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O problema da Minimização

O problema da Minimização. Min Z= 3x1 -4x2 + x3 x1+x2+x3<=10 2x1+x2-x3<=20 Afrânio Murolo Pesquisa Operacional . Modelo Equivalente. Maximizar ( -Z ) = -3x1 +4x2 –x3 sa: x1+x2+x3 <= 10 2x1+x2-x3<=20 x1,x2,x3>=0.

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O problema da Minimização

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  1. O problema da Minimização Min Z= 3x1 -4x2 + x3 x1+x2+x3<=10 2x1+x2-x3<=20 Afrânio Murolo Pesquisa Operacional

  2. Modelo Equivalente • Maximizar ( -Z ) = -3x1 +4x2 –x3 • sa: x1+x2+x3 <= 10 • 2x1+x2-x3<=20 • x1,x2,x3>=0

  3. Problema da variável livre • Se alguma variável do modelo não possuir a condição de não negatividade, podemos substituí-la pela diferença de outras variáveis não negativas. • Um número qualquer pode ser escrito como a diferença de dois números positivos. • Max Z = x1 + 2x2 + x3 • sa: x1 + x2 + x3 < = 10 • 2x1 + 3x2 <= 20 • X1>=0 , x2 livre

  4. Variável livre • X2 livre, logo X2 = X4 - X5 ( ambos >= 0) • Substituindo no modelo anterior, temos o modelo equivalente: • Max X1 + 2X4 – 2X5 + X3 • sa : x1 + x4 –x5 + x3 <= 10 • 2x1 + 3x4 -3x5 <= 20 • X1 >= 0, x4>= 0 , x5>= 0, x3 >=0

  5. Método Simplex • Modelos estudados até o momento se utilizaram de restrições do tipo <= cm os termos de b ( a direita positivos ). • Novo Problema : • 1) Restrição do tipo >= • Neste caso a variável de folga é subtraída e seu valor é negativo. • 2) Restrição do tipo = • Neste caso não introduziremos a variável de folga. • 3) Para as situações 1 e 2 acrescentaremos variáveis auxiliares ai , formando um novo modelo

  6. Exemplificação • Max Z = x1 + x2 + x3 • 2X1+ X2 + X3 <= 10 • X1 + X2 + 2X3 > = 20 • 2X1 + X2 + 3X3 = 60 • A) Introduzindo as variáveis de folga: • 2X1+ X2 + X3 + XF1 = 10 • X1 + X2 + 2X3 - XF2 = 20 • 2X1 + X2 + 3X3 = 60

  7. Exemplo • B) Introduzindo as variáveis auxiliares ai ( a2 e a3), correspondentes às 2ª e 3ª restrições do tipo • ( >= e = ), respectivamente. • 2X1+ X2 + X3 + XF1 = 10 • X1 + X2 + 2X3 - XF2 + a2 = 20 • 2X1 + X2 + 3X3 +a3 = 60 • C) Reescrevendo a função Objetivo pelo método do M grande. Neste caso, acrescentamos as variáveis auxiliares com coeficientes –M2 e –M3, sendo M2 e M3 números grandes. • Z = X1 + X2 + X3 ( original) • Z = X1 + X2 + X3 -M2a2 - M3a3 ( M grande )

  8. Método do M grande • Z = X1 + X2 + X3 -M2a2 - M3a3 ( M grande ) • O modelo passa a ser maximizado á medida que z cresce e por conseqüência as variáveis auxiliares • A2 e a3 deixam a base. • Modelo auxiliar (M grande ) • Max Z = X1 + X2 +X3 -M2a2 - M3a3 • 2X1+ X2 - X3 + XF1 = 10 • X1 + X2 + 2X3 - XF2 + a2 = 20 • 2X1 + X2 + 3X3 +a3 = 60

  9. Solução básica inicial : variáveis básicas XF1=10 , a2=20 , a3=60 e todas as outras variáveis não básicas todas nulas ( x1=0, x2=0, x3=0 e XF2=0

  10. Retorno ao Modelo Original • 1)Deveremos nesta modelagem eliminar as variáveis • auxiliares ( a2 e a3 ) • 2)Retornar ao modelo original que apresenta solução básica, composto pelas variáveis originais. • 3)Variáveis básicas ( coeficientes nulos na linha de Z) variáveis não básicas ( coeficientes diferentes de zero na linha de Z)

  11. Quadro inicial para a nova solução: Vb ( XF1=10,a2=20,a3=60) e VNB (x1=x2=x3=XF2=0)

  12. Cálculo da Nova solução • Variável que entra na base é X3 ( coef. ( -1) ) • Neste caso escolhemos qq uma das variáveis. • variável que sai : • 10 : -1 = -10 • 20 : 2 =10 sai variável da 3ª linha • 60 : 3 = 20 • LP: 3ª linha ; pivô =2 • NLP = LP / 2 = 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10

  13. Nova solução:CÁCULO DA NOVA 1ª LINHA

  14. Cálculo da nova 2ª linha: coficiente da variável que entra ( X3) é - 1

  15. Novo quadro incluindo todas as linhas

  16. Solução: • Variáveis básicas: • X3=10 XF1= 20 e a3=30 • Variáveis não básicas • X1=X2=XF2=a2=0 • Z=10 O processo terá continuidade, pois a2 e a3 continuam na base

  17. Cálculo da nova solução • Variável que entra: entra XF2 ( coeficiente -0,5) • Variável que sai : 20 / - 0,5 = -40 não • 10 / -0,5 = - 20 não • 30 / 1,5 = 20 ----- sai variável da quarta linha. • LP : 4ª linha Pivô : 1,5 • NLP ( já / por 1,5) 0 0,333 - 0,333 0 0 1 -1 0,667 20ida • A partir deste instante todos os cálculos incluem seqüências já conhecidas pelo estudante.

  18. Novo quadro considerando todas as novas linhas

  19. Solução do quadro anterior • VB : X3 = 20 XF1 =30 XF2 = 20 • VNB : X1=X2=a2=a3=0 • Como a2= a3= 0, logo A solução básica é formada pelas variáveis originais. Portanto podemos abandonar as variáveis a2 e a3 auxiliares.

  20. Variáveis auxiliares excluídas, a2=a3=0

  21. Cálculo da solução ótima • Observando o quadro anterior verifica-se: • Variável que entra X2 coeficiente -0,667 ) • Variável que sai : • 30/ 1,3333 = 22,5 sai var. de 2ª linha XF1 • Lp: segunda linha • Pivô : 1,3333 • NLP( LP/1,333) : 0 2 1 0 0,75 0 22,5 • Os passo seguintes envolvem os cálculos da 1ª , 3ª e 4ª linhas:

  22. Quadro final do modelo otimizado

  23. Solução ótima • VB : X2 = 22,5 X3 = 12,5 XF2 = 27,5 • VNB : X1 = 0 XF1 = 0 • Z = 35 • A solução é ótima

  24. Digitação do programa • Max x1 + x2 + x3 • 2x1 + x2 - x3 <= 10 • x1 + x2 + 2x3 >= 20 • 2x1 + x2 + 3x3 = 60 • Min = Minimização

  25. Quadro inicial do software • ----- ITERAÇÃO 0 DA FASE I • ******* SOLUÇÃO BÁSICA ******* • F1 = 10 • A2 = 20 • A3 = 60 • ##### W = -80 • VARIÁVEIS : X1 X2 X3 F1 F2 • A2 A3 • F.OBJETIVO: -3 -2 -5 0 1 • 0 0 • RESTR. 1 : 2 1 -1 1 0 • 0 0 • RESTR. 2 : 1 1 2 0 -1 • 1 0 • RESTR. 3 : 2 1 3 0 0 • 0 1 • VARIÁVEL ENTRANTE : X3 VARIÁVEL SAINTE : A2

  26. Quadro final utilizando programa • ******* SOLUÇÃO BÁSICA ******* • X2 = 45/2 • X3 = 25/2 • F2 = 55/2 • ##### Z = 35 • VARIÁVEIS : X1 X2 X3 F1 F2 • F.OBJETIVO: 1 0 0 1/2 0 • RESTR. 1 : 2 1 0 3/4 0 • RESTR. 2 : 0 0 1 -1/4 0 • RESTR. 3 : 1 0 0 1/4 1 • A ÚLTIMA SOLUÇÃO É ÓTIMA

  27. Análise Econômica • No programa de produção para o próximo período, a empresa Beta Ltda. , escolheu Três produtos P1,P2 e P3. O Tableau a seguir mostra os valores solicitados por unidade de produção.

  28. Análise Econômica: Modelo

  29. Modelo de Produção • Os preços de venda foram fixados por decisão política e as demandas foram estimadas tendo em vista esses preços. A firma pode obter um suprimento de 4.800 horas de trabalho durante o período de processamento e pressupõe-se usar três máquinas que podem prover 7.200 horas de trabalho. • Estabelecer um programa ótimo de produção para o período.

  30. Modelagem da programação da produção • A) Modelo linear: • VD: x1=qtde de produção de P1 • x2=qtde de produção de P2 • x3=qtde de produção de P3 • Objetivo é maximizar o L =2100x1 + 1200x2 + 600x3 • sa : HT) 6x1 + 4x2 + 6x3 + xF1 =4800 • HM) 12x1 + 6x2 +2x3 +xF2 =7200 • DM) x1 + xF3 = 800 • DM) x2 +xF4 =600 • DM) x3 +xF5 =600

  31. Variáveis de Folga • XF1 = sobra de recursos de horas de trabalho • Xf2 = sobra de recursos de hora/máquina • XF3=sobra de recurso mercado P1 • XF4=sobra de recurso mercado P2 • XF5=sobra de recurso mercado P3

  32. Quadro inicial do simplex

  33. Quadro final: solução ótima

  34. Quadro final otimizado • 1) apresenta VB e VNB • 2)A função Objetivo está escrita em termos das variáveis não básicas • 3) vb (coefs. Nulos) • 4)O valor das variáveis básicas estão na coluna b • 5) ) O coeficiente da variável não básica na fç objetivo mede a tendência do objetivo para aquela variável • É um valor marginal, indica a variação proporcional no objetivo para pequenos aumentos ou diminuições unitárias na variável.

  35. Posteriormente, em análise de sensibilidade poderemos verificar até quantas unidades podemos aumentar ou diminuir da variável, sem alterar a informação contida em seu coeficiente. • Esses coeficientes são chamados de preços de oportunidade. • No quadro final, a solução é ótima. Um aumento de zero para 1 na variável não básica prejudica o objetivo: • Lucros diminuem • Custos aumentam

  36. Solução Otimizada • X1= 280 unidades de P1 • X2= 600 unidades de P2 • X3= 120 unidades de P3 • Recursos disponíveis após o programa: • 520 unidades do mercado P1 :( Dm=800)-(x1=280)=520 • 0 unidades do mercado P2 : (Dm=600)-(x2=600)=0 • 120 unidades do mercado P3: (Dm=600)-(x3=120)=480

  37. XF1 = 50 - é igual ao preço de oportunidade do recurso “ horas de trabalho” ( coeficiente de XF1 no quadro = 50) e indica que: Se conseguirmos mais uma hora de trabalho aos custos correntes poderemos aumentar nosso lucro em 50, isto é, poderemos obter uma nova solução ótima com lucro de 13.080.050. Se uma hora a mais de trabalho acarreta o pagamento de adicional extra,o valor 50 indica o limite máximo deste adicional

  38. Análise de xF1 • Exemplificando: se o adicional for de 20, a nova hora de trabalho implicará uma nova solução com lucro de 30 a mais que o anterior, determinando um lucro de • $13.080.030 • Se houver falta de uma hora de trabalho, o lucro fica diminuído em 50, caso não haja alteração no custo. • Se esta falta de 1 hora de trabalho, for caracterizada pela ausência de um funcionário que não terá sua hora descontada, deve-se acrescentar este prejuízo causado por sua ausência

  39. Análise de xF2 • O preço de oportunidade do recurso “ horas de máquina” ( coeficiente de xF2 = 150), indica que: • Uma hora a menos de máquina, o que equivale a dizer xF2 = 1, acarreta uma diminuição no lucro de $ 150. Portanto a nova solução ótima nesse caso seria de • 13.079.850. • Uma hora a mais de máquina a ser contratada, adicionada aos custos correntes, significa um acréscimo de $ 150 no lucro : • No caso de aluguel de uma hora máquina de terceiros, o preço de oportunidade 150 indica o máximo que podemos pagar pelo aluguel além de nosso custo corrente.

  40. Análise de xF1( recurso hora máquina) • Exemplificando: Se nosso custo corrente for de $ 500, então alugar uma hora máquina por menos de $ 650 tende a aumentar cada vez mais nosso lucro. • Esse aumento de lucro corresponde à diferença entre • $ 650 e o valor do aluguel. ( pv = pc + L ) • Pv = 500 + 150 = 650 ou l =pv – pc =650 – 500 = 150 • Aluguel = 60$ L = pv – pc = 650 – ( 500+60) =$90

  41. Xf3( preço de oportunidade do recurso “mercado de P1” • O coeficientes xF3 = 0 indica que este recurso não é escasso. O mesmo ocorre com o preço de oportunidade do recurso “ mercado de P3 ( xF5=0). • Isto nos leva a rever os investimentos nos mercados desses dois produtos: • P1 --- Dm = 800 u e P3 --- Dm = 600 u • X1= 280 u x2= 120 u • Observação:Folgas não proporcionam lucro • Recursos disponível Recursos disponível • XF3= 520 unidades de P1 XF5 = 480 unidades de P3

  42. XF3 (P1) e XF5(P3) • Uma diminuição desses investimentos com conseqüente diminuição no mercado destes produtos ( p1 e P3) não afetará nossas vendas , causando um aumento nos lucros. • Dm P1 <=800 e DM P2<=600 • Lembrando que : XF1=520 e XF3 =480 sobra de recursos ( ociosidade ). • Outra forma de aumentar o lucro destes produtos seria aumentar o preço de venda dos mesmos, diminuindo os mercados correspondentes sem afetar as vendas, desde que o mercado não diminua aquém da produção

  43. XF4(Preço de oportunidade da unidade de recurso”mercado P2” • Lembrando que x1=600 D<=600 , logo XF4 = 0. • O aumento de 1 unidade desse mercado, acarreta um aumento de $ 100 no lucro, isto é , a nova solução seria de 1.380.100 • Da mesma forma, o cancelamento de 1 unidade na compra implica em um prejuízo de $ 100, além do custo normal da unidade deste produto. • Observação : O departamento de MKT estima em 80$ o investimento adicional para aumentar em uma unidade o mercado deste produto P2, logo : • RL ou RSI = 100 – 80 = $ 20

  44. Custos • Custos correntes :também denominados custos de reposição. Representam o custo necessário para repor um item no local. • Custos primários ou diretos : estão associados diretamente à produção, sendo aqueles incluídos de forma objetiva no cálculo dos produtos ou serviços comercializados. Consistem nos materiais diretos usados na fabricação do produto e mão- de -obra direta. Ex: aço para fabricar chapas, salários de operadores, etc ( são mensuráveis )

  45. Utilizando o programa • Max 2100x1 + 1200x2 + 600x3 • 6x1 + 4x2 +6x3 <= 4800 • 12x1 +6x2 + 2x3 <= 7200 • x1 <= 800 • x2 <=600 • x3 <=600

  46. Solução Ótima • ----- ITERAÇÃO 3 DA FASE II • ******* SOLUÇÃO BÁSICA ******* • X3 = 120 • X1 = 280 • F3 = 520 • X2 = 600 • F5 = 480 • ##### Z = 13

  47. Solução Ótima do tableau • VARIÁVEIS : X1 X2 X3 F1 F2 • F3 F4 F5 • F.OBJETIVO: 0 0 0 50 150 • 0 100 0 • RESTR. 1 : 0 0 1 1/5 -1/10 • 0 -1/5 0 • RESTR. 2 : 1 0 0 -1/30 1/10 • 0 -7/15 0 • RESTR. 3 : 0 0 0 1/30 -1/10 • 1 7/15 0 • RESTR. 4 : 0 1 0 0 0 • 0 1 0 • RESTR. 5 : 0 0 0 -1/5 1/10 • 0 1/5 1 • A ÚLTIMA SOLUÇÃO É ÓTIMA

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