Cours 7 Problèmes d’ordre 2 en temps : Analyse modale

1. Cours 7Problèmes d’ordre 2 en temps :Analyse modale • Domaines d’application • Calcul des modes propres et fréquences propres • Application • Décomposition modale NF04 - Automne - UTC

2. Deux approches possibles de la dynamique … • Approche modale : domaine fréquentiel • Recherche des fréquences propres et modes de déformés associés • Acoustique • Approche instationnaire « pas-à-pas » : domaine temporel • Crash-tests • Dynamiques rapides (choc …) • Analyse de transitoire (démarrage moteur …) • Propagations d’ondes (airbag …) Approche qualitative ! www.netcar.co.il Approche quantitative ! NF04 - Automne - UTC

3. www.otua.org/acier/seisme/ Protection séisme www.dt.insu.cnrs.fr Vibration - acoustique «Tacoma narrows bridge  » www.cnes.fr Ouvrage génie civil Couplage fluide-structure Intérêts « industriels » … NF04 - Automne - UTC

4. Problèmes de dynamiques La forme générale d’un système d’équations au 2ème ordre en temps s’écrit : Avec : • [M ] : matrice globale de masse • [C ] : matrice globale d’amortissement ( =[0] en NF04 !) • [K ] : matrice globale de rigidité • {F } : vecteur global des sollicitations Particularités de l’analyse modale : • On considère toujours {F } = {0} ! • Analyse modale = approche qualitative : conditions initiales inutiles ! NF04 - Automne - UTC

5. U2(t) U1(t) k1 k2 m1 m2 X (m) Application 1 (discrète) : 2 masses et 2 ressorts Modèle physique : Equations du mouvement : Modèle discret : NF04 - Automne - UTC

6. 1 2 X (m) 3 1 2 Application 2 (1D) : cas d’une barre élastique Maillage : deux éléments finis linéaires Forme forte : Forme faible : F(t) E : module de Young [N/m2] r : masse volumique [kg/m3] A : section [m2] u(x,t) : déplacement [m] NF04 - Automne - UTC

7. Modèle éléments finis (1D) Matrices élémentaires : telles que : avec : Assemblage : (L(1) = L(2) = Le) Condition de Dirichlet : Elimination ligne et colonnes . NF04 - Automne - UTC

8. Application 3 (2D) : cas d’une membrane tendue Maillage : éléments finis linéaires T3 Exemple d’une peau de tambour Forme forte : Forme faible : T : tension p.u.l [N/m] rs : masse surfacique [kg/m2] S : surface [m2] w(x,y,t) : déplacement [m] g : gravité [m/s2] NF04 - Automne - UTC

9. Modèle éléments finis (2D) Matrices et vecteurs élémentaires : tels que : avec : Assemblage : Condition de Dirichlet :Elimination ligne et colonnes . (Voir cours sur T3) NF04 - Automne - UTC

10. Analyse modale Objectifs : déterminer les fréquences propres de vibration ainsi que les modes de déformées propres associés Méthode : calcul des valeurs et des vecteurs propres associés « Ingrédients » : matrices de masse [M] et de rigidité [K] NF04 - Automne - UTC

11. Ecriture d’un problème aux valeurs propres Forme générale « temporelle » : On pose une solution de la forme : Ce qui conduit à : Avec : Ecriture « spectrale » Ecriture générale d’un problème aux valeurs propres ! (au sens mécanique du terme) NF04 - Automne - UTC

12. Calcul des valeurs propres Le calcul des valeurs propres s’obtient par la recherche des solutions non triviales de : soit à vérifier : Sur le plan pratique (Matlab) : >> [V, D]=eig(vkg,vmg) Matrice de rigidité Matrice de masse Matrice diagonale des valeurs propres Matrice des vecteurs propres NF04 - Automne - UTC

13. Application 1 : 2 masses et 2 ressorts Simplifications : m1=m2=m, k1=k2=k Soient : Equation caractéristique : Calcul des racines : Calcul des vecteurs propres : k=1, m=1 NF04 - Automne - UTC

14. Calcul des fréquences et périodes propres • VALEURS PROPRES : NF04 - Automne - UTC

15. 1 1.62 Mode 1 1 -0.62 Mode 2 Interprétations graphiques • VECTEURS PROPRES = MODES PROPRES DE DEFORMEE La solution générale s’écrit donc : Le calcul des constantes d’intégration A et B requiert deux conditions initiales. NF04 - Automne - UTC

16. Exemple 2D Déformées modales d’une membrane tendue (type « tambour ») : NF04 - Automne - UTC

17. Exemple « industriel » de modes de déformées Déformées modales du divergent du moteur VULCAIN (Ariane V) : Mode ovalisation Mode 4-lobes Source :www.insecula.com Source : UTC / MQ06 Modèle réel Modèle numérique NF04 - Automne - UTC

18. Propriétés d’orthogonalisation des vecteurs Les modes propres (c-à-d les vecteurs propres) sont définis à une constante près en raison de : Cette condition stipule que l’inverse de la matrice n’est pas unique ! Une constante pour les modes propres peut être déterminée par les conditions d’orthogonalisation : Utilité : permettre la comparaison des résultats entre différentes équipes, outils … M-orthonormalisation K-orthogonalisation NF04 - Automne - UTC

19. Application : décomposition modale (1) Idée : utiliser les propriétés d’orthogonalisation des vecteurs propres pour diagonaliser le système couplé : Principe : les vecteurs propres sont tous indépendants et par conséquent, ils définissent une base au sens mathématique du terme. On note la base des vecteurs propres : NF04 - Automne - UTC

20. Application : décomposition modale (2) 1- On applique le changement de variables : 2- Injection des formes dans le système d’équations : 3- Multiplication « à gauche » par [X ]T : Coefficients de participation modale des efforts Quels modes sont sollicités ? NF04 - Automne - UTC

21. Application : décomposition modale (3) 4- Pour aboutir à N équations différentielles « scalaires découplées » : Résolution classique ! Application du changement de variables aux deux conditions initiales telles que : 5- Dernière phase : reconstruction de la solution dans son espace d’origine ! NF04 - Automne - UTC