廿一世紀的數學展望

廿一世紀的數學展望 丘成桐教授浙江大学哈佛大学二零零四年六月二十五日

數學社會現象工程現象物理現象

社會現象 經濟金融保險估值病歷調查生物統計調查文獻整理歷史研究訊息科學網絡科學都市規劃人口流動人口調查民意調查

工程現象 計算機科學，圖像識別，密碼問題半導体，量子工程學，分子結構固体科學流体科學軟体結構地質結構材料力學結構理論航空，航天血液流問題氣象科學 Fusion 熱力學油管科學湍流問題海洋大氣太空

弦理論 量子多体問題多体問題古典力學電磁理論廣義相對論量子力學量子場論基本粒子統一場論物理現象

數學和工程科學乃是社會科學的基礎 • 理論物理乃是工程科學的基礎 • 數學乃是理論物理的基礎

人類科技愈進步愈能發現新現象 種種繁複現象使人極度迷惘 (例如：湍流問題、黑洞問題) 但是主宰所有現象變化的只是幾個小數的基本定律。 Standard model (標準模型) 統一了三個基本場：電磁場、弱力、強力但是重力場和這三個場還未統一

重力場由廣義相對論描述，是狹義相對論和 牛頓力學的統一理論而形成的。這是愛因斯坦最富有想像力的偉大創作。愛因斯坦方程是其中gij是測度張量（引力場） Tij是物質張量 Rij是Ricci曲率張量

弦理論企圖統一重力場和其他所有場。 在廿一世紀，基本數學會遇到同樣的挑戰：基本數學的大統一，只有在各門分支大統一時，所有分支才會放出燦爛的火花。每一門學問才會得到本質上的瞭解。

數學的大統一將會比物理的大統一來得基 本，也將由統一場論孕育而出。近代弦論的發展已經成功的將微分幾何代數幾何群表示理論數論拓樸學相當重要的部份統一起來。數學已經由此得到豐富的果實。

大自然提供了極為重要的數學模型，以 上很多模型都是從物理直覺或從實驗觀察出來的，但是數學家卻可以用自己的想像，在觀察的基礎上創造新的結構。成功的新的數學結構往往是幾代數學家的共同努力得出的成果，也往往是數學中幾個不同分支合併出來的火花。 Andrew Wiles 的工作是Elliptic curve 和 Automorphic form, Representation theory 的大合併。

幾何和數字(尤其是整數)可說是數學裏最 直觀的對象，因此在大統一中起着最要緊的作用。廿世紀的數論學家通過代數幾何的方法已經將整數方程的一部份與幾何結合，群表示理論亦逐漸與數論和幾何學結合。每次進步都有結構性的變化, 例如算術幾何的產生。

在這廿年間，拓樸學和幾何已經融合。 三維空間和四維空間的研究非懂幾何不可。 Thurston 的猜測，是在三維空間上引用幾何結構，這些創作新結構的理論有劃時代的重要性，正等如十九世紀引用Rieman surface的概念一樣重要。

分析和幾何亦逐漸融合，到目前為止， 微分方程在複幾何和拓撲學上有傑出的貢獻。通過分析方法，陳氏類，Hodge理論， Atiyah-Singer指標定理和我們在復流型上搆造的Kahler-Einstein度量，在代數幾何中解決了重要的問題。最近Hamilton的Ricci Flow通過Perelman的工作可能解決Thurston的猜想。

在四維空間上，Donaldson利用Taubes， Uhlenbeck的規範場上的存在性定理得到四維拓撲的突破。上述工作和Donaldson-Uhlenbeck-Yau 在Yang-Mills的工作都與弦理論息息相關。事實上弦理論提供了極為重要的訊息，使得古典的代數幾何得到新的突破。我們期望弦理論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深入的暸解。

在二十一世纪的数学里，三维的双曲空间会变得如黎曼曲面一样重要，数学会进入一个盡情享受低维空间特殊性质的局面，在代数几何上，二维、三维和四维流型将会有更彻底的理解。在二十一世纪的数学里，三维的双曲空间会变得如黎曼曲面一样重要，数学会进入一个盡情享受低维空间特殊性质的局面，在代数几何上，二维、三维和四维流型将会有更彻底的理解。我们希望Hodge猜测会得到圆满的解决，从而得知一个拓扑子流型什么时候可以由代数子流型来表示。同样的问题也适用于Vector burdle上。由弦理论得到的启示，有些特殊的子流形或可代替代数流型。

現在舉一個理論物理，數學和應用科學 上的共同而重要的問題：基本物理上的 Hierachy問題，是一個Scale的問題。引力場和其他力場的Scale相差極遠，如何統一，如何解釋？在古典物理，微分方程，微分幾何和各類分析中亦有不同Scale如何融合的問題。在統計物理和高能物理中，用到所謂 renormalization group的方法，是非穩定系統的一個重要工具。

如何用基本的方法去處理不同Scale 是應 用數學中一個重要問題。純數學將會是處理不同度量的主要工具。而事實上，純數學本身亦有不同度量的問題。在微分方程，或微分幾何遇到奇異點或在研究漸近分析時，Blowing up分析是一個很重要的工具，而這種Blowing up的工具亦是代數幾何中最有效的工具。

在非綫性微分方程中，我們需要更進一步的做定在非綫性微分方程中，我們需要更進一步的做定性和定量的分析來研究由Blowing up得出来的結果，因此對不同scale的量得到進一步的認識。微分幾何的張量分析 (曲率張量) 在multiscale分析中應該會有重要的應用，因為即使在同一點上，有不同方向的變化，而此種變化亦應當受到scale的影响。當一個圖 (graph)逼近一個幾何圖形或微分方程的解時，multiscale分析極為重要，如何解決這些問題無論在純數學和應用數學都是重要的問題，我希望研究離散數學的學者亦注意到這一點。

近代弦論發現有不同的量子場論可以互相 同構 (isomorphic) 然而scale 剛好相反因此一個強 Coupling Constant的理論可以同另一個弱Coupling Constant的理論同構，而後者可以從漸近分析理論來計算。

由於R→這種奇妙的對稱可以保持量子場論的結構，使得我們可以用擾動性（perturbation analysis）的方法去計算非擾動的場論，在數學上得到驚人的結果。更要注意到的一點是時空的結構可能因此有基本上的觀念的改變。極小的空間不再有意義。時空的量子化描述需要更進一步的探討。物理學家和幾何學家都希望能夠找尋一個幾何結構來描述這個量子化的空間。有不少學者建議用矩陣模式來解釋這種現象，雖然未能達到目標但已得到美妙的數學現象。

約在兩百年前，Gauss發現Gauss曲率的觀念而理解到內蘊幾何時，就感歎到空間的觀念與時而變，和人類對大自然的瞭解有密切的關係。約在兩百年前，Gauss發現Gauss曲率的觀念而理解到內蘊幾何時，就感歎到空間的觀念與時而變，和人類對大自然的瞭解有密切的關係。這二十年來，超對稱的觀念深深地影響著基本物理和數學的發展，在實驗上雖然尚未發現超對稱，但在數學上卻起著凝聚各門分枝的能力，我們寧可相信在極高的能量時，超對稱確實存在，但如何看待超對稱在現實時空中的殘餘，應當會是現代應用物理和應用數學的一個重要命題。

舉例來說，在超對稱的結構中，規範場和電磁場會與完全不相關的子流形理論同構，是否意味著這種日常能見的場論可以用不同的手法來處理？舉例來說，在超對稱的結構中，規範場和電磁場會與完全不相關的子流形理論同構，是否意味著這種日常能見的場論可以用不同的手法來處理？種種不同的現象顯示，弦論、幾何、群表示理論逐漸會與算術幾何接近。在所謂Arakelov理論中，除了在複數上定義的代數空間外，還需要考慮特微為p的代數空間，才能夠對算術空間有完滿的瞭解，是否表示它們能夠幫助我們瞭解現實界的問題？由此观之，数论上的L函数和Birch-Swinnerton-Dyer猜测有没有其他解释？现在用一个简单的例子来解释上述duality的现象。

例子： Laplace算子我們要求在上定義，

Zn是一個 latticeRn 而 l必定要在這個lattice 的對偶中 (Zn)* 的對偶是這個對偶在弦論中起相當重要的作用。在 Fourier分析和數論中也已得重要的發揮。

Δ 在 L2(T)上的譜 (Spectrum)是 它的譜分解全部可以算出如果f：R  R 則如果我們有辦法用分析方法算出f(Δ)，則可以得到traceformula

舉例來說 f(x) = exp(tx) exp(tΔ) 的核函數可以算出為因此

Poisson formula： 數論上的基本公式！ Trace formula  Automorphic form  群表示理論, 數論

這個Torus的對偶正是弦理論對偶的基礎，現代數論的一個最重要的環節叫Langlands理論，也有對偶的問題，與代這個Torus的對偶正是弦理論對偶的基礎，現代數論的一個最重要的環節叫Langlands理論，也有對偶的問題，與代數幾何和表示理論有密切的關係。希望能夠與這一系列的想法也掛鈎。

Symmetry (對稱) 群的觀念小群：如鏡對稱如雪花的對稱連續群 (李群) ：物理上用途非緊離散群：在數論和幾何上的用途無限維對稱：規範場中的規範群種種不同對稱的觀唸在廿世紀後半期的理論科學有基本貢獻。 Dulality比 Symmetry 更廣義，不同理論的基本同構將是廿一世紀的一個重要命題。

對稱的觀念可說是基本科學中最基本的工具， 但是運用之妙存乎一心在于作者的經驗和直觀。廿一世紀基本科學的基本命題：如何將對稱的物理基本現象與非對稱的世界聯合？ Symmetry breaking 眾生色相何由而生？基本的物理定律是Time Symmetric的，為何我們擔憂時光消逝？因为直觀世界是Time Symmetric 的。由TimeSymmetric的定律來解釋直觀世界是現代數學和物理的一個重要問題。

熱力第二基本定理說 Randomness 隨時間而增 Entropy increase with time 這是一個奇妙的定理，到如今還未得到徹底的瞭解。時間的箭咀在廣義相對論中是一個重要的題目。Roger Penrose 和 Hawking都花了很多時間討論。這是因為Einstein方程對時間來說是對稱的，然而在現實世界，時間是不對稱的。熵的研究在現代物理和現代數學都起了極重要的作用。

湍流的問題，將是其中一個例子。 流体力学中的奇异点和boundary layer都需要大量的理论投入，需不需要引力场方程来帮忙解释。在某種意義下，基本的方程式或基本的物理現象，用數學形式表達出來時，是用等式來表達。但往往在澈底研究這種等式以前，不等式會産生，同時起着無比的重要性。波浪的重疊，最後產生的可以是極為光滑的波。如何控制這種現象要依靠好的不等式。也是一切分析和應用數學的精華。

Superposition是線性方程的特微，在研究非線性integrable方程時，也由非線性的Superposition，一般而言，我們有沒有辦法由少數的解來產生新的解是一個重要的問題。非線性現象是二十一世紀的研究物件。Superposition是線性方程的特微，在研究非線性integrable方程時，也由非線性的Superposition，一般而言，我們有沒有辦法由少數的解來產生新的解是一個重要的問題。非線性現象是二十一世紀的研究物件。

由Stationary的物理現象到Dynamical的物理現象，我們會遇到極為困扰而又刺激的數學問題。在方程的觀點來說，橢圓方程過渡到拋物型，到双曲型到混合型的方程組，有極度睏難的奇異點處理問題，在物理上有震波的處理問題，既要研究估值，又要研究物理意義，又希望大型計算機能夠幫忙。由Stationary的物理現象到Dynamical的物理現象，我們會遇到極為困扰而又刺激的數學問題。在方程的觀點來說，橢圓方程過渡到拋物型，到双曲型到混合型的方程組，有極度睏難的奇異點處理問題，在物理上有震波的處理問題，既要研究估值，又要研究物理意義，又希望大型計算機能夠幫忙。

高維空間的非綫性波和各種物理幾何的關繫將會影響這幾十年的應用數學，其中有孤立子的現象，有震波現象，多種粒子在非綫性的互動時得出的宏觀現象，方程帶有隨機變數時的處理將會是應用數學的重要題目。高維空間的非綫性波和各種物理幾何的關繫將會影響這幾十年的應用數學，其中有孤立子的現象，有震波現象，多種粒子在非綫性的互動時得出的宏觀現象，方程帶有隨機變數時的處理將會是應用數學的重要題目。很多古典的方法或近代物理的方法應當可以應用到離散問題上去。大型的網絡極為復雜，如何有傚的傳播訊息，如何尋找資料，提供暸數學極有意義的問題。

圖像處理和計算幾何更是一個電腦、幾何、組合數學結合的好地方，在醫學上有重要的貢獻，自動控製論和上述種種應用都會結合，要得到最有傚的用途需要數學傢密切合作。圖像處理和計算幾何更是一個電腦、幾何、組合數學結合的好地方，在醫學上有重要的貢獻，自動控製論和上述種種應用都會結合，要得到最有傚的用途需要數學傢密切合作。

在某種意義下，基本的方程式或基本的 物理現象，用數學形式表達出來時，是用等式來表達。但往往在澈底研究這種等式以前，不等式會産生，同時起着無比的重要性。波浪的重疊，最後產生的可以是極為光滑的波。如何控制這種現象要依靠好的不等式。也是一切分析和應用數學的精華。

數字計算，統計 實驗 Modeling 物理應用需要純數學，方程，統計分析物理，化學，生物理論應用研究應用數學的方法

當微分方程和幾何和組合數學，真正大 統一時，應用數學會有大進步。有宏大胸襟的數學家會在前進途徑上創造新的結構來因應這個統一的使命，來瞭解不同的數學分枝。

應用預測控制優化仿真設計數學在工業上的應用工業問題，科學觀察實驗統計，分析處理理論，模型計算，程序

單靠程序和計算的數學即使有短暫的生 長力量，不會有深遠的影响。如何解釋由計算得出來的現象，如何與物理和工程的現象相吻合，如何利用計算結果作有意義的預測，乃是計算數學的目標。因此理想的應用數學家，應該有數學家的根基，有物理學家和工程學家的眼光和觸角。

微分方程 調和分析，Fourier分析分析小波分析動力系統數學提供應用數學幾個重要工具概率，隨機分析組合理論代數(Coding理論) 幾何(圖像處理，壓縮)

由於應用科學的產生，所有連續性的數 學理論或存在性定理，都有定量的逼近問題，因此產生很多有意義的新的數學。物理，生物，化學，工程將會提供大量有意義的問題和新的觀念。好的應用數學家需要融合各種的科學，經費不是唯一的問題！

七零年代，應用數學家堅持分家，這是 由於聘請教授的觀點不同和經費收入不同所致的毛病。分家的結果： 1、數學家比較注重純科學的命題，尤其理論物理提供了豐富的題材和方法，給予數學新的生命，雖然搞分析數學和組合數學的教授也接觸應用數學，但是接觸並非全面性的，用時往往缺乏應用能力，相反交流也不多。

在四零年代，五零年代培養出來的應用數學家大都在四零年代，五零年代培養出來的應用數學家大都是一流的數學家 Von Neumann C. C. Lin Courant Federich Stoker Glimm Lax Keller Moser

主要發展應用數學的美，研究所為 • Courant Instutute • M. I. T. • Caltech. • Stanford • Berkeley，Yale

2、應用數學家則極力提倡應用，認為很多傳統的數學訓練是不必要的。 在工業 ﹝尤其是電腦工業﹞和金融企業的引誘下，急進猛追，結果優秀的學生捨本逐利，年青的應用數學隊伍很難建立起來。

分析微分方程數學幾何代數幾何數論組合數學統計

統計物理 物理學古典力學量子物理廣義相對論 • 計算數學 • 工業界的顧問

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