MEDAN BERUBAH TERHADAP WAKTU DAN PERSAMAAN MAXWELL

1. BAB 4 MEDAN BERUBAH TERHADAP WAKTU DAN PERSAMAAN MAXWELL

2. B n n B Hubungan antara ggl dan medan magnetik berubah terhadap waktu dirumuskan dalam bentuk integral hukum Faraday sebagai berikut: ATURAN TANGAN KANAN

3. HUKUM LENZ Arus yang diinduksikan selalu mempunyai efek yang berlawanan terhadap fluksi penyebab induksi (a) (b) (c)

4. (Wb) (V) R (A) y Contoh soal 1 Loop konduktor melingkar pada Gambar 4-2 terletak pada bidang datar z = 0. Loop ini memiliki jari-jari sepanjang 0,1 m dan resistansi R sebesar 5 Ω. Jika diberikan B= 0,20 sin 103taz (T) maka tentukanlah besarnya arus i ! Penyelesaian: fluksi total yang menembus loop adalah Tegangan (ggl) di sekeliling loop adalah Dan arusnya adalah (7)

5. ( X E)z = -kBoekt = - d = ò = 2πaE - ggl = B . ds =-kBoektπa2 dt E =-kBoektρ aρ = -kBoektρ aρ E Medan magnetik sederhana yang bertambah eksponensial terhadap waktu dalam daerah yang berbentuk tabung r < b dengan B = Boektaz maka medan listrik yang dihasilkan adalah a = ρ, ρ< b, maka dapat diketahui Dicari jawaban yang sama dengan metode yang berbeda

6. X H = Jc X H = Jc X H = 0 = .Jc, Hukum Ampere dan Arus Perpindahan Dalam medan statis Jc, = kerapatan arus konduksi; Jika divergensi diberlakukan pada curl, identitas vektor mensyaratkan bahwa --> untuk medan yang berubah terhadap waktu, divergensiJ. adalah tidak sama dengan nol. Untuk medan magnetik statik

7. .G = .D, Ganti ρ dgn .G = = .Jc = G = X H = J+ G . J + .G 0 = Dengan menggunakan hukum Gauss

8. X H = Jc + X H = laju pergerakan muatan yang keluar dari suatu daerah sama dengan laju pengurangan muatan yang berada dalam daerah tersebut. Jika Jc = 0 = Jc + Jd Jc = σE Jc = ρv V

9. Pada seluruh permukaan S pada persamaan Dengan memakai teorema Stokes, ic.= arus konduksi. iD = arus perpindahanyang melewati suatu permukaan tetap S

10. ic Rangkaian kapasitor yang berubah terhadap waktu Perlu diperhatikan bahwa adalah tidak sama dengan nol hanya pada bagian S2 yang terletak di dalam bahan dielektrik. Contoh soal 2 Tunjukkanlah bahwa iC = iD pada rangkaian Gambar 4.3! Penyelesaian: oleh karena dua permukaan S1 dan S2 memiliki kontur batas yang sama C, maka Dengan mengasumsikan fluksi kapasitor dibatasi pada bahan dielektrik di antara pelat-pelat penghantar maka D = 0 disepanjang S1. Dan oleh karena tidak terdapat muatan bebas pada bahan dielektrik, maka JC = 0 disepanjang S1. Oleh karenanya,

11. Contoh soal 3 Ulangi contoh soal 2 tetapi dengan menggunakan analisis rangkaian! Penyelesaian: Kapasitansi kapasitor adalah Dimana A adalah luas area pelat dan d adalah jarak pemisah antar pelat. Arus Konduksi adalah Di lain pihak, medan elektrik pada bahan dielektrik, dengan mengabaikan efek penyebaran medan, adalah E = v/d. Dan oleh karenanya, dan arus perpindahan adalah [dengan menggunakan persamaan (8); D normal [terhadap pelat]

12. Dt1 εr1 Et1 εr2 Dt2 Et2 Kondisi Batas

13. Komponen tangensial dari medan elektrik E adalah kontinyu pada antarmuka (bidang batas) dielektrik. Dalam bentuk simbol, dan • Dengan menerapkan hukum gauss dan Secara umum bidang batas (antarmuka) tidak memiliki muatan bebas sehingga

14. Contoh soal 4 Diberikan El = 2ax — 3ay + 5az V/m pada bidang antarmuka tanpa muatan Gambar 4-4. Carilah D2 dan sudut-sudut θ1 dan θ2 ! Penyelesaian: Bidang batas adalah pada z = konstan. Komponen x dan y adalah tangensial sementara komponen z adalah normal. Dengan sifat kontinyuitas komponen tangensial E dan komponen D diperoleh, Bidang batas dielektrik-dielektrik. (12)

15. Komponen-komponen yang tidak diketahui sekarang dapat diperoleh berdasarkan relasi D2= ε0εr2E2 dimana diperoleh Untuk memperoleh sudut-sudut θ1 dan θ2, untuk medan magnetik, perhatikanlah antarmuka Gambar di samping yang menunjukkan batas antara material 1 dan material 2. Permukaan tertutup pada batas antara dua buah material.

16. Ujung 1 Sisi lengkung Ujung 2 ujung 1 ujung 2 Sifat dari kerapatan medan magnetik, B, normal dapat ditentukan dengan menggunakan sebuah silinder lingkaran kanan kecil yang diposisikan pada antarmuka seperti tampak pada gambar di atas. Oleh karena garis-garis fluksi magnetik kontinyu maka Sekarang, jika dimisalkan bahwa kedua ujung silinder saling mendekat satu sama lain dengan tetap menjaga antarmuka di antara keduanya, maka area dari sisi lengkung silinder akan menuju nol sehingga

17. Variasi H tangensial pada sebuah bidang antarmuka dapat diperoleh dengan menerapkan Hukum Ampere di sekeliling lintasan rektangular tertutup seperti tampak pada Gambar 4-6 di bawah ini. Lintasan tertutup pada batas antara dua buah material.

18. di mana Dengan mengasumsikan tidak ada arus pada bidang antarmuka dan dengan menciutkan bidang rektangular ke arah batas material diperoleh Untuk arus perpindahan, S adalah area yang dibatasi oleh kontur rektangular. Pada saat kontur rektangular diciutkan, area S akan menuju nol sehingga

19. Untuk arus konduksi, terdapat konfigurasi yang membentuk lembaran arus K (A/m) pada bidang batas (Lihat Gambar). Dalam hal ini, penciutan area rektangular selalu mengandung arus permukaan. Dalam terminologi arus konduksi, dengan demikian diperoleh Bidang batas dengan arus permukaan.

20. Dengan menyamakan kedua sisi Hukum Ampere menggunakan rumusan ­ rumusan di atas diperoleh Atau Karena K merupakan sebuah vektor, persamaan ini akan lebih baik dinyatakan dengan menggunakan pernyataan vektor yang sekaligus menunjukkan arah, (H1 - H2) X an12 = K Di mana vektor satuan normal an12 berarah dari 1 ke 2. Untuk kasus bidang antarmuka dielektrik-dielektrik yang bersifat non-konduktif (tidak membentuk arus permukaan), K sama dengan nol dan H tangensial adalah kontinyu di bidangbatas. Ht1 = Ht2

21. Contoh soal 5 Daerah 1 didefinisikan sebagai x < 0 dan memiliki permeabilitas relatif μr1 = 3 Sementara daerah 2 didefinisikan sebagai x > 0 dan memiliki permeabilitas relatif μr1 = 5. Tidak ada satu daerah pun yang bersifat konduktif. Jika diberikan maka carilah H2dan B2! Penyelesaian: Karena bidang batas berada pada x = 0, maka komponen x adalah normal dan komponen y dan z adalah tangensial. Dengan menggunakan B = μH, Untuk material non konduktif, H tangensial dan B normal adalah kontinyu Suku-suku yang tidak diketahui:

22. Persamaan Maxwell Secara kolektif, hukum Faraday, hukum Ampere (dengan arus perpindahan), dan hukum Gauss untuk medan elektrik dan magnetik dikenal sebagai persamaan Maxwell. Pada Tabel 4-1, bentuk umum dari persamaan Maxwell ditampilkan dimana muatan dan arus konduksi ada pada suatu wilayah tertentu. Untuk ruang hampa dan material non-konduktif lainnya (konduktivitas σ = 0), di mana tidak terdapat muatan (ρ = 0) dan arus konduksi (Jc = 0), persama Maxwell mengambil bentuk seperti ditunjukkan oleh Tabel persamaan Maxwell.

23. Tabel Persamaan Maxwell, Bentuk Umum

24. Tabel Persamaan Maxwell, Bentuk Umum

25. Tabel Persamaan Maxwell untuk Medium Ruang Hampa

26. Medan magnetik B yang berubah terhadap waktu dapat menginduksikan arus dalam sebuah loop konduktif tertutup. • Dalam hukum Ampere, Maxwell menambahkan arus perpindahan yang memenuhi sifat konservasi muatan. • E tangensial selalu kontinyu pada bidang batas di antara dua buah material. • B normal selalu kontinyu pada bidang batas di antara dua buah material.

27. Soal-soal dan Penyelesaiannya Soal 1 Di dalam sebuah material di mana σ = 5,0 S/m dan εr= 1, intensitas medan elektriknya adalah E = 250 sin 1010t V/m. Carilah kerapatan arus konduksi dan arus perpindahan serta frekuensi di mana keduanya memiliki magnituda yang sama! Penyelesaian: Kerapatan arus konduksi adalah Jc = σE = 1250 sin 1010t A/m2 Dengan asumsi bahwa arah medan tidak berubah terhadap waktu maka, Untuk JC = JD, kita inginkan σ= ωεatau

28. Soal 2 Sebuah area seluas 0,65 m2 pada bidang datar z = 0 dikelilingi oleh filamen konduktor. Carilah tegangan induksi jika diberikan Penyelesaian: Lihat Gambar..!!! Tegangan induksi diberikan oleh hukum Faraday sebagai yang menembus luas bidang permukaan loop konduktif Medan berkurang pada setengah siklus pertama fungsi kosinus. Arah i dalam loop tertutup adalah sedemikian hingga melawan berkurangnya medan ini. Jadi arus haruslah memiliki arah seperti terlihat dalam gambar

29. Soal 3 Pada daerah I (Lihat Gambar), B1= 1,2ax + 0,8ay + 0,4az T. Carilah H2, (yaitu H pada z = 0+) dan sudut-sudut di antara vektor-vektor medan dan tangenterhadap bidang antarmuka! Penyelesaian: Tulislah H, tepat di bawah B1. Kemudian tulislah komponen H2dan B2yang mengikuti secara langsung dua aturan yaitu B normal adalah kontinyu dan H tangensial adalah kontinyu pada bidang antarmuka tanpa arus. Masalah batas medan magnetik

30. Sehingga suku-suku yang tak diketahui dapat ditentukan sebagai Sudut θ1 adalah 900 – α1, dimana α1 adalah sudut antara B1 dan normal az. Oleh karenanya, αl = 74,5° dan θ1 = 15,5°. Dengan cara serupa diperoleh, θ2 = 76,5°.

31. Soal 4 Sebuah lembaran arus K = 6,5az A/m pada x = 0 memisahkan daerah 1, x < 0 di mana H1 = 10ay dan daerah 2, di mana x > O. Carilah H2, pada x = 0+! Penyelesaian: Dari uraian soal tidak disinggung tentang permeabilitas dari kedua daerah, Meskipun demikian, oleh karena H1 seluruhnya tangensial, perubahan dalam permeabilitas tidak akan memiliki efek [(Bn1 = 0, Bn2 = 0) dan oleh karenanya, H2n = 0]. Dengan demikian, Jadi, H2 = 16,5ay A/m

32. Soal 5 Diberikan H = HmeJ(ωt + βz)ax dalam medium ruang hampa. Carilah E! Penyelesaian: Dengan menggunakan hukum Ampere (tidak ada arus J) Dan