Wycena opcji

1. Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek

2. Wahania ceny akcji • Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać, jednak w dłuższym okresie czasu zaobserwujemy wyraźny średni wzrost. • Badania wykazują, że cena jednostki jest dobrze opisana niesymetrycznym rozkładem, w którym wartość maksymalna jest zdecydowanie bardziej oddalona od wartości średniej, niż wartość minimalna. Przyjmuje się, że takim rozkładem może być rozkład lognormalny

3. Wahania ceny jednostki Pt = P0 eN Ptto cena w momencie t P0to cenapoczątkowa eNto wskaźnik wzrostu N to wartość uzyskiwana z rozkładu normalnego o średniej μ (ang. Drift=Dryf) i odchyleniu σ (ang. Volatility=zmienność) Parametry te uzyskuje się zwykle ze średniej rocznej stopy przyrostu ceny oraz odchylenia standardowego stopy przyrostu Jeżeli np. średni roczny przyrost ceny wynosi 12% a roczne odchylenie standardowe 30% to odpowiednie miesięczne parametry równają się 1% (=12/12) oraz 8,6% (=30/120,5) Pamiętajmy o pierwiastku!

4. Wahania ceny jednostki • Aby wyznaczyć cenę Ptnależy cenę początkową P0przemnożyć przez wskaźnik eN (wskaźnik wzrostu). • Wskaźnik ten uzyskamy generując najpierw wartość N z rozkładu normalnego a następnie wstawiając wyznaczoną wartość jako parametr funkcji EXP(). • Formuła na pozyskiwanie wartości zmiennej losowej z rozkładu normalnego to:Rozkład.Normalny.ODW(LOS(), Średnia, Odchylenie) • Formuła na pozyskiwanie wartości zmiennej losowej z rozkładu normalnego o średniej 0 i odchyleniu 1: Rozkład.Normalny.S.ODW(LOS(), Średnia, Odchylenie)

5. Stopa przyrostu ceny μto średnia procentowa stopa zwrotu z akcji (dryf) σto odchylenie standardowe dla wzrostu ceny (zmienność) Z to standaryzowana zmienna losowa o rozkładzie normalnym Wartości μi σpodawane są w postaci liczby, np. μ=0.06 oznacza 6% średni wzrost ceny. Obie wielkości są mierzone dla tej samej jednostki czasu, np. 1 roku

6. Opcje • Opcja to prawo a nie obowiązek • Wartość opcji jest zależna od ceny waloru, będącego przedmiotem transakcji: określonego papieru wartościowego (akcja, obligacja, bon skarbowy), waluty, indeksu giełdowego, stopy procentowej etc. Walor ten nazywa się instrumentem pierwotnym (underlying instrument), a opcja (option) utworzona na jego bazie – instrumentem pochodnym (derivative instrument)

7. Opcje • Opcja jest to umowa między nabywcą (posiadaczem) a sprzedawcą (wystawcą) dająca nabywcy prawo do kupna (opcja kupna) lub sprzedaży (opcja sprzedaży) instrumentu bazowego przed lub w ustalonym dniu w przyszłości po określonej cenie w zamian za opłatę. Pod koniec okresu, na jaki wystawiono opcję, czyli w terminie jej wygaśnięcia, kończy się prawo związane z opcją. Opcja europejska jest instrumentem terminowym, dla którego wykonanie może nastąpić tylko w ostatnim dniu okresu jej życia. Nie można jej wykonać wcześniej ani, oczywiście, później

8. Wycena opcji na akcję • Polecenie 1: Chcemy prześledzić ścieżkę zmiany wartości ceny akcji spółki X w ciągu roku (z krokiem 1 miesiąca oraz z krokiem 1 roku). • Należy wykorzystać notowania spółki X z pliku „Notowania.xlsx”, zakładka „Notowania 1” • Obliczyć dryf i zmienność z pliku Notowania w ujęciu miesięcznym i rocznym • Przeprowadzić dwie symulacje (1 rok) z wykorzystaniem modelu Hulla (model błądzenia geometrycznego): (1) z krokiem miesięcznym i (2) z krokiem rocznym • Wykonać 500 powtórzeń dla obu symulacji • Wyznaczyć średnią cenę akcji dla obu symulacji

9. Obliczanie dryfu i zmienności

10. Polecenie 1 Wykonujemy 500 powtórzeń

11. Wycena opcji na akcję Polecenie 2: Chcemy zbadać, jaka będzie „dobra” cena za opcję (wyceniamy opcję za pomocą symulacji) Musimy określić średnią wartość zysku z opcji, zdyskontowaną do chwili 0, przy założeniu, że cena akcji zmienia się w warunkach niezależnych od ryzyka. Wartość czynnika dyskontującego niezależnego od ryzyka to e(-r * t) gdzie r - stopa procentowa wolna od ryzyka, t – moment wygaśnięcia opcji na akcję

12. Polecenie 2 L4=MAX(…?...) N4=MAX(…?...)

13. Polecenie 3 Polecenie 3: Chcemy zbadać, jaka będzie „dobra” cena za opcję (wyceniamy opcję za pomocą modelu Blacka-Scholesa)

14. Polecenie 3 C17=ROZKŁAD.NORMALNY.S(C15) C18=ROZKŁAD.NORMALNY.S(C16)

15. Zadanie domowe TP • W przypadku opcji azjatyckich, zysk z opcji zależy NIE od ceny akcji w dniu wygaśnięcia opcji, ale od średniej ceny akcji przez cały czas obowiązywania opcji. Np. jeżeli ceną wykonania opcji jest pe, to zysk z opcji wynosi MAX(pavg-pe ; 0) • Aktualna cena akcji to 100 zł. Średnia roczna stopa zwrotu to 10% a roczne odchylenie standardowe to 33%. Jaka jest wartość opcji azjatyckiej, która wygasa za 52 tygodnie (1 rok) z ceną wykonania 100 zł. Proszę założyć, że stopa wolna od ryzyka to 6%.

16. Zadanie domowe TN • Knockoutcalloption(Opcja barierowa wyjścia)ma wartość zero (przestaje być aktywna) w momencie gdy cena instrumentu podstawowego spada poniżej pewnej granicy (knockoutlevel). Jednorazowe osiągnięcie przez cenę instrumentu bazowego poziomu bariery powoduje, iż opcja przestaje istnieć niezależnie od tego, co stanie się z ceną aktywu bazowego w przyszłości. • Wyceń następującą opcję typu knockout: aktualna cena akcji to 20 zł. Średnia roczna stopa zwrotu to 12% a roczne odchylenie standardowe to 40%, stopa wolna od ryzyka to 10%. Opcja wygasa za 1 rok (250 dni). Ceną wykonania 21 zł. Granica knockout to 19,50 zł. • Proszę rozważyć: • „barierę amerykańską” obserwowaną przez całą długość trwania kontraktu, od momentu zawarcia transakcji do dnia zapadalności; • „barierę europejską” – obserwowaną w dniu zapadalności kontraktu • Co możesz powiedzieć o cenie takiej opcji w porównaniu ze zwykłą opcją call?