复数代数形式的四则运算 — 乘除运算

1. 复数代数形式的四则运算—乘除运算 六安市新安中学数学组 胡永祥

2. 一、知识回顾 复数的加/减运算法则： 加法运算规律：对任意z1,z2,z3∈C.有

3. 二、新课教学 1.复数乘法运算： 我们规定，复数乘法法则如下： 设z1=a+bi z2=c+di是任意两个复数，那么它们的乘积为： (a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i 注意：两个复数的积是一个确定的复数

4. 2.应用举例 计算 (3+4i)(-2-3i) 分析：类似两个多项式相乘，把i2换成-1 解：原式= -6-9i-8i-12i2 = -6-17i+12 = 6-17i

5. 3.探究： 复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？ 对任意复数z1=a+bi,z2=c+di,z3=m+ni 则z1·z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而z2·z1= (c+di)(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i ∴z1·z2=z2·z1 (交换律)

6. 4.乘法运算律 对任意z1 , z2 , z3 ∈C. 有 z1·z2=z2·z1 (交换律) (z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律) z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3(分配律)

7. 分析：可利用复数的乘法法则计算 5.例题讲解 例3.计算 ⑴(1+i)2 ⑵(3+4i)(3-4i) 解： ⑴原式= (1+i)(1+i) = 1+2i+i2 = 1+2i-1 = 2i ⑵原式= 9-12i+12i-16i2 = 9-(-16) = 25 与实数系中完全平方展开式一样 (是一个实数) (是一个虚数) 注：可用实数系中乘法相应公式进行运算

8. = a-bi 记法：复数z=a+bi 的共轭复数记作 6.共轭复数 定义：实部相等，虚部互为相反数的两 个复数叫做互为共轭复数。

9. ( =3 ) ( =6i) ( =2-3i ) 口答：说出下列复数的共轭复数 ⑴z=2+3i ⑵z= -6i ⑶z= 3 注意：⑴当a=0时的共轭复数称为共轭虚数 (如上⑵) ⑵实数的共轭复数是它本身(如上⑶)

10. ？ y y y (a,b) (0,b) x x x o o o (a,o) (a,-b) (0,-b) z1=a+bi z1=a z1=bi 7.思考 若z1 , z2是共轭复数，那么 ⑴在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？ ⑵z1·z2是一个怎样的数？ 解：⑴作图 得出结论：在复平面内，共轭复数z1 ,z2所对应的点关于实轴对称。 ⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi 则z1·z2=(a+bi)(a-bi) =a2-abi+abi-bi2 =a2+b2 结论：任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数。

11. 探究：我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探探究：我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探 究复数除法的法则. 复数除法的法则是： (c+di≠0) 8.复数的除法法则 提示：这里分子分母都乘以分母 的“实数化因式”（共轭复数）从而使分母“实数化”。

12. 然后分母实数化分子分母同时乘以分母的共轭复数然后分母实数化分子分母同时乘以分母的共轭复数 (1+2i) ÷(3-4i) 例4.计算 先写成分式形式 结果化简成代数形式

13. ⑵ 9.沙场练兵 计算: ⑴ (1-2i)(3+4i)(-2+i) 解: ⑴ 原式= (3+4i-6i-8i2)(-2+i) = (11-2i)(-2+i) = -22+11i+4i-2i2 = -20+15i

14. 三.小结 ⑴复数乘法的运算法则、运算规律，共轭 复数概念. ⑵复数除法运算法则. 四.作业 P62.练习

15. 返回 习题： 解：