Sistemas de ecuaciones
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SISTEMAS DE ECUACIONES. Tema 6 * 3º ESO. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. Tema 6.3 * 3º ESO. Sistemas equivalentes. SISTEMAS EQUIVALENTES Dos sistemas son equivalentes cuando tienen la misma solución. El sistema x + y = 2 es equivalente a x = 2 - y

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SISTEMAS DE ECUACIONES

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Sistemas de ecuaciones

SISTEMAS DE ECUACIONES

Tema 6 * 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO


M todo de sustituci n

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Tema 6.3 * 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO


Sistemas equivalentes

Sistemas equivalentes

  • SISTEMAS EQUIVALENTES

  • Dos sistemas son equivalentes cuando tienen la misma solución.

  • El sistema x + y = 2 es equivalente a x = 2 - y

  • 2.x – 2.y = 4 x – y = 2

  • Al aplicar en una ecuación la Regla de la suma o la regla del producto, estamos haciendo ecuaciones equivalentes a las dadas.

  • Si eso lo hacemos en las dos ecuaciones de un sistema, lo que hacemos es hallar sistemas equivalentes.

  • El sistema x + y = 2 es equivalente a 2.x + 2.y = 4

  • x – y = 0 x – y + 2 = 2

Apuntes de Matemáticas 3º ESO


M todo de sustituci n1

Método de Sustitución

  • PASOS

  • 1.-Despejamos una incógnita cualquiera (x o y) de una ecuación cualquiera (1). Normalmente la más fácil de despejar.

  • 2.-Sustituimos la expresión resultante del paso anterior por la incógnita de la otra ecuación (2), con lo que resulta una ecuación con una incógnita.

  • 3.-Resolvemos la ecuación.

  • 4.-Sustituimos el valor obtenido en la expresión donde se encuentre la otra incógnita (Paso 2) y calculamos su valor.

  • 5.-Comprobamos la solución obtenida.

Apuntes de Matemáticas 3º ESO


M todo de sustituci n2

Método de Sustitución

  • Si en una ecuación de un sistema se sustituye una incógnita por la expresión que se obtiene al despejarla de la otra ecuación, resulta otro sistema equivalente.

  • Ejemplo_1

  • Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1)

  • 3.x - y = 2 (2)

  • De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” :

  • x = 4 – 3.y

  • Y se sustituye su expresión en la ecuación (2) :

  • 3.(4 – 3.y) – y = 2

Apuntes de Matemáticas 3º ESO


Sistemas de ecuaciones

  • Operando …

  • 12 – 9.y – y = 2

  • 12 – 2 = 9.y + y

  • 10 = 10.y

  • y = 1

  • Llevando ese valor a la ecuación (1), tenemos …

  • x = 4 – 3.y = 4 – 3.1 = 4 – 3 = 1

  • O sea x = 1

  • La solución del sistema es x = 1, y = 1  P(1, 1)

  • No son dos soluciones, sino una única solución.

  • Podemos comprobar que cumplen las dos ecuaciones:

  • x + 3.y = 4 (1)

  • 3.x - y = 2 (2)

Apuntes de Matemáticas 3º ESO


Sistemas de ecuaciones

  • Ejemplo_2

  • Sea el sistema: 2x + 3y = 12 (1)

  • 3x - 4y = 1 (2)

  • De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” :

  • 2.x = 12 – 3.y  x = (12 – 3.y ) / 2 

  • x = 12 / 2 – 3.y / 2  x = 6 – 1,5 y

  • Y se sustituye su expresión en la ecuación (2) :

  • 3.(6 – 1,5y) – 4y = 1

  • Operando …

  • 18 – 4,5.y – 4.y = 1  18 – 1 = 4,5.y + 4.y

  •  17 = 8,5 .y  y = 17 / 8,5 

  • y = 2

  • Ya tenemos la mitad de la solución del sistema, el valor de y.

  • Ahora hay que hallar el valor de x.

Apuntes de Matemáticas 3º ESO


Sistemas de ecuaciones

  • Llevando ese valor a la ecuación ( 1 ), tenemos …

  • x = 6 – 1,5.y  x = 6 – 1,5.2  x = 6 – 3 = 3

  • x = 3

  • La solución del sistema es: x = 3, y = 2  P(3 , 2)

  • Comprobación: 2.3 + 3.2 = 12  12 = 12

  • 3.3 – 4.2 = 1  1 = 1

  • Ejemplo_3

  • Sea el sistema: x + 3.y = - 8 (1)

  • 3.x – 4.y = 15 (2)

  • De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” :

  • x = – 8 – 3y

  • Y se sustituye su expresión en la ecuación (2) :

  • 3 (– 8 – 3y) – 4y = 15

Apuntes de Matemáticas 3º ESO


Sistemas de ecuaciones

  • Operando …

  • - 24 – 9.y – 4.y = 15  - 24 – 15 = 9.y + 4.y 

  • - 39 = 13.y  y = - 39 / 13

  • y = - 3

  • Ya tenemos la mitad de la solución del sistema, el valor de y.

  • Ahora hay que hallar el valor de x.

  • Llevando ese valor a la ecuación (1), tenemos …

  • x = - 8 – 3.y  x = - 8 – 3. (- 3)  x = - 8 + 9 = 1

  • x = 1

  • La solución del sistema es:

  • x = 1 , y = - 3  P(1 , – 3)

  • Comprobación: 1+ 3.(-3) = - 8  - 8 = - 8

  • 3.1 – 4.(-3) = 15  15 = 15

  • La comprobación siempre es muy importante por si nos hemos equivocado en el proceso o al operar.

Apuntes de Matemáticas 3º ESO


Sistemas de ecuaciones

  • Ejemplo_4

  • Sea el sistema: x + y = 2 (1)

  • x – y = 0 (2)

  • Ya hemos visto al comienzo del tema que la solución es el par (1 , 1).

  • Veamos si nos da esa solución:

  • De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” :

  • x = 2 – y

  • Y se sustituye su expresión en la otra ecuación:

  • (2 – y)+ y = 2

  • Operando …

  • 2 – y + y = 2  2 = 2

  • La ecuación siempre se cumple, valga lo que valga y.

  • Luego la ecuación es indeterminada: y = infinitas soluciones.

  • Como x = 2 – y , x también tendrá infinitas soluciones.

  • ¿Dónde está el fallo, puesto que debía darnos x=1 e y=1 ?.

Apuntes de Matemáticas 3º ESO


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