ЛОГИКА И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1. ЛОГИКА И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

2. Введениев раздел Логика необходима в любой формальной дисциплине и состоит из правил получения обоснованного вывода (заключения). Логику можно выделить из контекста тех дисциплин, в которых она используется, и изучать как отдельный раздел науки. Акцент в этой части курса будет сделан именно на логике, лежащей в основе неоспоримых рассуждений и доказательств.

3. Мы познакомимся с логикой высказываний, имеющей дело с истинностью (или ложностью) простых описательных утверждений, что можно рассматривать как короткое введение в логику предикатов. Скажем сразу, что предикатами принято называть утверждения, содержащие переменные величины.

4. Кроме того, мы рассмотрим различные методы доказательств (прямое рассуждение, метод «от противного» и обратное рассуждение), снабженные простыми примерами проверки фактов о четных и нечетных числах, иллюстрирующими методологию рассуждений. Наконец, мы рассмотрим сильный метод доказательства, называемый методом математической индукции.

5. Высказывания и логика Стандартными блоками формальной логики являются высказывания. Высказываниемназывается утверждение, которое имеет значение истинности, то есть может быть истинным (обозначается буквой И) или ложным (обозначается буквой Л). Например, • земля плоская; • Анна — доктор; • 17 — простое число.

6. Каждое из высказываний можно обозначить своей буквой. Пусть, например, Р обозначает высказывание «земля плоская», Q — «Анна — доктор» и R — «17 — простое число». Используя такие логические операции, как не, или, и, можно построить новые, так называемые составные высказывания, компонуя более простые.

7. Например, • (не Р)- это высказывание «земля не плоская»; • (Р или Q)- «земля плоская или Анна - доктор»; • (Р и Q) - «земля плоская и Анна - доктор».

8. Пример 2.1. Обозначим через Р высказывание «логика — забава», а через Q — «сегодня пятница». Требуется выразить каждое из следующих составных высказываний в символьной форме. • (а) Логика — не забава, и сегодня пятница. • (б) Сегодня не пятница, да и логика — не забава. • (в) Либо логика — забава, либо сегодня пятница.

9. Решение: • (а) (не Р)и Q. • (б) (не Р)и (не Q). • (в) Р или Q.

10. Чтобы уметь определять значение истинности составных высказываний, нам необходимо разобраться со смыслом логических операций, т. е. какой эффект они оказывают на истинностное значение простых высказываний. Это можно аккуратно сделать с помощью так называемых таблиц истинности.

11. Отрицаниемпроизвольного высказывания Р называется высказывание вида (не Р), чье истинностное значение строго противоположно значению Р. Определяющая таблица истинности отрицания высказывания приведена в табл. 2.1.

12. Таблица 2.1

13. Конъюнкцией или логическим умножениемдвух высказываний Р и Q называют составное высказывание вида (Р иQ). Оно принимает истинное значение только в том случае, когда истинны обе его составные части. Такое определение хорошо согласуется с обычным пониманием союза «и» в разговорном языке. Соответствующая таблица истинности — это табл. 2.2.

14. Таблица 2.2

15. Дизъюнкцией или логическим сложениемдвух высказываний Р и Q называется составное высказывание (Р или Q).Оно истинно, если хотя бы одна из ее составных частей имеет истинное значение, что в некотором смысле также согласуется с обыденным пониманием союза «или». Другими словами, (Р или Q)означает, что «или Р, или Q, или и то, и другое». Таблица истинности дизъюнкции обозначена как табл. 2.3.

16. Таблица 2.3

17. Пример 2.2. Что можно сказать об истинности составного высказывания: «либо Луна состоит из сыра и у английского короля Генриха VIII было шесть жен, либо не верно, что птица дронт вымерла»?

18. Решение. Обозначим через Р высказывание «Луна состоит из сыра», через Q — «у Генриха VIII было шесть жен» и через R — «птица дронт вымерла». Символьная запись данного высказывания имеет вид: (Р и Q)или (не R).Известно, что высказывание Р ложно, a Q и R истинны. Поэтому высказывание (Р и Q)или (не R)имеет такое истинностное значение: (Л и И) или (Л) = Л или Л, что эквивалентно Л.

19. Два составных высказывания, построенные из одних и тех же простых утверждений, но разными путями, могут принимать одинаковые значения истинности на любом возможном наборе значений истинности своих составных частей. Такие высказывания называются логически эквивалентными.

20. Пример 2.3. Показать, что высказывание (не (Р и (не Q)))логически эквивалентно утверждению ((не Р)или Q). Решение. Заполним совместную таблицу истинности (табл. 2.4) для составных высказываний: R = (не (Р и (не Q)))и S= ((неР)или Q). Вспомогательные колонки таблицы используются для построения обоих выражений из Р и Q.

21. Таблица 2.4 Две последние колонки этой таблицы идентичны. Это означает, что высказывание R логически эквивалентно высказыванию S.

22. Важно изучить еще один тип логического оператора, результатом которого является условное высказывание. Примером такого высказывания является следующее: «если завтра будет суббота, то сегодня — пятница». При определении истинностного значения условного высказывания, необходимо различать фактическую истину и логическую.

23. В логике условное высказывание «если Р, то Q» принято считать ложным только в том случае, когда предпосылка Р истинна, а заключениеQ ложно. В любом другом случае оно считается истинным. Используя символ импликации « », мы пишем Р Q для обозначения условного высказывания «если Р, то Q». Такая запись читается как «из Р следует Q» или,«Р влечет Q», или «Р достаточно для Q», или «Q необходимо для Р».

24. Таблица истинности импликации приведена в табл. 2.5. Таблица 2.5

25. Пример 2.4. Пусть Р — (ложное) высказывание 1 = 5, Q — (тоже ложное) высказывание 3 = 7 и R — (истинное) утверждение 4 = 4. Показать, что условные высказывания: «если Р,то Q»и «если Р, то R»,— оба истинны.

26. Решение. Если 1 = 5, то, прибавляя 2 к обеим частям равенства, мы получим, что 3 = 7. Следовательно, высказывание «если Р, то Q» справедливо («если Р=Л, то Q =Л»). Вычтем теперь из обеих частей соотношения 1 = 5 число 3 и придем к - 2 = 2. Поэтому, возведя в квадрат: (-2)2 = 22, получим 4 = 4. Таким образом, высказывание «если Р, то R» тоже верно.

27. Пример 2.5. Высказывание ((неQ) (не Р)) называется противоположнымили контрапозитивнымк высказыванию (Р Q). Показать, что ((неQ) (не Р)) логически эквивалентно высказыванию (Р Q).

28. Решение. Рассмотрим совместную таблицу истинности Таблица 2.6

29. Поскольку два последних столбца этой таблицы совпадают, то и высказывания, о которых идет речь, логически эквивалентны.

30. Предикаты и кванторы Логика высказываний применяется к простым декларативным высказываниям, где базисные высказывания — либо истинны, либо ложны. Утверждения, содержащие одну и более переменных, могут быть верными при некоторых значениях переменных и ложными при других.

31. Предикатомназывается утверждение, содержащее переменные, принимающее значение истины или лжи в зависимости от значений переменных. Например, выражение «x — целое число, удовлетворяющее соотношению x = x2» является предикатом, поскольку оно истинно при x = 0 или x = 1 и ложно в любом другом случае.

32. Логические операции можно применять и к предикатам. В общем случае истинность составного предиката в конечном счете зависит от значений входящих в него переменных. Однако существуют некоторые, еще незнакомые вам пока логические операторы, называемые кванторами,применение которых к предикатам превращает их в ложные или истинные высказывания.

33. Пример 2.6. Какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны? • (а)Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°. • (б)У всех кошек есть хвост. • (в)Найдется целое число x,удовлетворяющее соотношению х2=2. • (г)Существует простое четное число.

34. Решение: • (а)Истинно. • (б)Ложно. У бесхвостой кошки хвоста нет. • (в)Ложно. • (г)Истинно. Число 2 является и простым, и четным.

35. В примере 2.6 мы имеем дело с набором объектов и утверждениями о том, что некоторое свойство имеет место для всехрассматриваемых объектов, или что найдется (существует)по крайней мере, один объект, обладающий данным свойством.

36. Выражения «для всех» и «найдется» («существует») называются кванторами и обозначаются, соответственно, («перевернутое А») и « » . Включая в предикат кванторы, мы превращаем его в высказывание. Поэтому предикат с кванторами может быть истинным или ложным.

37. Пример 2.7. Обозначим через Р(x) предикат «x — целое число и х2 = 16». Выразите словами высказывание: x: Р(x)и определите его истинностное значение. Решение. Высказывание x: Р(x)означает, что найдется целое число x, удовлетворяющее уравнению х2= 16. Высказывание, конечно, истинно, поскольку уравнение х2= 16 превращается в верное тождество при x = 4. Кроме того, х = -4 — также решение данного уравнения. Однако нам не требуется рассуждать о знаке переменной x,чтобы проверить истинность высказывания x: Р(x).

38. Пример 2.8. Пусть Р(x)— предикат: «x — вещественное число и х2 + 1 = 0». Выразите словами высказывание: x: Р(x)и определите его истинностное значение. Решение. Данное высказывание можно прочитать так: существует вещественное число x, удовлетворяющее уравнению х2+ 1 = 0. Поскольку квадрат любого вещественного числа неотрицателен, т. е. х2≥ 0, мы получаем, что х2+ 1 ≥ 1. Следовательно, утверждение x: Р(x)ложно.

39. Отрицание высказывания из примера 2.8 записывается в следующем виде: не x: Р(x). Это, естественно, истинное высказывание, которое означает, что не существует вещественного числа x, удовлетворяющего условию х2+ 1 = 0. Иными словами, каково бы ни было вещественное x, х2 + 1 ≠ 0. В символьной форме это можно записать как x неР(x).

40. Для общего предиката Р(x)есть следующие логические эквивалентности: неx:Р(х)x неР(х); неxР(х) x: Р(х). Знак обозначает в символьной форме логически эквивалентные высказывания. Как показывает следующий пример, некоторые трудности возникают, когда в высказывании участвует более одного квантора.

41. Пример 2.9. Предположим, что x и у — вещественные числа, а Р(x, у)обозначает предикат x + у = 0. Выразите каждое из высказываний словами и определите их истинность. (а) x у :P(x, у); (б) у :x P(x,y).

42. Решение. (а) Высказывание x у: Р(x, у)говорит о том, что для любого вещественного числа x найдется такое вещественное число у,что x + у = 0. Оно, очевидно, верно, поскольку какое бы число x мы ни взяли, число у = -x обращает равенство x + у = 0 в верное тождество.

43. (б) Высказывание у:x Р(x, у)читается следующим образом: существует такое вещественное число у,что для любого вещественного числа x выполнено равенство x + у = 0. Это, конечно, не так: не существует вещественного числа у, обладающего указанным свойством. Следовательно, высказывание ложно.

44. Методы доказательств При доказательстве теорем применяется логическая аргументация. Доказательства в информатике — неотъемлемая часть проверки корректности алгоритмов. Необходимость доказательства возникает, когда нам нужно установить истинность высказывания вида (Р Q).Существует несколько стандартных типов доказательств, включающих следующие:

45. Прямое рассуждение Предполагаем, что высказывание Р истинно и показываем справедливость Q. Такой способ доказательства исключает ситуацию, когда Р истинно, a Q —ложно, поскольку именно в этом и только в этом случае импликация (Р Q) принимает ложное значение.

46. Обратное рассуждение Предполагаем, что высказывание Q ложно и показываем ошибочность Р. То есть, фактически, прямым способом проверяем истинность импликации ((неQ)(не Р)),что согласно примеру 2.5, логически эквивалентно истинности исходного утверждения (РQ).

47. Метод «от противного» Предположив, чтовысказывание Р истинно, a Q ложно, используя аргументированное рассуждение, получаем противоречие. Этот способ опять-таки основан на том, что импликация (Р Q)принимает ложное значение только тогда, когда Р истинно, a Q ложно.

48. Пример 2.10. Покажите прямым способом рассуждений, что произведение xу двух нечетныхцелых чисел x и у всегда нечетно. Решение. Прежде всего заметим, что любое нечетное число, и в частности x, можно записать в виде x = 2т + 1, где т — целое число. Аналогично, у = 2n+ 1 с некоторым целым n. Значит, произведение xу = (2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n)+ 1 тоже является нечетным числом.

49. Пример 2.11. Пусть n — натуральное число. Покажите, используя обратный способ доказательства, что если n2нечетно, то и nнечетно. Решение. Отрицанием высказывания о нечетности числа n2служит утверждение «n2четно», а высказывание о четности n является отрицанием утверждения «число n нечетно». Таким образом, нам нужно показать прямым способом рассуждений, что четность числа n влечет четность его квадрата n2. Так как n четно, то n = 2т для какого-то целого числа т.Следовательно, n2= 4m2 = 2(2m2) — четное число.

50. Пример 2.12. Методом «от противного» покажите, что решение уравнения х2= 2 является иррациональным числом, т. е. не может быть записано в виде дроби с целыми числителем и знаменателем. Решение. Здесь нам следует допустить, что решение x уравнения x2 = 2 рационально, т. е. записывается в виде дроби x = m/n с целыми mи n, причем n0. Предположив это, нам необходимо получить противоречие либо с предположением, либо с каким-то ранее доказанным фактом.