Сфера

1. Презентация уроков по геометрии 11 класс Сфера Учитель математики МОУ лицея №18 И.В.Дымова

2. Презентацию выполнила Свинцова Катерина, уч-ца 11-4кл.

3. Оглавление: • 2. оглавление • 3. введение • 13. определения сферы • 14. сфера и шар • 16. сферическая геометрия • 22. сферическая тригонометрия • 24. уравнение сферы • 26. взаимное расположение сферы и плоскости • 32. касательная плоскость к сфере • 37. площадь сферы • 39. взаимное расположение сферы и прямой • 45. сфера вписанная в цилиндрическую поверхность • 47. сфера вписанная в коническую поверхность • 48. пример задачи

4. Введение • В отличии от реальных предметов геометрические тела, как и всякие геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами. Мы представляем геометрическое тело как часть пространства, определенную то остальной части пространства поверхностью – границей этого тела. Так, например, граница шара есть сфера .

5. Примеры сферы: Луна

6. Земля

7. Шар для игры в гольф

14. Сфера ( от греч. Sphaira – шар)Существует несколько определений сфере: • 1. Замкнутая поверхность. • 2. Область действия, пределы распространения чего – либо. (Например, сфера действия тяготения). • 3. Обстановка, среда, общественное окружение. (Например, сфера обслуживания)

15. Сфера и шар Данная точка называется центром сферы (точка O), а данное расстояние – радиусом сферы(латинская R). См рис. 1 Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр называется, диаметром сферы. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Рис. 1

16. Очевидно, диаметр сферы равен 2R . Отметим, что сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг диаметра. См рис. 2 Часть пространства, находящуюся внутри сферы, называют шаром. См рис. 3 Рис. 2 Центр, радиус и диаметр сферы называются так же центром, диаметром и радиусом шара. Рис. 3

17. Сферическая геометрия, Математическая дисциплина, изучающая геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости.

18. Всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в сечении некоторую окружность; При пересечении двух больших кругов на сфере образуют четыресферических двуугольника. Таких как на рис.4. Рис. 4

19. Три больших круга, не пересекающихся в одной паре диаметрально противоположных точек, образуют на сфере восемьсферических треугольников.См. рис. 5 Рис. 5

20. Во всяком сферическом треугольнике (эйлеровом) каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других; сумма всех сторон всегда меньше 2П. Сумма углов сферического треугольника всегда меньше 3П и больше П. Разность s-П=Е, где s-сумма углов сферического треугольника, называется сферическим избытком.

21. Положение каждой точки на сфере вполне определяется заданием двух чисел – эти числа координаты. Введение координат на сфере позволяет проводить исследования сферических фигур аналогичными методами геометрии. Так, два уравнения

22. Между этими координатами определяют некоторую линию на сфере. Длинна дуги М1 и М2 этой линии вычисляется по формуле Где t1и t2– значение параметра t, соответствующие концам М1и М2 дуги М1М2. На рис. 6 Рис. 6

23. сферическаятригонометрия Математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами сферических треугольников. Пусть А, В, С – углы a, b, c – противолежащие им стороны сферического треугольника АВС Углы и стороны сферического треугольника связаны следующими основными формулами : sin a / sin A=sin b / sin B=sin c /sin C, cos a=cos b cos c + sin b sin c cos A, sin a cos B=cos b sin c – sin b cos c cos A, Sin A cos b=cos B sin C + sin B cos C cos a;

24. В этих формулах стороны a, b, cизмеряются соответствующими центральными углами, длинны этих сторон равны соответственно aR, bR, cR, где R– радиус сферы. Меняя обозначения углов и сторон по правилу круговой перестановки можно написать другие формулы сферической тригонометрии, аналогичные указанным.Эти формулы позволяют по любым трем элементам сферического треугольника определить три остальные (решить треугольник).

25. Уравнение сферы Выведем уравнение сферы радиуса Rс центром С (x0;y0;z0). (рис. 7) Расстояние от произвольной точки М (x;y;z) до точки с вычисляется по формуле Если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС2=R2, т.е. координаты точки М удовлетворяют уравнению (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2 (1) Если же точка М (x; y; z) не лежит на данной прямой сферы, то МС2 не равняется R2, т.е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению (1). Рис. 7

26. Следовательно, в прямоугольной системе координатуравнение сферы радиуса R с центром С (x0; y0; z0)имеет вид (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2

27. Взаимное расположение сферы и плоскости

28. Рассмотрим сферу с радиусом R и расстоянием от ее центра до плоскости а – буквой d. Введем систему координат: плоскость Оxy совпадает с плоскостью а, а центр С сферы лежит на положительной полуоси Оz. В этой системе координат точка С имеет координаты (0; 0; d), поэтому сфера имеет уравнение x2 + y2 + (z – d)2 = R2.(1)А плоскость а совпадает с координатами плоскости Оxy, и поэтому ее уравнение имеет вид z = 0.(2)(объясните почему)

29. Если координаты какой-нибудь точки М (x; y; z) удовлетворяют уравнениям (1) и (2), то точка М лежит как в плоскости а, так и на сфере, т.е. Является общей для точкой плоскости и сферы. Если же система этих двух уравнений (1) и (2) не имеет решений, то сфера и плоскость не имеют общих точек. Таким образом, вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений Z = 0 X2 + y2 + (z – d)2 = R2 Подставив z = 0 во второе уравнение, получим X2 + y2 = R2 – d2 (3) Возможны три случая, рассмотрим их.

30. D<R. ТогдаR2 – d2 > 0, и уравнение (3) являетсяуравнением окружности радиусаr = кореньквадратный из R2 – d2,с центром в точке Она плоскости Оxy. Координаты любой точкиМ (x; y; 0)этой окружности удовлетворяют как уравнению плоскостиа, так и уравнению сферы, т.е. все точкиэтой окружности являются общими точками плоскости и сферы. Рис.(8) Таким образом, в данном случае сфера и плоскость пересекаются по окружности.Итак,если расстояние от центрасферы до плоскости меньшерадиуса сферы, то сечение сферыплоскостью есть окружность. Рис.(8)

31. d = R. Тогда R2 – d2 = 0, и уравнению (3) удовлетворяют только числа x = 0, y = 0. Следовательно, только координаты точки О (0; 0; 0) удовлетворяют обоим уравнениям, т.е. О – единственная общая точка сферы и плоскости. Рис.(9)Итак, если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Рис. (9)

32. d > R. Тогда R2 – d2 < 0, и уравнению (3) не удовлетворяют координаты никакой точки.Следовательно, если расстояние от центра сферы до плоскостибольше радиуса сферы, тосфера и плоскость не имеют общих точек. Рис. (10) Рис. (10)

33. Касательная плоскость к сфере Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы

34. Теорема: Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости

35. Дано: плоскостьа, касающуюся сферы с центром О в точке А. Доказать: ОА перпендикулярен к а Доказательство: Рассмотрим метод от противного. Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости а, следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости аменьше радиуса сферы. Поэтому плоскость и сфера пересекаются по окружности. Но это противоречит условию, т.е. сфера и плоскость аимеют только одну общую точку. А значит радиус ОА перпендикулярен плоскостиа. Теорема доказана.

36. Докажем обратную теорему Теорема: Если радиус перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

37. Дано: плоскостьа, касающуюся сферы с центром О в точке А. Доказать: ОА перпендикулярен к а Доказательство: Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равна радиусу сферы, следовательно, сфера и плоскость имеет только одну общую точку. Значит данная плоскость является касательной к сфере. Теорема доказана

38. Площадь сферы Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех граней. Говорят, что сфера касается грани многоугольника, если плоскость грани является касательной к сфере и точка касания принадлежит грани. При этом сфера называется вписанной в многогранник.

39. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани.Формула площади сферы радиуса R: S = 4ПR2

40. Взаимное расположение сферы и прямой. Плоскость пересекает сферу по окружности L c центром О и радиусом R. Ясно, что все общие точки сферы и прямой а (если они есть) лежат в плоскости а и, следовательно, на окружности L. Возможны 3 случая:

41. d> R. В этом случае окружностьLи прямаяа не имеют общих точек, поэтому сфера и прямая а также не имеют общих точек.

42. 2.d = R.В этом случае окружностьLи прямаяа имеют ровно одну общую точку, поэтому сфераи прямаяа также имеют ровно одну общуюточку.

43. 3. d< R. В этом случае окружностьL и прямая а имеют ровно две общие точки, поэтому сфера и прямая а также имеют ровно две общие точки.

44. Прямая имеющая со сферой ровно одну общую точку, называетсякасательной к сфере, а общаяточка –точкой касанияпрямой и сферы.Докажите самостоятельно, что :1.радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и прямой, перпендикулярен к этой прямой;2. если радиус сферы перпендикулярен к прямой, проходящей через его конец , лежащий на сфере, то эта прямая является касательной к сфере.

45. Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных, проведенных из точки А. Они обладают следующими свойствами:отрезки касательных к сфере, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящие через эту точку и центр сферы.

46. Сфера, вписанная в цилиндрическую поверхность Говорят что сфера вписана в цилиндрическуюповерхность, если она касается всех ее образующих. Докажем, что: Существует сфера, касающаяся плоскости а и цилиндрической поверхности.

47. Проведем из точки О перпендикуляр ОН к плоскости а и обозначим буквой А точку пересечения луча ОН и сферы S.(рис.11) Если точка А и Н совпадают, то проведем через точку А прямую, параллельную образующим, и обозначим буквой В точку ее пересечения с плоскостью а. при параллельном переносе векторов АВ сфера Sпереходит в сферу S’радиуса r c центром О’, лежащим на прямой ОО1(рис.12), поэтому эта сфера касается цилиндрической поверхности. Расстояние от О’ до плоскости а равно О’В = ОА (объясните почему), т.е. равно радиусу r. Следовательно, сфера S’ касается плоскости а, т.е. является искомой.Утверждение доказано. Рис. 11 Рис. 12

48. СФЕРА ВПИСАННАЯ В КОНИЧЕСКУЮ ПОВЕРХНОСТЬ Говорят, что сфера в писана в коническуюповерхность, если она касается всех ее образующих. Пусть РА – одна из образующих конуса. Рассмотрим какую–нибудь плоскость а, пересекающую образующую РА конической поверхности в точке В, лежащей на луче РА. Самостоятельно докажем, что существует сфера, касающаяся плоскости а и конической поверхности. См рис. 13 Рис. 13

49. Задача: Рассмотрим пирамиду SABCD. Пусть Р - периметр основания ABCD, которое расположено внутри окружности, получающейся в сечении сферы (границы шара) плоскостью ABCD. Радиус этой окружности r<=1. Продолжим отрезки АВ, ВС, CDи DA соответственно за точки B, C, Dи А до пересечения с окружностью в точках В1, С1, D1 и А1 соответственно. По неравенству треугольника

50. Сложив эти неравенства, получим Р<=Р1, где Р1 – периметр четырехугольника А1В1С1D1..Периметр любого выпуклого многоугольника, вписанного в окружность, меньше длинны этой окружности, поэтому р1<2Пr<=2ПДлинна каждого из ребер SA, SB, SC, SDне превосходит 2. поэтому если L – сумма длин всех сторон пирамиды, тоL=SA + SB + SC + SD + P < 2 + 2 + 2 + 2 + P1 < 8 + 2П< 15