Húrnégyszög, érintőnégyszög

1. Húrnégyszög, érintőnégyszög

2. Húrnégyszögnek nevezzük az olyan négyszögeket, amelynek oldalai egy kör húrjai. Érintőnégyszögneknevezzük azokat a konvex négy-szögeket, amelynek oldalai ugyanazon kör érintői.

3. Mintapélda18 Adott a síkon egy húrnégyszög három csúcsa: A, B és C pont. A negyedik csúcs az A és B pontoktól egyenlő távolságra van. Szerkeszd meg a húrnégyszöget! Megoldás: A húrnégyszög köré írható kör megegyezik bármely három csúcsa által alkotott háromszög köré írható körrel. A negyedik csúcs rajta van az ABC háromszög köré írt körön. A szakasz két végpontjától egyenlő távolságra levő pontok halmaza a szakasz felezőmerőlegese. A negyedik csúcs az ABC háromszög köré írt kör és az AB szakasz felezőmerőlegesének metszéspontja A negyedik csúcs rajta van az AB szakasz felezőmerőlegesén.

4. B A C O D f k

5. a+ g= 180° ABCD húrnégyszög Húrnégyszögek tétele: a húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180°. A húrnégyszögek tételének megfordítása: ha egy konvex négyszögben a szemközti szögek összege 180°, akkor az a négyszög húrnégyszög.

6. Mintapélda19 Az ábrán PQ és SR szelők egyeneseit elmetsszük egy PS húrral párhuzamos AB egyenessel, Q és R a kör két tetszőleges pontja. Húrnégyszög-e a QABR négyszög? Megoldás: Jelöljük az ábra szerint -val az A csúcsnál lévő szöget! AB és PS párhuzamossága miatt P-nél is található  szög (váltószögek), ennek mellékszöge a négyszög P-nél levő szöge (’=180°-). PQRS húrnégyszög, a húrnégyszög-tétel miatt a négyszögben R csúcsnál  szög van, mellékszöge a QABR négyszög R csúcsnál található szöge: ’=180°-. Tehát teljesül a húrnégyszögek tételének megfordítása, így QABR húrnégyszög.

7. a b c d ABCD érintőnégyszög a + b = c + d Érintőnégyszögek tétele:az érintőnégyszögek szemközti oldalainak összege egyenlő. Érintőnégyszögek tételének megfordítása: ha egy konvex négyszög szemközti oldalainak összege egyenlő, akkor az érintőnégyszög.