autovalores e Autovetores

Propriedades:

Se não houver autovalor nulo, det(A)  0, logo A é inversível;

O número de autovalores não-nulos (contabilizando as multiplicidades maiores que 1) é o posto de A;

O conjunto de autovetores associados a todos autovalores não-nulos de A compõe o autoespaço de A;

Caso A seja quadrada, seus autovetores são ortogonais.


Decomposi o em autovalores

Decomposição em Autovalores

Considerando a matriz quadrada inversível A como um Operador Linear:

y = Ax;

se montarmos uma matriz P cujas colunas são autovetores de A:

z = P-1x representa a mudança de base de x da base canônica para o autoespaço de A, de modo que:

Az = Dz

onde D é uma matriz diagonal com os autovalores ordenados de A...


Decomposi o em autovalores1

Decomposição em Autovalores

Assim:

w = Dz =DP-1x representa a aplicação do operador A sobre a notação de x no autoespaço de A;

Logo, para se obter y, basta voltar para a base canônica: y = Pw = PDP-1x.

Ou seja:

A = PDP-1

Que é a chamada Decomposição em Autovalores (EVD) de A.


Diagonaliza o ortogonal

Diagonalização Ortogonal

Caso a matriz A seja simétrica:

A = PDPt

onde P é uma matriz ortonormal formada pelos autovetores de A, de modo que P-1=Pt.

Diz-se que P diagonaliza ortogonalmente A.


Vari ncia e covari ncia

Variância e Covariância

  • Para um sinal x[n] ergódico:

    onde E{...} refere-se à esperança matemática.

    Analogamente, a covariância entre 2 sinais x[n] e y[n] 0 é definida por:


Matriz de covari ncia

Matriz de Covariância

  • Sejam k sinais ergódicos x1[n] a xk[n]:

  • Se os sinais são todos reais, C é uma matriz simétrica, que pode ser dada por:

    onde X é uma matriz (Nk) cujas colunas são os sinais subtraídos de suas respectivas médias.


An lise de componentes principais pca

Análise de Componentes Principais (PCA)

  • Sejam k sinais ergódicos x1[n] a xk[n] correlacionados entre si (não ortogonais):

    • sua matriz de covariância C não é diagonal.

  • Existe um conjunto de k outros sinais descorrelacionados entre si (ortogonais e de média nula), s1[n] a sk[n] (componentes principais), tais que:

  • Problema: achar A e S...


An lise de componentes principais pca1

Análise de Componentes Principais (PCA)

  • Multiplicando-se ambos os lados por X:

    • mas os sinais si[n] são ortogonais por pressuposição, de modo que StS é uma matriz diagonal. Dividindo-se ambos os lados por N1, tem-se que:

      o que evidencia que A é a matriz que diagonaliza ortogonalmente C:

      • decomposição por auto-valores e auto-vetores de C.


Decomposi o em valores singulares svd

Decomposição em Valores Singulares (SVD)

Uma matriz A de tamanho m n (supondo m  n, por simplicidade), com posto k, pode ser fatorada por:

A = USVt

S é uma matriz diagonal (m n) cujos elementos (si) são dados pela raiz quadrada dos autovalores de B=AtA (i, usualmente, ordenados de forma decrescente); note que B é uma matriz quadrada, simétrica e positiva semi-definida (seus autovalores são não-negativos);

V é a matriz (n n) cujas colunas são os autovetores vi normalizados da matriz B=AtA;

U é a matriz (m m) cujas k primeiras colunas são dadas por ui=Avi/i, e os demais são vetores que completam uma base ortonormal de m.


Decomposi o em valores singulares reduzida

Decomposição em Valores Singulares Reduzida

Devido às porções nulas da matriz S, a SVD pode ser reduzida por:

A = U1S1V1t

S é uma matriz diagonal (k k);

V tem tamanho (k n);

U tem tamanho (m k).


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