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Cours 7 Problèmes d’ordre 2 en temps : Analyse modale PowerPoint PPT Presentation


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Cours 7 Problèmes d’ordre 2 en temps : Analyse modale. Domaines d’application Calcul des modes propres et fréquences propres Application Décomposition modale. Deux approches possibles de la dynamique …. Approche modale : domaine fréquentiel

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Cours 7 Problèmes d’ordre 2 en temps : Analyse modale

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Cours 7 probl mes d ordre 2 en temps analyse modale l.jpg

Cours 7Problèmes d’ordre 2 en temps :Analyse modale

  • Domaines d’application

  • Calcul des modes propres et fréquences propres

  • Application

  • Décomposition modale

NF04 - Automne - UTC


Deux approches possibles de la dynamique l.jpg

Deux approches possibles de la dynamique …

  • Approche modale : domaine fréquentiel

    • Recherche des fréquences propres et modes de déformés associés

    • Acoustique

  • Approche instationnaire « pas-à-pas » : domaine temporel

    • Crash-tests

    • Dynamiques rapides (choc …)

    • Analyse de transitoire (démarrage moteur …)

    • Propagations d’ondes (airbag …)

Approche qualitative !

www.netcar.co.il

Approche quantitative !

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Int r ts industriels l.jpg

www.otua.org/acier/seisme/

Protection séisme

www.dt.insu.cnrs.fr

Vibration - acoustique

«Tacoma narrows bridge  »

www.cnes.fr

Ouvrage génie civil

Couplage fluide-structure

Intérêts « industriels »

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Slide4 l.jpg

Problèmes de dynamiques

La forme générale d’un système d’équations au 2ème ordre en temps s’écrit :

Avec :

  • [M ] : matrice globale de masse

  • [C ] : matrice globale d’amortissement ( =[0] en NF04 !)

  • [K ] : matrice globale de rigidité

  • {F } : vecteur global des sollicitations

    Particularités de l’analyse modale :

  • On considère toujours {F } = {0} !

  • Analyse modale = approche qualitative : conditions initiales inutiles !

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Application 1 discr te 2 masses et 2 ressorts l.jpg

U2(t)

U1(t)

k1

k2

m1

m2

X (m)

Application 1 (discrète) : 2 masses et 2 ressorts

Modèle physique :

Equations du mouvement :

Modèle discret :

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Application 2 1d cas d une barre lastique l.jpg

1

2

X (m)

3

1

2

Application 2 (1D) : cas d’une barre élastique

Maillage : deux éléments finis linéaires

Forme forte :

Forme faible :

F(t)

E : module de Young [N/m2]

r : masse volumique [kg/m3]

A : section [m2]

u(x,t) : déplacement [m]

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Mod le l ments finis 1d l.jpg

Modèle éléments finis (1D)

Matrices élémentaires :

telles que :

avec :

Assemblage :

(L(1) = L(2) = Le)

Condition de Dirichlet :

Elimination ligne et colonnes .

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Application 3 2d cas d une membrane tendue l.jpg

Application 3 (2D) : cas d’une membrane tendue

Maillage : éléments finis linéaires T3

Exemple d’une peau de tambour

Forme forte :

Forme faible :

T : tension p.u.l [N/m]

rs : masse surfacique [kg/m2]

S : surface [m2]

w(x,y,t) : déplacement [m]

g : gravité [m/s2]

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Mod le l ments finis 2d l.jpg

Modèle éléments finis (2D)

Matrices et vecteurs élémentaires :

tels que :

avec :

Assemblage :

Condition de Dirichlet :Elimination ligne et colonnes .

(Voir cours sur T3)

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Analyse modale l.jpg

Analyse modale

Objectifs : déterminer les fréquences propres de vibration ainsi que les modes de déformées propres associés

Méthode : calcul des valeurs et des vecteurs propres associés

« Ingrédients » : matrices de masse [M] et de rigidité [K]

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Ecriture d un probl me aux valeurs propres l.jpg

Ecriture d’un problème aux valeurs propres

Forme générale « temporelle » :

On pose une solution de la forme :

Ce qui conduit à :

Avec :

Ecriture « spectrale »

Ecriture générale d’un problème aux valeurs propres !

(au sens mécanique du terme)

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Calcul des valeurs propres l.jpg

Calcul des valeurs propres

Le calcul des valeurs propres s’obtient par la recherche des solutions non triviales de :

soit à vérifier :

Sur le plan pratique (Matlab) :

>> [V, D]=eig(vkg,vmg)

Matrice de rigidité

Matrice de masse

Matrice diagonale des valeurs propres

Matrice des vecteurs propres

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Application 1 2 masses et 2 ressorts l.jpg

Application 1 : 2 masses et 2 ressorts

Simplifications : m1=m2=m, k1=k2=k

Soient :

Equation caractéristique :

Calcul des racines :

Calcul des vecteurs propres : k=1, m=1

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Calcul des fr quences et p riodes propres l.jpg

Calcul des fréquences et périodes propres

  • VALEURS PROPRES :

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Interpr tations graphiques l.jpg

1

1.62

Mode 1

1

-0.62

Mode 2

Interprétations graphiques

  • VECTEURS PROPRES = MODES PROPRES DE DEFORMEE

La solution générale s’écrit donc :

Le calcul des constantes d’intégration A et B requiert deux conditions initiales.

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Exemple 2d l.jpg

Exemple 2D

Déformées modales d’une membrane tendue (type « tambour ») :

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Exemple industriel de modes de d form es l.jpg

Exemple « industriel » de modes de déformées

Déformées modales du divergent du moteur VULCAIN (Ariane V) :

Mode ovalisation

Mode 4-lobes

Source :www.insecula.com

Source : UTC / MQ06

Modèle réel

Modèle numérique

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Propri t s d orthogonalisation des vecteurs l.jpg

Propriétés d’orthogonalisation des vecteurs

Les modes propres (c-à-d les vecteurs propres) sont définis à une constante près en raison de :

Cette condition stipule que l’inverse de la matrice n’est pas unique !

Une constante pour les modes propres peut être déterminée par les conditions d’orthogonalisation :

Utilité : permettre la comparaison des résultats entre différentes équipes, outils …

M-orthonormalisation

K-orthogonalisation

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Application d composition modale 1 l.jpg

Application : décomposition modale (1)

Idée : utiliser les propriétés d’orthogonalisation des vecteurs propres pour

diagonaliser le système couplé :

Principe : les vecteurs propres sont tous indépendants et par conséquent, ils définissent une base au sens mathématique du terme.

On note la base des vecteurs propres :

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Application d composition modale 2 l.jpg

Application : décomposition modale (2)

1- On applique le changement de variables :

2- Injection des formes dans le système d’équations :

3- Multiplication « à gauche » par [X ]T :

Coefficients de participation

modale des efforts

Quels modes sont sollicités ?

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Application d composition modale 3 l.jpg

Application : décomposition modale (3)

4- Pour aboutir à N équations différentielles « scalaires découplées » :

Résolution classique !

Application du changement de variables aux deux conditions initiales telles que :

5- Dernière phase : reconstruction de la solution dans son espace d’origine !

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